高2020届高2017级高三文科数学三维设计一轮复习课时跟踪检测(六)函数的奇偶性与周期性

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课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性与周期性

A级——保大分专练

1.下列函数为奇函数的是( )

A.f(x)＝x3＋1 B.f(x)＝ln1－x1＋x

C.f(x)＝ex D.f(x)＝xsin x

解析：选B 对于A,f(－x)＝－x3＋1≠－f(x),所以其不是奇函数；对于B,f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln1－x1＋x＝－f(x),所以其是奇函数；对于C,f(－x)＝e－x≠－f(x),所以其不是奇函数；对于D,f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x),所以其不是奇函数.故选B.

2.(2019·南昌联考)函数f(x)＝9x＋13x的图象( )

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于坐标原点对称 D.关于直线y＝x对称

解析：选B 因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x,易知f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称.

3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)＝ log2x＋1，x≥0，gx，x＜0，则f(－7)＝( )

A.3 B.－3

C.2 D.－2

解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

且f(x)＝ log2x＋1，x≥0，gx，x＜0，

所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.

4.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex,则g(x)＝( )

A.ex－e－x B.12(ex＋e－x)

C.12(e－x－ex) D.12(ex－e－x)

解析：选D 因为f(x)＋g(x)＝ex,所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x,

所以g(x)＝12(ex－e－x).

5.设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)＝x2－x,则f－52＝( ) 第 2 页 共 5 页

A.－14 B.－12

C.14 D.12

解析：选C 因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,所以f－52＝－f52＝－f12.又当0≤x≤1时,f(x)＝x2－x,所以f12＝122－12＝－14,则f－52＝14.

6.(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x),满足f(x＋5)＝f(x),当x∈(－3,0]时,f(x)＝－x－1,当x∈(0,2]时,f(x)＝log2x,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )

A.403 B.405

C.806 D.809

解析：选B 定义在R上的函数f(x),满足f(x＋5)＝f(x),即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时,f(x)＝log2x,所以f(1)＝log21＝0,f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时,f(x)＝－x－1,所以f(3)＝f(－2)＝1,f(4)＝f(－1)＝0,f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.

7.已知函数f(x)是偶函数,当x＞0时,f(x)＝ln x,则ff1e2的值为________.

解析：由已知可得f1e2＝ln1e2＝－2,

所以ff1e2＝f(－2).

又因为f(x)是偶函数,

所以ff1e2＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.

答案：ln 2

8.(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋1x－1,f(a)＝2,则f(－a)＝________.

解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋1x,

设g(x)＝f(x)＋1＝x＋1x,

易判断g(x)＝x＋1x为奇函数,

故g(x)＋g(－x)＝x＋1x－x－1x＝0,

即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0,故f(x)＋f(－x)＝－2.

所以f(a)＋f(－a)＝－2,故f(－a)＝－4. 第 3 页 共 5 页

法二：由已知得f(a)＝a＋1a－1＝2,

即a＋1a＝3,所以f(－a)＝－a－1a－1＝－a＋1a－1＝－3－1＝－4.

答案：－4

9.(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b,x∈[a－4,a]的图象关于原点对称,则函数g(x)＝bx＋ax,x∈[－4,－1]的值域为________.

解析：由函数f(x)的图象关于原点对称,可得a－4＋a＝0,即a＝2,则函数f(x)＝2x＋b,其定义域为[－2,2],所以f(0)＝0,所以b＝0,所以g(x)＝2x,易知g(x)在[－4,－1]上单调递减,故值域为[g(－1),g(－4)],即－2，－12.

答案：－2，－12

10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是____________.

解析：当x>0时,lg x>0,所以x>1,

当x<0时,由奇函数的对称性得－1

故填(－1,0)∪(1,＋∞).

答案：(－1,0)∪(1,＋∞)

11.f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝－2x2＋3x＋1,求f(x)的解析式.

解：当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.

由于f(x)是奇函数,故f(x)＝－f(－x),

所以当x<0时,f(x)＝2x2＋3x－1.

因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)＝0.

综上可得f(x)的解析式为f(x)＝ －2x2＋3x＋1，x>0，0，x＝0，2x2＋3x－1，x<0.

12.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f32＋x＝－f32－x成立.

(1)证明y＝f(x)是周期函数,并指出其周期；

(2)若f(1)＝2,求f(2)＋f(3)的值.

解：(1)证明：由f32＋x＝－f32－x,

且f(－x)＝－f(x),知f(3＋x)＝f32＋32＋x＝－f32－32＋x＝－f(－x)＝f(x),

所以y＝f(x)是周期函数,且T＝3是其一个周期. 第 4 页 共 5 页

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,

且f(－1)＝－f(1)＝－2,又T＝3是y＝f(x)的一个周期,所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.

B级——创高分自选

1.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)＝x3－x,则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A.6 B.7

C.8 D.9

解析：选B 因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1),

所以当0≤x<2时,f(x)＝0有两个根,即x1＝0,x2＝1.

由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)＝0有两个根,即x3＝2,x4＝3；当4≤x≤6时,f(x)＝0有三个根,即x5＝4,x6＝5,x7＝6,故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.

2.(2019·洛阳统考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数,则实数a＝________.

解析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数,∴f(－x)＝f(x),

即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax,

∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝lne－x＋1ex＋1＝ln1ex＝－x,

∴2a＝－1,解得a＝－12.

法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R,由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1),

∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a,∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝lne－1＋1e＋1＝ln1e＝－1,

∴a＝－12.

答案：－12

3.已知函数f(x)＝ －x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1,a－2]上单调递增,求实数a的取值范围.

解：(1)设x<0,则－x>0,

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数,所以f(－x)＝－f(x),

于是x<0时,f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx,所以m＝2. 第 5 页 共 5 页

(2)要使f(x)在[－1,a－2]上单调递增,

结合f(x)的图象(如图所示)知 a－2>－1，a－2≤1，所以1＜a≤3,

故实数a的取值范围是(1,3].