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第1课时根式学习目标 1.理解n次实数方根、n次根式的概念.2.正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．知识点一n次实数方根，n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？x叫做3的什么？怎么表示？梳理(1)n次实数方根的概念(2)根式的概念式子______叫做根式，其中n叫做________，a叫做被开方数．知识点二根式的性质思考我们已经知道，若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？－2呢？梳理根式的性质(1)n0＝____(n∈N*，且n>1)；(2)(na)n＝____(n∈N*，且n>1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧aa(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1 求使等式a－a2－＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于na，当n为偶数时，要注意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要na有意义，na必不为负．跟踪训练1 若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二利用根式的性质化简或求值例2 化简：(1)4－π4；(2)a－b2(a>b)；(3)(a－1)2＋－a2＋3－a3.跟踪训练2 求下列各式的值．(1)7－7；(2)4a－4(a≤1)；(3)3a3＋4－a4.类型三有限制条件的根式的化简例3 设－3<x<3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．引申探究例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，结果又是什么？反思与感悟当n为偶数时，na n先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．跟踪训练3 已知x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋3＝________.1．已知x5＝6，则x等于________．2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是________．①4m2；②3m；③6m；④5－m.3．(42)4运算的结果是________．4.3－8的值是________．5．化简－2x2(2x>1)的结果是________．1．根式的概念：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次实数方根，其中n >1，且n ∈N *.n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2．掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.3．一个数到底有没有n 次实数方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数还是偶数这两种情况．答案精析问题导学 知识点一思考 这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作± 3. 梳理 (2)na 根指数 知识点二思考 把x ＝3代入方程x 2＝3，有(3)2＝3； 32＝9，9代表9的正的平方根即3. －2＝9＝3.梳理 (1)0 (2)a (4)a －a 题型探究 例1 解 a －a 2－＝a －2a ＋＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．跟踪训练1 解 ∵a 2－2a ＋1 ＝|a －1|＝a －1， ∴a －1≥0，∴a ≥1. 例2 解 (1)4－π4＝|3－π|＝π－3.(2)a －b 2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 解 (1)7－7＝－2.(2)4a －4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a . (3)3a 3＋4－a4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 解 原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|， ∵－3<x <3， ∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究 解 原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|. ∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0，∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 跟踪训练3 1 解析 ∵x ∈[1,2]， ∴x －1≥0，x －2≤0， ∴(4x －1)4＋6x 2－4x ＋3＝x －1＋6x －6＝x －1－(x －2) ＝1. 当堂训练1.56 2.③ 3.2 4.－2 5.2x －1。
江苏省泰兴中学高一数学教学案(23)必修1_02 分数指数幂班级姓名目标要求1.理解根式的概念，掌握n次方根的性质与整数指数幂的运算性质2.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质3.能运用有理指数幂的运算性质进行化简和运算4.会进行根式与分数指数幂的相互转化熟练掌握用根式和分数指数幂表示一个正实数的算术根重点难点重点：利用分数指数幂的运算性质熟练地进行指数运算难点：分数指数幂的运算性质及运用课前预习一、复习回顾：（1）整数指数幂：①②③（2）整数指数幂的运算性质：①②③二、阅读教材P59～P61，回答下列问题：1、根式：（1）n次实数方根：.（2）n次实数方根的性质： . （3）根式： ，其中 叫根指数， 叫做被开方数. 性质：=n n a )（ ，=n n a 思考1：求下列各式的值：（1）33)8(- （2）2)10(- （3）44)3(π- （4）2)(b a -（a>b ） 2、分数指数幂的意义：正数a 的正分数指数幂=nm a （),,0*N n m a ∈>正数a 的负分数指数幂=-nma（),,0*N n m a ∈>同时规定：0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂为 . 思考2：求下列各式的值：（1）328 （2）21100-（3）239-（4）43)8116(-3．指数概念的推广： 4．指数运算法则：① ②③思考3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）a a ⋅2 （2）323a a ⋅ （3）a a（4）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- 三、典型例题：例1 已知231211322[()()]a b a b ab a ------==求的值.变题1：已知nn n n na a a a a --+++=332,12求的值.变题2：已知31=+-x x ，求下列各式的值：（1）2121-+xx ；（2）2121--x x ；（3）2323-+x x .例2 比较63123,11,5的大小.例3 求代数式31)1|(|--x 有意义的x 的取值范围.变题1：求使下列等式成立的x 的取值范围： （1）1)1()1)(1(2+-=--x x x x ； （2）2222)21()21(--=--x x x x变题2：画出函数323213312+++++-=x x x x x y 的图象.。
《指数函数》教学设计一、教材分析函数是数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿整个数学学习。
本节课是学生在已掌握了函数的定义、性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数的定义、图像和性质，一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解和认识，使学生得到系统的函数知识和研究函数的方法；另一方面也为研究对数函数以及等比数列的性质打下基础。
