2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(PDF版)

2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若一次函数2y x =+与反比例函数4

y x

=

的图像交于11()A x y ，

，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（

）

A ．8

B ．6

C ．6

-D ．8

-【答案】

D

【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩

，得2

240x x +-=……………①。

依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。∴

12121212121244

1616484

x x y y x x x x x x x x +=+

⋅=+=-+=--。2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（

）A ．15︒B ．18︒

C ．20︒

D ．22︒

【答案】

C

【解答】如图，连结OC 。

由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。∵D 为BC 中点，

∴

OD BC ⊥，1

602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。

∴

30OCD ∠=︒，1

2

OD OC =。

又E 为OA 中点，∴

1

2

OE OA OD ==。

结合40ABC ∠=︒，知

24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒

，

（第2题图）

（第2题答题图）

11

(180)(180140)2022

OED EOD ∠=

︒-∠=︒-︒=︒。3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（

）

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

【答案】A

【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知

1

24

a b a ++=-。于是，322a b +=-。所以，(1)(2)(2)(82)32102108f f a b a b a b +=+++++=++=-+=。

4．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，120BCD ∠=︒，CD DA ⊥，且6BC =，3CD =，则四边形ABCD 外接圆的面积为（

）

A ．7π

B ．21π

C ．63π

D ．84π

【答案】

B 【解答】如图，设B

C 、A

D 的延长线交于点P 。∵120BCD ∠=︒，CD DA ⊥，3CD =，∴

30CPD ∠=︒，26CP CD ==。

又AB BC ⊥，6BC =，∴tan 3043AB BP =⋅︒=。

∴22222(43)684AC AB BC =+=+=。∴

221AC =。

结合AB BC ⊥，CD DA ⊥，知A 、B 、C 、D 四点共圆，AC 为四边形ABCD 外接圆的直径。

∴四边形ABCD 外接圆面积为2(21)21ππ⋅=。

5．2018年12月18日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。

哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和（简称“11+”）。”，并请欧拉帮助证明。两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证明。200多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还未能彻底解决。

陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜想”的介绍。从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇冠上的明珠的艰辛历程。经过10多年坚忍不拔的辛勤研究，1966年6月陈景润在《科学通报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“12+”）的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称

（第4题图）

（第4题答题图）

这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，激励了无数青年学子。

请你完成下列问题：

将2019分解为两个正立方数的和的分解方式有（）（即方程332019x y =+的正整数

解的组数）

A ．0种

B ．1种

C ．2种

D ．3种

【答案】A

【解答】对任意正整数m ，考察3m 关于模9的余数。由于对任意正整数m ，012345678(mod 9)m ≡，，，，

，，，，。以及300(mod 9)≡，311(mod 9)≡，328(mod 9)≡，330(mod 9)≡，341(mod 9)≡，

358(mod 9)≡，360(mod 9)≡，371(mod 9)≡，388(mod 9)≡。

因此，对任意正整数m ，有3018(mod 9)m ≡，，。

∴对任意正整数x ，y ，3301278(mod 9)x y +≡，，，，。即对任意正整数x ，y ，33x y +被9除的余数只有0，1，2，7，8这5种情形。

而20193(mod 9)≡，即2019被9除的余数为3。

故，方程332019x y =+无正整数解，将2019分解为两个正立方数的和的分解方式有0种。或用尝试的方法求解。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知二次函数2(1)52y ax a x a =+-+-（0a <）的图像过点(14)A ，，且交x 轴于B 、C 两点，若AB AC ⊥，则线段BC 的长度为

。

【答案】

113

【解答】如图，作AD x ⊥轴于点D ，设1(0)B x ，，2(0)C x ，（12x x <）。

∵(14)A ，，AB AC ⊥，

∴由射影定理得，216DB DC DA ⋅==，即

12(1)(1)16x x --=。

∵

B 、

C 为函数2(1)52y ax a x a =+-+-的图像与x 轴的交点，

∴

1x ，2x 是方程2(1)520ax a x a +-+-=的两根，

121a x x a

-+=-

，1252a

x x a -=。

又12(1)(1)16x x --=，12(1)(1)16x x --=-，1212()116x x x x -++=-，

（第6题答题图）

（第6题图）