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石家庄市2015届高三第一次质量检测数学文科答案一、选择题：1-5ACCDA 6-10 DDBDB 11-12 BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．310x y --= 14．15 15．3π 16．283π 三、解答题17. 解：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得2(12)1(18)d d +=+，得1d =或0d =(舍)，…………2分所以{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-=．……………………4分(2) (1)2n n n S +=，12(1)n S n n =+，……………………6分 ∴2222122334(1)11111112(1)223341122(1)11n T n n n n n n n =++++⨯⨯⨯+=-+-+-++-+=-=++……………………8分 ……………………10分18.因为c=2,不合题意舍去，所以52c =.....................................12分 222222,............2sin sin sin 3cos .............62sin 2494cos ................82629100.............1052c= (2)==∴===+-+-==-+==a b A B A BA aB B b a c b c B ac cc c c 解：分sinA=sin2B=2sinBcosB.........4分分分分解得或..11分19．解：(1) 15816216316816817017117918210a x +++++++++= ……………2分170=………………4分解得a =179 所以污损处是9.………………6分(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分而事件A 含有4个基本事件，………………10分∴P (A )＝410＝25………………12分20、(1)分别取PA 和AB 中点M 、N ，连接MN 、ME 、NF ，则=NF ∥12AD ,=ME ∥12AD ,所以=NF ∥ME ,∴四边形MEFN 为平行四边形. -------------2 ∴EF MN ∥,又,EF PAB ⊄平面,MN PAB ⊂平面∴EF ∥PAB 平面. -------------4(2)在平面PAD 内作EH AD H ⊥于,因为侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以平面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD =AD ,所以EH ADC ⊥平面,所以EH PA ∥. -------------6 E 为PD 的中点,12EH =,1111224ABF S =⨯⨯= 11111334224E ABF ABF V S EH -==⨯⨯= -------------8 设点F 到平面ABE 的距离为h,E ABF F ABE V V --=1112224ABE SAB AE =⨯⨯=⨯⨯=-------------10 1133ABF ABES EH S h =, h = -------------12 解法2:,APD PA AD E PD =中，为中点，所以AE PD ⊥侧棱PA ⊥底面ABCD ,所以PA AB ⊥,又因为AD AB ⊥,B所以,AB PAD AB PD ⊥⊥平面所以所以PD ⊥平面ABE -----------------8设点F 到平面ABE 的距离为h ,F 为AC 的中点且底面ABCD 为正方形， 所以F 为BD 的中点.则1=2h DE = -------------12 21.解：（1）设A （0x ，0），B （0，0y ），P （,x y ），由2BP PA =得，00(,)2(,)x y y x x y -=--，即000032()223x x x x x y y y y y⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩，——————2分 又因为22009x y +=，所以223()(3)92x y +=，化简得：2214x y +=，这就是点P 的轨迹方程。
2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．A B B = B ．A B A = C ．A B ⊂ D ．R C A B =2、复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．24B ．30C ．36D ．40 4、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i > B ．9?i > C ．10?i > D ．11?i >5、将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种8、已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，点P 满足11()2OP OF OQ =+(其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点)，在点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-10、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,ABC AC BC AC BC PA ⊥===锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π11、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∠最大时，cos PAB ∠=（ ）A．12 C． D ．12- 12、若函数[]111sin 20,)y x x π=∈，函数223y x =+，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）AB ．2(18)72π+C ．2(18)12π+ D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上。
河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C.【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c ．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算.L4【答案】【解析】A 解析：∵114i z i====，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种【知识点】排列与组合. J2【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【知识点】直线与双曲线. H6 H8【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x ，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额.【题文】9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311 223342c c a c cc a c c a+≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径R= AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果. 【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B 解析：若点P 在棱AD 上，设AP=x ，则()222212CP PD DC x =+=-+，所以2x =，解得12x =，同理点P 可以是棱,,,,AB AA C C C B C D ''''''的中点，显然点P 不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数. 