本节课十分重要，它对知识起承上启下的作用。
二、学情分析在初中所学的基本初等函数的基础上，通过前几节课的对函数的定义的更详细了解，学生对函数有了一定的理解，已初步能用函数的观点分析问题、解决问题。
三、教学目标知识目标：熟悉指数函数的定义；掌握指数函数的图像和性质。
能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，进一步巩固数形结合、分类讨论的数学思想，掌握从特殊到一般的学习数学的方法，增强识图用图的能力。
情感目标：通过探究学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，学会用函数的观点分析问题，并养成合作交流、独立思考、理论联系实际的习惯，激发学生学习数学的兴趣，树立学习数学的信心。
四、教学重点、难点重点是指数函数的图像和性质；难点是指数函数性质的应用。
教学方法：引导，观察，归纳，启发，探究，比较。
五、教学活动（一）温故知新（学生集体回答下列问题。
）1.指数式的形式2.指数的运算公式设计意图：通过多媒体演示，引导学生回忆指数的运算，培养学生温故知新的能力，为本节内容的学习做好准备。
（二）创设情境，导入新课（学生跟随教师动手折纸，在动态的操作中找到问题的答案）折纸是一门艺术，很受大家的青睐；折纸又是一个数学探究的过程，它溶于数学，所以以折纸为载体，出现了不少趣题，请同学们动手之后回答下面的问题：假设一张纸的厚度为1，对折x次，纸的厚度y是多少？答：对折1次，折纸厚度为21；对折2次，折纸厚度为22；对折3次，折纸厚度为23；对折4次，折纸厚度为24，……对折x次，折纸厚度y=2x 定义：一般地，形如y=ax，（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域为实数集R。
第3章指数函数、对数函数和幂函数3。
1 指数函数3。
1.1 分数指数幂（对应学生用书P41)A级基础巩固1．下列各式正确的是（）A。
a2＝a B.错误!＝aC.错误!＝|a|D.错误!＝a解析：A、B不正确，因为当a≤0时，错误!＝－a，错误!＝－a；C不正确，na n＝a（n为奇数)，故D正确．答案：D2．若a＜错误!，则化简错误!的结果是（)A。
2a－1 B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：因为a＜错误!，所以2a－1＜0，所以错误!＝1－2a.所以4，（2a－12）＝1－2a。
答案：C3．若（1－2x)－错误!有意义，则x的取值范围是（）A．x∈R B．x∈R且x≠错误!C．x＞错误!D．x＜错误!解析:因为（1－2x）－错误!＝错误!，所以1－2x＞0，得x＜错误!.答案：D4．计算(2a－3b－错误!）·（－3a－1b）÷(4a－4b－错误!）得( )A．－错误!b2 B.错误!b2C．－错误!b错误!D。
错误!b错误!解析：原式＝错误!＝－错误!b2.答案：A5．当2－x有意义时，化简错误!－错误!的结果是（)A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x解析：因为错误!有意义，所以2－x≥0，即x≤2.所以错误!－错误!＝错误!－错误!＝｜x－2｜－|x－3｜＝2－x－(3－x)＝－1。
答案:C6. 错误!－错误!＋错误!－(错误!＋错误!)0的值是（)A．0 B.错误!C．1 D。
错误!解析：原式＝52－32＋0。
5－1＝错误!.答案:B7．化简错误!＋错误!的结果为________．解析：原式＝｜π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0。
答案：08．若x＜0，则｜x｜－错误!＋错误!＝________．解析：因为x＜0，所以原式＝－x－（－x）＋错误!＝－x＋x＋1＝1.答案:19．若错误!＝错误!，则a的取值范围是________．解析:因为错误!＝|2a－1|＝1－2a，所以2a－1≤0,即a≤错误!.答案：错误!10．化简：错误!错误!错误!＝________．解析：原式＝［（x错误!＋1）2－(x错误!）2］(x－x错误!＋1)＝（x＋1＋x错误!）（x－x错误!＋1)＝（x＋1）2－(x错误!）2＝x2＋x＋1.答案：x2＋x＋111.错误!错误!·错误!错误!的结果是________．解析：［（a 错误!)错误!]4·[（a 错误!)错误!］4＝a 错误!×4·a 错误!×4＝a 2＋2＝a 4. 答案：a 412．若m ＝(2＋错误!）－1，n ＝（2－错误!）－1，则（m ＋1）－2＋（n ＋1）－2＝________．解析：因为m ＝2－错误!，n ＝2＋错误!， 所以原式＝1（3－3）2＋错误!＝错误!＋错误!＝ 错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!＝错误!。
3.1.1 分数指数幂(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确说法的序号是________．【解析】 ①错，16的4次方根是±2；②错，416＝2；③④正确，由根式的意义可知．【答案】 ③④【答案】 a b3.3－3＋45－4＋35－3的值为________.【解析】 3－3＝－6，45－4＝|5－4|＝4－5， 35－3＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 【答案】 －64．式子a5－1a3经过计算可得________.5．若(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0，则a2 016·b2 016等于________．【解析】 ∵(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0， ∴a ＝－2，b ＝12，∴(－2)2 016·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12 2 016＝1. 【答案】 16．已知10α＝3,10β＝4，则102α＋β2＝________.【解析】 102α＋β2＝(10α)2·(10β)12＝32·412＝18.【答案】 187．计算下列各式(式中字母都是正数)：【答案】 (1)4a (2)m 2n38．若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵(±9)2＝81， ∴81的平方根为±9，即a ＝±9.又(－2)3＝－8，∴－8的立方根为－2，即b ＝－2.∴a ＋b ＝－9－2＝－11或a ＋b ＝9－2＝7，∴a ＋b ＝－11或7. 【答案】 －11或7 二、解答题 9．化简：10．化简：(2)原式＝[(a －3)2－(a 3)2]÷[(a －4＋a 4＋1)(a －1－a )]＝a －23－a 23a －4＋a 4＋a －1－a＝a －2－a 2a －4＋1＋a 4a －4＋a 4＋a －1－a＝a －1－a a －1＋a a －1－a＝a －1＋a ＝1a＋a .[能力提升]1．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.【解析】 ∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x ＝－x ＋x ＋1＝1.【答案】 12．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于________．【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】xx －13．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________． 【解析】 ∵2－x 有意义， ∴2－x ≥0，即x ≤2.x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝x －2－x －2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝2－x －3＋x ＝－1. 【答案】 －14．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －yx ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【解】 (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝x ＋y2x －y－x －y 2x －y＝4xy x －y. 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.(2)∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a >b >0，∴a >b .⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。
