《初等数学研究》教学大纲

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《初等数学研究》教学大纲
课程名称：初等数学研究 英文名称：Research on elementary mathematics
课程性质：专业必修课
学 分：4
总 学 时：64 理论学时：64
适用专业：数学与应用数学
先修课程：数学分析，高等代数，解析几何
一、教学目的与要求
初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。通过本课程的开设，应使学生在掌握近、现代数
学的基础上，系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，做到初等与高等相结合。一方面，通
过初等数学内容的研究，尽量反映近、现代数学思想方法，以填补学生在中学数学与高等数学之间的
空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、处理、研究中学数学内容，使学
生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，为当好一名中学数学教师打下扎实的知识基础。同
时通过本课程的开设，进行解题策略的训练，使学生具有一定的解题能力。
由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、每节
之后提出若干问题让学生进行探索、研究，以帮助学生形成自主探索、合作交流的学习方式，以便他
们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。
本课程主要采用以讲授为主、学生自学为辅的教学方法，必要时运用小组合作的方式进行适当的
专题讨论。
初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七---八学期开设，安排32周，有条件
时可安排36周,共64课时。

二、教学内容与学时分配
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序号 章节名称 学时分配
1 第一章 绪论 2
2 第二章 集合与逻辑 6
3 第三章 数与式的理论 8
4 第四章 函数的理论 8
5 第五章 方程、不等式 8
6 第六章 公理化方法与演绎推理 6
7 第七章 几何变换 8
8 第八章 几何的向量结构及坐标法 6
9 第九章 排列、组合 6
10 第十章 中学数学解题策略 6
合计学时数 64

三、各章节主要知识点与教学要求
第一章 绪论（2课时）
包括数学研究的对象，中学数学的发展历程，中学数学的特点，中学数学与初等数学的关系，本
课程的研究对象，学习本课程的目的意义，等等
本章重点：中学数学的特点
本章难点：无
本章教学要求： 要求学生了解数学研究的对象，中学数学的发展历程；掌握中学数学的特点，中学

数学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的目的意义
第二章 集合与逻辑（6课时）
第一节 集合
集合的特性，集合的运算。集合的运用
第二节 命题的逻辑演算
命题的特征，简单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算
第三节 命题中的量词
开语句，真值集，开语句的复合，全称量词，存在量词，量词的否定，假言命题的四种形式，充分条
件与必要条件
第四节 集合与逻辑的关系
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本章重点：复合命题的真值定义，等价命题，假言命题的四种形式
本章难点：假言命题的四种形式
本章教学要求： 要求学生掌握假言命题命题的四种形式（逆、否、逆否），开语句的复合，判断命题

真假。
第三章 数与式的理论（8课时）
第一节 数扩充的概述
数的扩充的必要性，数扩充的基本原则，数扩充的基本方法
第二节 自然数的公理体系
皮亚诺的序数理论，归纳思想与数学归纳法，数学归纳法的几种形式
第三节 有理数集
从自然数到有理数的扩充
第四节 实数集
从有理数到实数的扩充
第五节 复数集
从一维数到二维数的扩充
第六节 式的理论及式的变形
式的定义，式的变形基础，式的变形技巧
本章重点：皮亚诺的序数理论，式的变形基础，式的变形技巧
本章难点：式的变形基础，式的变形技巧
本章教学要求： 要求学生掌握数系的扩充过程，深刻掌握式的变形基础，式的变形技巧

第四章 函数的理论（8课时）
第一节 函数的定义
函数的变量说定义与对应说定义，
第二节 函数的表示方法
表达式，图表，图象，方程等
第三节 函数的基本性质
定义域，值域，单调性、奇偶性与对称性，周期性
第四节 复合函数的性质
复合函数的定义域，值域，单调性等
第五节 函数与图象
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函数图象的特征，数形结合的体现
第六节 数列
基本数列，递推数列
本章重点：函数四大性质，递推数列
本章难点：递推数列
本章教学要求： 要求学生对函数的定义、四大性质，理解并掌握。递推数列，高阶等差数列、线性