【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c =≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c =≠是一个“关于-1函数”； ②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2015年河北省衡水中学高考数学三调试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}2560B x x x =-+≥，则下列结论中正确的是（ ）A.A B B =B.A B A ⋃=C.A B ØD.R C A B = 答案：C考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：集合．分析：由2560x x -+≥，解得3x ≥，2x ≤，解答：解：由2560x x -+≥，化为()()230x x --≥，解得3x ≥，2x ≤，{}3,2B x x x ∴=≥≤， A B ∴Ø,故选：C ．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.复数的12i2i +-的共轭复数是（ ）A.3i 5B.3i 5-C.iD.i - 答案：D考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为i a b +的形式，然后求出它的共轭复数即可．解答：解：复数()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+++===--+． 所以复数的12i2i+-的共轭复数是：i -． 故选D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，新产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A.24 B.30 C.36 D.40 答案：C考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义求出k ，即可得到结论． 解答：解： 新产品数量之比依次为:5:3k ，∴由2435120k k =++，解得2k =， 则C 种型号产品抽取的件数为31203610⨯=，故选：C点评：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4.如图给出的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A.i>8B.i>9C.i>10D.i>11 答案：C考点：循环结构． 专题：规律型．分析：写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S 在第十次循环中结果中，此时的i 满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．解答：解：经过第一次循环得到12S =,i 2=，此时的i 应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到1124S =+，i=3，此时的i 应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到111246S =++，i 4=，此时的i 应该不满足判断框中的条件，经过第十次循环得到111124620S =++++ ,i 11=，此时的i 应该满足判断框中的条件，执行输出.故判断框中的条件是i 10>. 故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律． 5.将函数()cos f x x x -的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A.2π3 B.π3 C.π8 D.5π6答案：A考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到ππ2sin 2sin 66x m x m ⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m 的值，从而得到最小值．解答：解：πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭然后向左平移()0m m >个单位后得到π2sin 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象为偶函数，关于y 轴对称ππ2sin 2sin 66x m x m ⎛⎫⎛⎫∴+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x m x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin cos 06x m ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，πcos 06m ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ππ2π+62m k ∴-=，2π3m =． m ∴的最小值为2π3． 故选A ．点评：本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．6.已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则101268a aa a --的值为（ ）A.2B.4C.8D.16 答案：B考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项得212a q =，351116a q a q =，求出2q ，即可得出结论．． 解答：解：设等比数列{}n a 的公比是q ， 由32a =，4616a a =得，212a q =，351116a q a q =， 则11a =，22q =，9111012115768114a a a q a q a a a q a q --∴==--， 故选：B ．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题．7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种 答案：A考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：排列组合．分析：由题意知先使五个人的全排列，共有55A 种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果解答：解：由题意知先使五个人的全排列，共有55A 120=种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有24242A A 96=种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有223223A A A 24=种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120962448-+=， 故选：A点评：本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题．8．已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案：D考点： 椭圆的简单性质．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由()112OP OF OQ =+可以推出P 是线段1F Q 的中点，由Q 在椭圆上，1F 为椭圆C 的左焦点，即可得到点P 满足的关系式，进而得到答案．解答：解：因为点P 满足()112OP OF OQ =+，所以P 是线段1QF 的中点，设(),P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则()10F ，故2b Q ⎫⎪⎪⎝⎭，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P的轨迹方程为(2216440a b +=， 故点P 的轨迹为椭圆． 故选：D点评：该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题． 9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）俯视图A.3π272-B.3π182- C.273π- D.183π- 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可．解答：解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积()2113π2423π1318222V =⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=-，故选：B ．