不规则图形面积的求法

不规则图形面积的求法

求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或

规则图形面积的和差。

一、等积替换

（1）三角形等积替换

依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。

例1、如图1所示，半圆O中,直径AB长为4,C、D为半圆O的三等分

点.,求阴影部分的面积.

解：连结OC 、OD，

由C、D为半圆O的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°，

∴CD∥AB，所以

ODCADCSS



（同底等高的三角形面积相等）

∴＝＝

扇形阴影OCDSS



32

3602602



例2、如图2所示，在矩形ABCD中,AB=1,以AD为直径的

半圆与BC切于M点,求阴影部分面积.

解：由AB＝1，半圆与BC相切，得AD＝2

取AD的中点O，则OD＝BM＝1。连结OM交

BD于E; 则△OED≌△MEB

∴

MEBOEDSS



（全等三角形面积相等）

∴＝＝

扇形阴影OMDSS

43601902





(２）弓形等积替换

依据：等弧所对的弓形面积相等。

例3、 在RT△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,AB为直径的⊙O

交AC于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.

解：连结BD，由AB为⊙O的直径得∠ADB＝90°，

RT△ABC中∠B＝90°AB＝BC＝4，

得∠A＝45°且AC

＝42

，AD＝BD＝CD

＝22

∴

ADBnDSS

弓形m弓形＝

∴

CDB11

SCDBD22224

22S



阴影＝＝＝＝

例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且

AB

＋

CD

＝

AC

＋

BD

，

弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。

解：作⊙ O的直径BE连结AE ，则∠BAE＝90°，

ABAE＋半圆

；

A

图2

图

4

又∵

AB

＋

CD

＝

AC

＋

BD＝1

ABCDACBD

2（＋＋＋）＝半圆

，

∴

AE

＝

CD

，所以

AECDS

mnS

弓形弓形＝

，AE=CD=4。 ∴BE2

=AE2

+AB2

∴

BE=22

8445＋＝

∴ 2

RTABE

O1451

SSS841016

222









阴影半圆＝－＝－＝－

二、整体思想（各部分的面积无法求得，但各部分面积的和或差可求得）

例5、如图5所示，一个同心圆环中，大圆的弦ＡＢ与小圆相切于Ｃ，

且ＡＢ＝６，求圆环的面积

分析：按照常规思路，圆环的面积等于大小圆的面积之差，而两圆的

半径大小未知，好像是无法求得；但



2222

SSSRRrr

圆环大圆小圆＝－＝－＝－

，这里我们需要的两圆半径

差的平方，而不是两圆的半径。

解：连结OC、OB，由AB为小⊙O的切线得∠OCB为直角；

BC＝1

2AB＝3，OB2

－OC2

＝BC2

＝9

∴

2222

SSSOBOCOBOC9

圆环大圆小圆＝－＝－＝－＝

例6、如图:圆Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ相互外离，它们的半径都是１， 顺

次连结五个圆的圆心，得五边形ＡＢＣＤＥ，则图中五个扇形的面积之

和是＿＿。( 2002年甘肃中考题)

分析：圆心角不知大小，所以每个扇形的面积无法求得，但是所有

的圆心角之和可求得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝（5-2）×180°

=540°

例7、如图7所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心

圆，最大的圆为单位圆（即半径为1），

求图中阴影部分的面积之和。

分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三象限的阴

影绕点O旋转至第一象限后得扇形OAB。

解：2

OAB901

S

3604S



阴影扇形为＝＝＝

三、求重叠部分的面积 （重叠部分的面积等于组成

图形的各部分的面积之和减去组合成的新图形的面积之22222

2

2A1B1C1D1E1

S

360360360360360

ABCDE1

54013

3603602









扇形的面积和解：＝＋＋＋＋

＋＋＋＋

＝＝＝

差。）

例8、如图8所示，正方形ABCD的边长为a，

以各边为直径在正方形内画半圆， 求阴影部分的面积

之和。（1997年广东中考题）

分析：图中阴影部分是四个半圆重叠部分，阴影部分之和等于四个半圆

面积之和减去正方形的面积。

解：

2

22180

2

S4SS41

36022a

aaaa















阴影正方形半圆＝－＝

例9、如图9所示，国际奥委会会旗上的图案是由代表五

大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外径分别是8和10，图

中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知

五个圆环覆盖的面积为122.5平方单位，计算每个小曲边四边

形的面积为＿＿平方单位。

分析：图中黑色部分是五个圆环的重叠部分，所以这8个

曲边四边形的面积之和等于五个圆环的面积之和减去图中五个

圆环覆盖的面积。



22111

S5SS554122.5

888

1

45122.5

8S







圆环阴影和曲四边形覆盖解：＝＝－＝－－＝

－平方单位

四、分割转化 （把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。）

例10、 如图10所示，:正方形ABCD的边长为a,以相邻的两边为直径分

别画两个半圆. 求阴影部分的面积.

分析：将不规则的阴影部分分割成几个规则的部分的面积之和。

解：取两半圆弧的交点O，作OE⊥AB于E， 作OF⊥BC于F，

则得到小正方形OEBF、扇形EOB、扇形FOB。S

阴影＝S

扇形OEA＋S

扇形OFC＋S

正方形OEBF＝

2

2

2

229090

2

a

22

2360360488aaaaa





















例11、如图：四边形ABCD为某住宅区的示意图，其周

长为800米，为美化环境，计划在住宅区周围5米以外作

为绿化带（虚线以内，四边形以外）；求此绿化带的面积。

分析：要求该不规则图形的面积，将阴影分割为四个

矩形和四个扇形，进而求得这个阴影部分的面积。

解：如图分割成四个矩形和四个扇形；



ADQECNPDBHMCABGFSSSS

矩形矩形矩形5（AB＋BC图9

＋CD＋DA）=5×800＝4000 （m2

）

∠EAF=360°－2 ×90°－ ∠A=180°－∠A

（即∠EAF等于∠A的外角），同理可得∠GBH、∠MCN、∠QDP分别等于∠B、∠C、∠D的外角。

由多边形的外角和是360°；所以∠EAF＋∠GBH＋∠MCN＋∠QDP＝360°



2

5

36025

360360

25AEFBGHCMNDPQEAFGBHMCNPDQ

SSSS









扇形扇形扇形扇形



2

254000mS



阴影

∴S绿化带＝（4000＋25π ） 平方米

例12、（2007年，滨洲）如图所示，分别以n边形

的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影

部分的面积之和为_________个平方单位。

分析：图中各扇形的圆心角无法求，但是所有

扇形的圆心角这和恰好是n边形的外角和，显然等

于360°。即∠1＋∠2＋∠3＋„＋∠n＝360°

解：2222

1121+31++1

360n

S



阴影＝

＝

2

1231

360

360360n



＋＋＋

＝＝

根据点的坐标计算不规则图形的计算公式

n为点的个数，i为某个点，x和y为横纵坐标，∑为求和。比如平面直角坐标系内一个三

角形的三个顶点的坐标分别为(a,b)、(c,d)、(e,f)，那么这个三角形的面积为：

0.5a(d-f)+0.5c(f-b)+0.5e(b-d)