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第2课时 分数指数幂
学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化
简求值.3.了解无理数指数幂的意义．
知识点一 分数指数幂
思考 根据n次实数方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①5a10＝5a25＝a2＝105a(a>0)；
②a8＝a42＝a4＝82a(a>0)；
③4a12＝4a34＝a3＝124a(a>0)．
梳理 分数指数幂的定义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m，n均为正整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m，n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂____________．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
思考 我们知道32×33＝32＋3，那么1264×1364＝112364成立吗？
梳理 整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
2
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，s，t∈Q)．
知识点三 无理数指数幂
一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对
实数指数幂同样适用．
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1 分数指数幂化根式
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．
(1)x25；(2)x－53.
反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数
的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的
重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1 用根式表示2132xy(x>0，y>0)．
命题角度2 根式化分数指数幂
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
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(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)－a6.
反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，mna有时有意义，有
时无意义．如13(1)＝3－1＝－1，但12(1)就不是实数了．为了保证在mn取任何有理数时，
m
n
a
都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂．
(1) 682；(2) aa(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x5x22 .
类型二 运用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1)23(0.027)＋1327()125－(279)0.5；
(2)21113322(2)(6)abab÷1566(3)ab；
(3)111222mmmm－＋＋.
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反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为
简的目的．
跟踪训练3 (1)化简：131()8×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6；
(2)化简：21321111362515()()46xyxyxy；
(3) 已知1122xx＝5，求x2＋1x的值．
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类型三 运用指数幂运算公式解方程
例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．
1．化简238的值为________．
2．1225等于________．
3．用分数指数幂表示a－b3(a>b)为________．
4．(36a9)4等于________．
5．计算214×2222的结果是________．
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算．负指数幂化
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为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，
先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进
行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然
后运用运算性质准确求解．
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答案精析
问题导学
知识点一
思考 当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指
数除以根指数．
梳理 (1)nam (2)1mna (3)0 没有意义
知识点二
思考 成立.1264×1364＝64×364＝82×343＝8×4＝32, 112364＝5664＝6645＝
6
56＝25
＝32.
题型探究
例1 解 (1)25x＝5x2.
(2)53x＝13x5.
跟踪训练1 解 2132xy＝23121yx＝1x·3y2.
例2 解 (1)5a6＝65a.
(2)13a2＝231a＝23a.
(3)4b3a2＝1342()ba＝3244ba＝1324ab.
(4)－a6＝a6＝62a＝a3.
跟踪训练2 解 (1)682＝163222＝1762(2)＝7122.
(2)aa＝12aa＝32a＝3122()a＝34a.
(3)b3·3b2＝b3·23b＝113b.
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(4)13x5x22＝23251()xx＝4351xx＝9351x＝91531()x＝351x＝35x.
例3 解 (1) 23(0.027)＋1327()125－(279)0.5
＝(30.027)2＋ 312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)] 211115326236ab
＝4ab0＝4a.
(3)111222mmmm－＋＋＝112221122()mmmm＝1122mm.
跟踪训练3 解 (1)原式＝1(1)()38×1＋111311366342444222322（）（）＋22×33＝
112.
(2)21321111362515()()46xyxyxy＝5×(－4)×(－65)×2111111()(1)()033226662424xyxyy.
(3)由1122xx＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23.
例4 解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴1()bba＝1()abb⇒a＝abb⇒a＝199a，
∴89a＝199⇒a8＝32⇒a＝43.
方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝43.
跟踪训练4 解 由67x＝33，得67＝33x，由603y＝81，得603＝43y，
∴433yx＝60367＝9＝32，
∴4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.
当堂训练
9
1．4 2.15 3. 32()ab－
4．a2 5.16