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =面积为（ ）A.5πC.20πD.4π 答案：A考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，证出BC ⊥平面SAB ，可得BC PB ⊥，得Rt BPC △的中线12OB PC =，同理得到12OA PC =，因此O 是三棱锥P ABC -的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC 得外接球半径R =解答：解：取PC 的中点O ，连结OA 、OB PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PA AC ∴⊥，可得Rt APC △中，中线12OA PC =又PA BC ⊥，AB BC ⊥，PA 、AB 是平面PAB 内的相交直线 BC ∴⊥平面PAB ，可得BC PB ⊥因此Rt BPC △中，中线12OB PC =O ∴是三棱锥P ABC -的外接球心，Rt PBA △中，ABPAPB ∴12R PB =∴外接球的表面积24πR 5πS ==故选A ．POCA点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．11.已知不等式组3410043x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当APB ∠最大时，cos APB ∠ =（ ）B.12C. D.12-答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB ∠最大，则OPB ∠最大，1sin OB OPB OP OP∠==， ∴只要OP 最小即可．则P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP 垂直直线34100x y +-=，此时1025OP ===，1OA =， 设APB α∠=，则2APO α∠=,即1sin22OA OP α==，此时22111cos 12sin 1212222αα⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭， 即1cos 2APB ∠=．故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．12.若函数[])111sin 20,πy x x =∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）B.()2π+1872 C.()2π+812 D.()2π1572 答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用．分析：根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：设()()22121z x x y y =-+-，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方， 求函数[])sin 20,πy x x =∈的导数，()'2cos2f x x =，直线3y x =+的斜率1k =， 由()'2cos21f x x ==，即1cos22x =，即π23x =，解得π6x =，此时sin 20y x ==-=， 即函数在π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和直线3y x =+平行，则最短距离d =，()()221212x x y y ∴-+-的最小值()222π+1872d ==⎝⎭， 故选：B点评：本题主要考查导数的综合应用，利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，考查学生的运算能力． 二、填空题.13．已知函数()()2cos 1f x A x ωφ=++π0,0,02A ωφ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f +++= ． 答案：4030考点：二倍角的余弦；余弦函数的图象． 专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的余弦公式可得()()cos 22122A Af x x ωφ=+++，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值． 解答：解： 函数()()()21cos 22cos 112x f x A x A ωφωφ++=++=⋅+()πcos 2210,0,0222A A x A ωφωφ⎛⎫=+++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3， 1322A A∴++=，2A ∴=． 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π42ω=，π4ω∴=． 再根据()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，可得()cos 2112φ++=，cos20φ∴=，π22φ=，π4φ∴=． 故函数的解析式为()πππcos 2sin 2424f x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，()()()()1220142015πππππsin sin 2sin 3sin 2014sin 20152201544444f f f f ∴++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππππππ2510sin sin 2sin 3sin 5sin 6sin 74030444444*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=， 故答案为：4030．点评：本题主要考查由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，二倍角的余弦公式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，三角函数的周期性，属于中档题． 14．设n n n A B C △的三边长分别为n a ，n b ，n c ，1,2,3,n = ，若11b c >，1112b c a +，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n n n b ac ++=，则n A ∠的最大值是 ． 答案：π3考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用． 专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到12n n b c a +=为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论． 解答：解：1n n a a += ，1n a a ∴=，12n n n c a b ++= ，12n n n b ac ++=，11122n n n n n n n b c b cb c a a ++++∴+=+=+，()11111222n n n n b c a b c a ++∴+-=+-，又1112b c a +=，∴当1n =时，()22111112202b c a b c a +-=+-=，当2n =时，()33122112202b c a b c a +-=+-=，120n n b c a ∴+-=，即12n n b c a +=为常数，则由基本不等式可得12n n b c a +=≥，()21n n b c a ∴≤，由余弦定理可得()22222cos 22cos n n n n n n n n n n n n n a b c b c A b c b c b c A =+-=+--，即()()()2211221cos n n n a a b c A =-+，即()()()()221121cos 321cos n n n n b c A a a A +=+≤， 即()321cos n A +≤， 解得1cos 2n A ≥， π03n A ∴<≤， 即n A ∠的最大值是π3， 故答案为：π3点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为 ．