循环数列。
第五章 方程（不等式）的理论（8课时）
第一节 方程与不等式概念
方程与不等式的概念、解方程与解不等式的基本思想
第二节 方程与不等式的变形
同解变形，不同解变形，方程与不等式变形的区别，
第三节 线性方程组与与线性规划
二元一次方程组，三元一次方程组，线性方程组，二元一次不等式与线性规划
第四节 基本不等式及其应用
不等式的基本性质，几个基本不等式及其图形表示，基本不等式的应用。
本章重点：同解变形，不同解变形，三元一次方程
本章难点：三元一次方程
本章教学要求： 掌握方程和不等式的同解非同解变形，掌握三元一次方程的公式解，几个不等式及

其应用。
第六章 逻辑推理及演绎几何（6课时）
第一节 几何公理的产生与发展
公理化方法的基本要求，公理系统的基本要求，公理化方法的产生与发展
第二节 欧氏公理体系与希氏公理体系
欧氏公理体系的来源，基本内容，存在问题；希氏公理体系的产生，内容，对公理化方法的影响
第三节 平面图形及平面图形的推理论证
平面图形基本性质、平面图形推理论证的基本方法
第四节 空间图形及空间图形的推理论证
空间图形的研究内容，空间图形推理论证的基本方法
本章重点：平面图形推理论证的基本方法，空间图形推理论证的基本方法
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本章难点：平面图形推理论证的基本方法，空间图形推理论证的基本方法
本章教学要求： 了解三大几何体系的形成和发展，，掌握平面和空间图形推理论证的方法。

第七章 图形变换及变换几何（8课时）
第一节 合同变换
定义，合同变换的性质
第二节 平移与旋转变换
定义，性质，在解题中的应用，
第三节 反射变换
定义，性质，在解题中的应用
第四节 相似变换
相似变换的定义、性质，位似变换的定义、性质，在解题中的应用
第五节 其它变换
仿射变换，射影变换，拓扑变换
本章重点：合同变换
本章难点：拓扑变换
本章教学要求： 掌握各种几何变换在中学中的应用。

第八章 向量及解析几何（6课时）
第一节 平面向量及其运算
向量的概念，平面向量的三种运算，平面向量基本定理，三种运算的相应坐标表示
第二节 空间向量及其运算
空间向量的三种运算，空间向量基本定理，三种运算的相应坐标表示
第三节 向量与解析几何中的基本公式
用向量推导两点间距离公式，夹角公式，点到直线的距离公式，正弦、余弦定理等
第四节 运用向量解题例说
本章重点：平面向量的三种运算，空间向量的三种运算
本章难点：向量解题例说
本章教学要求：掌握平面和空间向量及其运算，掌握解析几何中的诸多基本公式。

第九章 组合数学初步（6课时）
第一节 两个基本原理
计数问题，加法原理，乘法原理。
第二节 排列组合问题例说
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排列数的基本公式，组合数的基本公式，解题例说，
第三节 二项式定理
二项式定理及其运用
第四节 母函数与排列组合
抽屉原理，容斥原理，母函数与排列组合公式。
本章重点：计数问题，加法原理，乘法原理
本章难点：排列组合问题例说
本章教学要求： 掌握两个基本原理，掌握排列和组合的基本公式及其应用。
第十章 中学数学解题策略（6课时）
第一节 中学数学解题策略
定义法、利用图形、正难则反、特殊化、一般化、类比、模式转换
第二节 研究性课题及其研究方法
本章重点：利用图形，特殊化，一般化
本章难点：模式转换
本章教学要求： 要求学生熟练掌握各种解题策略的应用。
四、成绩考核方式
考试：闭卷，总评成绩=平时成绩×30%+期末成绩×70% ，其中平时成绩由出勤、课堂表现、作业三
部分组成，作业形式是每节布置作业，书写在作业本上。
五、教材与参考资料
1.季素月 朱家生 林波 编著, 《初等数学研究教程》, 2004年8月第一版, 吉林科学技术出版
社 ,2004
2.葛军 涂荣豹 编著, 《初等数学研究教程》,2009年7月第一版, 江苏教育出版社, 2009
3．李长明 周焕山 编著，《初等数学研究》，1995年6月第一版，高等教育出版社，1995
4.叶立军 编著，《初等数学研究》，2008年5月第一版，华东师范大学出版社，2008
5. Klaus Hulek著，胥鸣伟译，《初等代数几何》，2014年10月第一版，高等教育出版社，2014