电磁学
静电学
1、 静电场的性质
静电场是一个保守场，也是一个有源场。
F dl o ⋅=⎰ 高斯定理
静电力环路积分等于零
i
o
s
q
E ds E ⋅=
∑⎰⎰
i v q dv ρ⎛⎫
→ ⎪⎝⎭
∑⎰⎰⎰
电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系
b
a
b a
qE dr w
w ⋅=-∑
a
b E dr U
U ⋅=-∑ ①
过程 E dr dU ⋅=-
一维情况下 x dU E dx dx =- x dU
E dx
=- ②
2、 几个对称性的电场
（1） 球对称的电场
3
3
342o 143o R r R E r E r πρρπ⎛⎫= ⎪⎝⎭
例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E (2) 求空腔中心处的电势U
解:(1)在空腔中任选一点p ,
p E 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之
差, 即 ()121
2
333p o
o
o
E r r r r E E E ρ
ρ
ρ
=-
=
-
令12a o o =
3p o
E a E ρ
=
这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o
E a E ρ
=
(2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理
p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差
即 ()()()2222
2
22121
2
3303
666o o
o
o U R a R R R a E E E ρ
ρ
ρ⎡
⎤=
--
-=
--
⎣
⎦
假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s ,计算i s ,受到除了i s 上电荷
之处,球面上其它电荷对i s 的静电力,这个静电力包含了j s 上电荷对i s 上电荷的作用力.
同样j s 受到除了i s 上电荷以外,球面上其它电荷对j s 上电荷的作用力,
这个力同样包含了i s 对j s 的作用力. 如果把这里的i
j s s 所受力相加,则,i j s s 之间的相互作用力相抵消。
出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。
求法:2
2
222
2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ⎛⎫=⋅==
⎪⎝⎭
再观察下,均匀带电球面上的电场强度=?
通常谈论的表面上电场强度是指什么?
例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静电力?o f = 解:令()R R R
R R →+≤
过程无限缓慢
得出此过程中静电力做功的表达式:
()
2222
2
4222424o o o o Q Q Q Q f R R C C R R R ππεπε⋅⋅=-=-
⨯⨯+ 221111818R o o R Q Q R E R E R R ππ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22
8o Q R E R π= 2
2214422o o o
Q Q f R R E σππε=⋅⋅=
或者算出2o o
f E E E σ
σ
=⋅=
表面表面
而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度 ()121
2
E E E =
+表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的
电场强度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难.
例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度. 解:静电场(真空)能量密度 21
2
o E E ω= 本题球面外侧: 2
14o Q
E E R π=
2
2
211242o o o o
Q E f E R E σωπ⎛⎫==
= ⎪⎝⎭ 推论:如果在上述带电球体外侧无限空间中充满了相对电常数为r E 的多向同
性均匀电合质,
22
122r o o r o
E E E f E E σω===
下面求张力:它等于右半球表面所收到的静电力之和
()
()2
2s i n c o s
2T F R R d E π
σθσθπθθθ=⋅⋅⋅∑ ()2
2
2
23cos sin cos 2o o E R d π
πεθθθε=
⋅
∑ 2
22
39cos cos o
o
E R
d π
επθθ=
∑
229
4
o o E R επ=
前面求出过
本小题:,
3d E ρε=
本题:
导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为
c o s o σσθ
= 由于要求导体内0E =
,
0o E E E =+=
,
33o
o o o
d E E σρεε==
= 3o o o E σε⇒= 3cos o o E σεθ=