考点：双曲线的简单性质专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设()11,A x y ，()22,C x y ，由双曲线的对称性得()11,B x y --，从而得到222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．解答：解：设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意知点A ，B 为过原点的直线与双曲线22221x y a b-=的交点， ∴由双曲线的对称性得A ，B 关于原点对称， ()11,B x y ∴--，222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-∴=⋅=-+-，点A ，C 都在双曲线上，2211221x y a b ∴-=，2222221x y a b-=， 两式相减，可得：21220b k k a=>，对于1212121222ln ln ln k k k k k k k k ++=+， 函数()2ln 0y x x x =+>， 由221'0y x x=-+=，得0x =（舍）或2x =，2x >时，'0y >，02x <<时，'0y <，∴当2x =时，函数()2ln 0y x x x=+>取得最小值，∴当()12122ln k k k k +最小时，21222b k k a ==，∴点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，解题时要注意构造法的合理运用．16．若函数()f x 的定义域为D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”，已知()e ln 1x g x x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，则整数m 的最小值为 ． 答案：3考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求解导数()1'e 1x g x x =+-，根据性质得出()g x 在1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增；构造函数()()g x G x x =，()2e e 2ln 'x x x xG x x--+=，0x >， 设()e e 2ln x x m x x x =--+，再次求解导数得出()1'e 0x m x x x=+>，()m x 在()0,+∞上单调递增，利用特殊值判断1211e 2ln 2022m ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭，()1e e 2+0=2<0m =---，32313e 2ln 0222m ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（根据图象判断），确定在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上，有()2e e 2ln '0x x x x G x x --+=>成立，函数()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增函数．再考虑函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，定义，判断出整数m 的最小值．解答：解：()e ln 1xg x x x =+-+ ，0x >，()1'e 1x g x x ∴=+-在()0,+∞单调递增，1'102g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，∴可以得出：()g x 在1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增．()()g x G x x = ，()2e e 2ln 'x x x xG x x --+=，0x >，设()e e 2ln x x m x x x =--+，()1'e 0x m x x x=+>，()m x 在()0,+∞上单调递增， 1211e 2ln 2022m ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭，()1e e 2+0=2<0m =---，32313e 2ln 0222m ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（根据图象判断） ∴在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上，有()2e e 2ln '0x x x x G x x --+=>成立， ∴函数()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增函数， 综合判断：()e ln 1x g x x x =+-+，与()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上都是单调递增函数，()e ln 1x g x x x =+-+，与()()g x G x x=在[)1,+∞上不是都为单调递增函数， 函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，整数m ．3m ∴≥，即最小值为3．故答案为：3点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断的递增，思路要清晰，属于难题． 三、解答题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，()*13n n n a S n +=+∈N ． （1）求证：{}3n n S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．考点：等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式． 专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由()*13n n n a S n +=+∈N ，可得数列{}3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列； （2）2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，利用{}n a 为递增数列，即可求1a 的取值范围． 解答：证明：（1）()*13n n n a S n +=+∈N ， 123n n n S S +∴=+，()11323n n n n S S ++∴-=-13a ≠ ，∴数列{}3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列；（2）由（1）得()11332n n n S a --=-⨯，()11323n n n S a -∴=-⨯+，2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，{}n a 为递增数列，2n ∴≥时，()()1211132233223n n n n a a ----⨯+⨯>-⨯+⨯， 2n ∴≥时，2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 19a ∴>-， 2113a a a =+> ，1a ∴的取值范围是19a >-．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人． （1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设X 为选出的4个学生中女生的人数，求X 的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B ，则所求概率为()P A B +，根据互斥事件的概率加法公式可求；（2）X 可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X 取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值； 解答：解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学， 1个为女同学”为事件B ，由于事件A ､B 互斥，且()2113242246C C C 4C C 15P A ==，()12342246C C 1C C 5P B ==，∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为()()()41715515P A B P A P B +=+=+=； （2）X 可能的取值为0，1，2，3，()105P X ==，()7115P X ==，()3210P X ==，()1330P X ==，X ∴的数学期望7317231510306EX =+⨯+⨯=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．19.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC △为等边三角形，PE BC ∥，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点M 、N ． （1）求证：MN PE ∥；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．NMEPBAC考点：与二面角有关的立体几何综合题． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：几何法：（Ⅰ）由PE CB ∥，得BC ∥平面APE ，由此能证明MN PE ∥．（Ⅱ）由MN BC ∥，得C 、B 、M 、N 共面，NCA ∠为二面角N CB A --的平面角，由此利用正弦定理能求出λ的值． 向量法：（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法能证明MN ∥平面ABC ． （2）分别求出平面CMN 的法向量和平面ABC 的法向量，由此利用向量法能求出1λ． 解答：几何法：（Ⅰ） 证明：因为PE CB ∥，所以BC ∥平面APE . 又依题意平面ABC 交平面APE 于MN ， 故MN BC ∥， 所以MN PE ∥．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知MN BC ∥，故C 、B 、M 、N 共面， 平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角即N CB A --． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，且CB AC ⊥， 所以CB ⊥平面PAC ．故CB CN ⊥， 故NCA ∠为二面角N CB A --的平面角. 所以45NCA ∠=︒．在NCA △中运用正弦定理得sin 451sin 75AN AC ︒===︒．所以1ANAPλ==． 向量法：（1）证明：如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ=， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，1,0,2P ⎛ ⎝⎭，1,,2E t μ⎛ ⎝⎭． 由AM ANAE AP λ==，得11,,2M t λλμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,2N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0MN t λμ=- ． ()00,0,1n =是平面ABC 的一个法向量， 且00n MN ⋅= ，故0n MN ⊥．又因为MN ⊄平面ABC ，即知MN ∥平面ABC ．（2）解：()0,,0MN t λμ=-，11,,2CM t λλμ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面CMN 的法向量()1111,,n x y z =，则10n MN ⋅= ，10n CM ⋅=，可取11,0,n ⎛= ⎝，又()00,0,1n =是平面ABC 的一个法向量． 由0101cos n n n n θ⋅=⋅ ，以及45θ=︒=即22440λλ+-=．解得1λ=（将1λ=-， 故1λ=．点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查使锐二面角的大小为45︒的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知圆(22:16E x y +=，点)0F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与（Ⅰ）中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k （其中0k >）．O A B △的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ．若1k ，k ，2k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用. 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）连接QF ，根据题意，QP QF =，可得4QE QF QE QP EF +=+=>=，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．解出即可．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．与椭圆的方程联立可得()222148440k xkmx m +++-=，利用根与系数的关系及其1k ，k ，2k 构成等比数列，可得()2120km x x m ++=，解得214k =，12k =．利用0>△，解得(m ∈，且0m≠．利用1212S AB d x =-=，又22221212144x x y y +=+=，可得()2222121122π5π44S S x y x y +=+++=为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出12S S S+的取值范围．解答：解：（Ⅰ）连接QF ，根据题意，QP QF =，则4QE QF QE QP EF +=+=>=，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为()222210x x a b a b+=>>，可知2a =，c 1b =，∴点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为()222148440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=+->∴，122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k -=+． 1k ∵，k ，2k 构成等比数列，()()1221212kx m kx m k k k x x ++==∴，化为：()2120km x x m ++=，22228014k m m k-+=+∴，解得214k =． 0k >∵，12k =∴．此时()21620m ∆=->，解得(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠，从而()(00,m ∈ ．故1212S AB d x ==-，m m ==， 又22221212144x x y y +=+=， 则()22222212112212ππ3324444S S x y x y x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()212123ππ5π21624x x x x ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．125π5π44S S S +∴=，当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125π,4S S S +⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭∞． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()*1,n m m n >>∈Nm n>． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；证明题；导数的综合应用． 分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x +⇔≥对任意0x >成立，令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x xh x x =-，求出导数，判断单调性，即得()h x 是()1,+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n n m >，化简整理，即可得证．解答：解：（1）()ln f x ax x x =+ ，()'ln 1f x a x ∴=++， 又()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3， ()'e 3f ∴=，即ln e+1=3a +， 1a ∴=；（2）由（1）知，()ln f x x x x =+，()2f x kx ∴≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立， 令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值， ()()2211ln ln 'x x x x g x x x ⋅-+==-，令()'0g x =，解得1x =，当01x <<时，()'0g x >，()g x ∴在()0,1上是增函数； 当1x >时，()'0g x <，()g x ∴在()1,+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值()11g =， 1k ∴≥即为所求；（3）令()ln 1x xh x x =-，则()()21ln '1x x h x x --=-， 由（2）知，()1ln 0x x x +>≥，()'0h x ∴≥， ()h x ∴是()1,+∞上的增函数，1n m >> ，()()h n h m ∴>，即ln ln 11n n m mn m >--， ln ln ln ln mn n n n mn m m m ∴->-， 即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+， ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，()()ln ln mnn m mn nm >，()()mnn m mn nm ∴>，m n>． 点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AC AB =． （1）求证：FG AC ∥；（2）若1CG =，4CD =．求DEGF 的值．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：直线与圆；推理和证明． 分析：（1）由切割线定理得2AB AD AE =⋅，从而2AD AE AC ⋅=，进而ADC ACE △∽△，由此能证明FG AC ∥．（2）由题意可得：G ，E ，D ，F 四点共圆，从而CGF CDE △∽△，由此能求出DEGF．解答：（1）证明：AB 为切线，AC 为割线，2AB AD AE ∴=⋅， 又AC AB = ，2AD AE AC ∴⋅=． AD ACAC AE ∴=，又EAC DAC ∠=∠ ， ADC ACE ∴△∽△，ADC ACE ∴∠=∠， 又ADC EGF ∠=∠ ，EGF ACE ∴∠=∠， FG AC ∴∥．（2）解：由题意可得：G ，E ，D ，F 四点共圆，CGF CDE ∴∠=∠，CFG CED ∠=∠．CGF CDE ∴△∽△，DE CDGF CG ∴=． 又1CG = ，4CD =，4DEGF∴=．点评：本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为3143x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=把圆C 的极坐标方程，由消元法把直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l 与圆C 有公共点的几何条件，建立关于a 的不等式关系，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得，1334x t y t -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则1334x y --=， ∴直线l 的普通方程为：4350x y -+=，由2cos a ρθ=得，22cos a ρρθ= 又222x y ρ=+ ，cos x ρθ=.∴圆C 的标准方程为()222x a y a -+=，（Ⅱ） 直线l 与圆C 恒有公共点，a ，两边平方得2940250a a --≥，()()9550a a ∴+-≥.a ∴的取值范围是59a -≤或5a ≥．点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．24．（1）设函数()52f x x x a =-+-，x ∈R ，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法． 专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值三角不等式可得()52f x a -≥，可得52a a -≥，由此解得a 的范围．（2）运用柯西不等式可得()232123216x y z x y x ⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭≥，即可得出结论．解答：解：（1）由绝对值三角不等式可得()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+----- ⎪⎝⎭≥≥ ， 再由不等式()f x a ≥在R 上恒成立，可得52a a -≥，52a a -∴≥，或52a a --≤，解得54a ≤，故a 的最大值为54．（2）∵正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，∴由柯西不等式可得()232123216x y z x y z ⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭≥当且仅当::x y z =时，等号成立， 321x y z++∴的最小值为16+ 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
数学测试题答案一、（每小题5分，共计60分）DCABA BDADB CC二、（每小题5分，共计20分）13、2e ；14、21n n +； 15、○1 ○2 ○3；16三、解答题（共计70分，17题10分，其它各题每小题12分）17、解 ()212sin cos 2cos f x x x x =++………………………… 1分=sin 2cos 22x x ++………………………………… 2分224x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭…………………………………4分（1）2sin cos cos sin 12646464f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭+2…6分=122+=7分 （2）由3222242k x k πππππ+≤+≤+得……………………8分 588k x k ππππ+≤≤+………………………………9分 所以，()f x 的单调减区间是()5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦……10分 （注：未注明k Z ∈者，扣1分.）18、解（1）,cos cos sin ,sin sin .22B A B A A A B ππ⎛⎫=+∴=+=-=- ⎪⎝⎭即…2分 又3,4,a b ==所以由正弦定理得34sin sin A B =，所以34cos sin B A =-,…4分 所以3sin 4cos B B -=,两边平方得229sin 16cos B B =,又22sin cos 1B B +=所以3cos ,5B =±而2B π>，所以3cos .5B =-……………………………6分 （2）34cos ,sin 55B B =-∴=……………………7分 (),22,sin 2sin 2sin 22B A A B A B B πππ=+∴=-∴=-=-=43242sin cos 25525B B ⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭…………………………………9分又3,22A B C C B ππ++=∴=-,2sin cos 212cos C B B ∴=-=-=725…11分 24731sin 2sin 252525A C ∴+=+=…………………………………12分 19、解 （1）2311,32a a ==…………………………4分 （2）假设存在一个实常数λ，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，则123111,,a a a λλλ---成等差数列，所以213211a a a λλλ=+---，……6分 所以21111032λλλ=+---，解之得1λ=.……………8分 因为()()131111111111121121213n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +---=-=-==-+--------…11分 又1111a =--，所以存在一个实常数λ=1，使得数列1n a λ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1-， 公差为12-的等差数列.…12分20、（1）证明 取BC 的中点,M 连结,.AM PM,60AB BC ABC =∠=,ABM ∴∆为正三角形， .AM BC ∴⊥ 又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AM PM M = BC ∴⊥平面PAM ,PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥又,BCCD C PA =∴⊥平面.ABCD …4分.（2）取PA 的中点N ，连结,.EN ND,,//,PE EB PN NA EN AB ==∴且1.2EN AB =又//,FD AB 且1,2FD AB = //EN DF ∴，∴四边形ENDF 是平行四边形，//,EF ND ∴而EF ⊄平面,PAD ND ⊂平面,//PAD EF ∴平面.PAD …………………8分（3）取AB 的中点,G 过G 作GH PB ⊥于点,H 连结,.HC GC则,CG AB ⊥又,,CG PA PA AB A CG ⊥=∴⊥平面.PAB ,HC PB ∴⊥ GHC ∴∠是二面角A PB C --的平面角.在Rt PAB ∆中，2,4,AB PB PA ==∴=又Rt BHG ∆∽Rt BAP ∆,,HG BG HG PA PB ∴=∴=. 在Rt HGC ∆中，可求得GC HC =∴=cos GHC ∴∠= 故二面角A PB C --………………12分. （注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明EF ⊄平面PAD 内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若答案为负值，亦扣1分.）21、解（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，有椭圆的定义可得2a ==a ∴=又1,c b =∴= 故椭圆的标准方程为22 1.3x y +=…………………………4分. （2）设直线l 的方程为2y kx =-，由221,32x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22131290k x kx +-+=，依题意236360k ∆=->，()21k ∴>*…………………………6分设()()1122,,,A x y B x y ，则121222129,1313k x x x x k k+==++，………………7分2AB x ∴=-=，……………8分 由点到直线的距离公式得d =，………………9分12S ∆∴==……………10分()220,1,t t k t =>=+则()2216664341313OAB t t S t t t t∆∴=⨯=⨯=⨯≤++++，当且仅当t =时，上式取等号，所以，OAB ∆…………………12分 22、解（1）由题意知，()f x 的定义域为()1,-+∞，6a =-时，由()26235210,11x x f x x x x +-'=+-==++ 得512x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭舍去 当()0,1x ∈时，()()()0,1,30f x x f x ''<∈>当时，，()0,1x ∴∈当，()f x 单调递减，当()1,3x ∈时，()f x 单调递增. …2分 所以()()min 126ln 2.f x f ==-又因为()()()200,3336ln 4121ln 20,f f ==+-=->所以()()()max 3121ln 2.f x f ==-所以()min 26ln 2.f x =-，()()max 121ln 2.f x =-……………4分（2）依题意，()223121011a x x a f x x x x +++'=++==++在()1,-+∞上有两个不等实根，即22310x x a +++=在()1,-+∞上有两个不等实根，…6分设()2231h x x x a =+++，则()()9810,10a h ∆=-+>⎧⎪⎨->⎪⎩，解得10.8a <<……8分 （3）()()3g x x x f x =+-=()32ln 1x x x -++，()()2323113211x x g x x x x x +-'=-+=++ 显然，当()0,x ∈+∞时，()0,g x '>所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以，当()0,x ∈+∞时，()()()2300,ln 1g x g x x x >=-<+即恒成立.…10分 令()()10,x n N n *=∈+∞∈，则有23311111ln 1,ln .n n n n nn n +-⎛⎫+>-> ⎪⎝⎭即…12分。
河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知向量= （ ）【答案】C 【解析】∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+= ，又(2,1),10a a b =⋅=， ∴()250520255bb =--=⇒=，故答案为：C【考点】数量积的应用 【难度】1 2．已知的共轭复数，复数 （ ）A ．B ．c ．1 D ．2【答案】A 【解析】∵114i z i -====+，∴14z i =-，∴2211444z z ⎛⎛⎫⋅=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 故答案为：A【考点】复数综合运算 【难度】1 3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种 【答案】D 【解析】有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有213453902C C A =种，∴共有150种.故答案为：D【考点】排列组合综合应用 【难度】 2 4．曲线处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 ∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点 （-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+， 故答案为：A【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 2 5．等比数列（ ）A ．62B ． 92C ．152D ．122【答案】D 【解析】因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '==== ，故答案为：D【考点】等比数列;函数求导运算 【难度】2 6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 【答案】B 【解析】因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条. 故答案为：B 【考点】双曲线 【难度】 2 7．设函数，则（ ）A ．在单调递增B ．在单调递减C ．在单调递增 D ．在单调递增【答案】D 【解析】())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x ，经检验在单调递增，故答案为：D【考点】两角和与差的三角函数;周期性和对称性;函数的单调性与最值 【难度】28．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【答案】C 【解析】把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =， 所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故答案为：C【考点】变量相关 【难度】 29．椭圆C 的两个焦点分别是F1，F2若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是 （ ）【答案】C 【解析】 ∵12233,2PF F F c ==∴223PF a c =-，由三角形中， 两边之和大于第三边得232311223342c c a c c c a c c a +≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故答案为：C 【考点】椭圆 【难度】210．已知直三棱柱，的各顶点都在球O 的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）【答案】B 【解析】由球的体积公式得球的半径R=AB=AC=1，ABC 是顶角是120°的等腰三角形， 其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯= 故答案为：B【考点】空间几何体的表面积与体积 【难度】 311．在棱长为1的正方体中，着点P 是棱上一点，则满足的点P 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】若点P 在棱AD 上，设AP=x ，则()222212CP PD DC x =+=-+，所以2x =，解得12x =， 同理点P 可以是棱,,,,AB AA C C C B C D ''''''的中点， 显然点P 不能在另外六条棱上， 故答案为：B【考点】立体几何综合 【难度】312．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”； ②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 函数”. 其中正确结论的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】A 【解析】①不正确，()0f x c =≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c =≠是一个“关于-1函数”；②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=， 若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在.故答案为：A【考点】函数综合 【难度】4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2014～2015学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤ D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E ，则点E 为△A 1BC 1的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ）A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）AB．1C．1D．2+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( )A. )0,(-∞B. ()+∞,0C. )1,(-∞D. ()+∞,111.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1(y ≠0)B.x 24＋y 23＝1(y ≠0)C.x 23＋y 24＝1(x ≠0) D.x 24＋y 23＝1 (x ≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）1A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素x O ，若抛物线y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。
河北省唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项）1．已知全集2．A．—2i B．-4i C．2i D．4i3．已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是4．命题，函数的图像过点（2，0），则A．p 假q 真C．p 假q 假B．p 真q 假D．p 真q5．执行右边的程序框图，则输出的A是6．在直角梯形ABCD中，AB//CD，7．已知8．展开式中的常数项为A．-8 B．-12 C．-20 D．209．函数的值域为10．F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若则C的离心率是11．直线分别与曲线交于A，B，则|AB|的最小值为12．某几何体的三视图如图所示，则该几体的表面积为二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．）13．已知14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为由以上信息，得到下表中 c 的值为．15．在半径为5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若则平面BCD 被球所截得图形的面积为．16．已知的取值范围为。
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）18．（本小题满分12 分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放 1 个．（1）若小王发放5 元的红包2 个，求甲恰得1 个的概率；（2）若小王发放3 个红包，其中5 元的2 个，10 元的1 个．记乙所得红包的总钱数X为，求X的分布列和期望．19．（本小题满分12 分）如图，在斜三棱柱中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，（I）求证：（II）若求二项角C—AB1—A1的余弦值。
20．（本小题满分12 分）已知圆，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为．（I）求曲线的方程；（II）直线AB交圆O于C，D 两点，当B为CD 的中点时，求直线AB的方程．21．（本小题满分12 分）已知函数（I）（II）的取值范围；22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆周角的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F。
河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学〔理〕试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部。
总分为150分，考试时间为120分钟。
第I卷〔选择题-共60分〕一、选择题〔此题共12个小题，每一小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的〕1．向量=2．的共轭复数，复数A．B． c．1 D．23．某学校派出5名优秀教师去遥远地区的三所中学进展教学交流，每所中学至少派一名教师，如此不同的分配方法有A．80种B．90种C．120种D．150种4．曲线处的切线方程为A．B．C．D．5．等比数列A．26 B．29 C．215 D．2126．经过双曲线：等的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B，假设AB=4，如此这样的直线有几条A．4条B．3条C．2条D．1条7．设函数，如此A．在单调递增B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A． 112．1万元B．113．1万元C．111．9万元D．113．9万元9．椭圆c的两个焦点分别是F1，F2假设c上的点P满足，如此椭圆c的离心率e的取值范围是10．直三棱柱，的各顶点都在球0的球面上，且，假设球O 的体积为，如此这个直三棱柱的体积等于11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，如此满足的点P的个数为A．4 B．6 C．8 D．1212．定义在实数集R上的函数的图像是连续不断的，假设对任意实数x，存在实常数t使得恒成立，如此称是一个“关于￡函数〞．有如下“关于t函数〞的结论：其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．0第2卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔此题共4个小题，每一小题5分，共20分。
把每一小题的答案填在答题纸的相应位置〕13．圆，假设圆C上存在点P，使得，如此删的最大值为____．14．抛物线上一点P到直线的距离与到点Q〔2，2〕的距离之差的最大值为____．15．的展开式中各项系数的和为2．如此该展开式中常数项为。
