第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷

第28届全国中学生物理竞赛决赛试题一、（15分）在竖直面将一半圆形光滑导轨固定在A 、B 两点，导轨直径AB =2R ，AB 与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m 的光滑小圆环，一劲度系数为k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A 、B 两点，如图28决—1所示。

当圆环位于A 点正下方C 点时，弹性绳刚好为原长。

现将圆环从C 点无初速度释放，圆环在时刻t 运动到C'点，C'O 与半径OB 的夹角为θ，重力加速度为g .试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）θ=90°（2）θ=30°二、（15分）如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M 、长度为L 的小车，车两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l 1和l 2，劲度系数分别为k 1和k 2；两弹簧的另一端分别放着一质量为m 1、m 2的小球，弹簧与小球都不相连。

开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。

现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。

已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l 3.试求开始时弹簧1的长度l 和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl 2.图28决—2三、（20分）某空间站A 绕地球作圆周运动，轨道半径为r A =6.73×106m.一人造地球卫星B 在同一轨道平面作圆周运动，轨道半径为r B =3r A /2，A 和B 均沿逆时针方向运行。

现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。

往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28决—3所示。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题（2011）一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。

已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。

1、已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角为θ，求CD 杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。

一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题（2011）一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。

已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l。

1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。

一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。

若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。

28届全国中学生物理竞赛决赛试题2011一、（15分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A 、B 两点，导轨直径AB =2R ，AB 与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m 的光滑小圆环，一劲度系数为k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A 、B 两点，如图28决—1所示。

当圆环位于A 点正下方C 点时，弹性绳刚好为原长。

现将圆环从C 点无初速度释放，圆环在时刻t 运动到C'点，C'O 与半径OB 的夹角为θ，重力加速度为g .试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）θ=90°（2）θ=30°二、（15分）如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M 、长度为L 的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l 1和l 2，劲度系数分别为k 1和k 2；两弹簧的另一端分别放着一质量为m 1、m 2的小球，弹簧与小球都不相连。

开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。

现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。

已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l 3.试求开始时弹簧1的长度l 和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl 2.三、（20分）某空间站A 绕地球作圆周运动，轨道半径为r A =6.73×106m.一人造地球卫星B 在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为r B =3r A /2，A 和B 均沿逆时针方向运行。

现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。

往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28决—3所示。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试卷及标准答案说明：填空题的答案填在题中的横线上或题给的表格中。

计算题的解答应写出必要的说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能给分。

有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位。

本卷共8题，满分160分。

一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，运动周期T=76.1年。

1986年它过近日点P0时，与太阳S 的距离为r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。

经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 和SP 0的夹角72.0P θ=︒，已知1AU=111.510m ⨯，引力常量G =113126.6710m kg s ---⨯⋅⋅，太阳质量301.9910s m kg =⨯。

试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 时的速度大小和方向（用速度方向和SP 0的夹角表示）。

一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221x y a b+= （1）a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（2）设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得c a r =-0 （3）22c a b -= （4） 由图1可知，P 点的坐标cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得()2222222222sin cos 2cos 0P P P P P ab r b cr bc a b θθθ+++-= （7）根据求根公式可得()22222cos sin cos P P P Pb ac r a b θθθ-=+ （8） 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s2Gmm E =a-(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （11） 得P =v （12） 代入有关数据得414.3910m s P -⨯⋅v = (13) 设P 点速度方向与0SP 的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律[]sin 2P P P r ϕθσ-=v （14）图1其中σ为面积速度，并有πabTσ=（15） 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得127ϕ= （16）解法二取极坐标，极点位于太阳S 所在的焦点处，由S 引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r 、θ表示彗星的椭圆轨道方程为1cos pr e θ=+ （1）其中，e 为椭圆偏心率，p 是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a ，根据解析几何可知()21p a e =- （2）将（2）式代入（1）式可得()θcos 112e e a r +-= （3）以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（4） 在近日点0=θ，由（3）式可得1r e a=-（5）将P θ、a 、e 的数据代入（3）式即得0.895AU P r = （6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 s2Gmm E =a-(7) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （8）可得P=v（9）代入有关数据得414.3910m sP-⨯⋅v=(10) 设P点速度方向与极轴的夹角为ϕ，彗星在近日点的速度为0v，再根据角动量守恒定律，有()sinP P Pr rϕθ-=v v00（11）根据（8）式，同理可得=v（12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据127ϕ=(13) 评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．二、（20分）质量分布均匀的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆质量均为m，长度均为l。

第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分复核本卷共八题，满分160分。

计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后结果的不能得分。

有数字计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程。

一、填空题．（本题共4小题，共25分）1．图1所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为r ，两个端点A 、B 间等效电阻R 1= 。

若在图1网络中再引入3段斜电阻丝，每一段电阻也为r ，如图2 所示，此时A 、B 间等效电阻R 2= 。

2．右图为开尔文滴水起电机示意图。

从三通管左右两管口形成的水滴分别穿过铝筒A 1、A 2后滴进铝杯B 1、B 2，当滴了一段时间后，原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差。

试分析其原理。

图中铝筒A 1用导线与铝杯B 2相连；铝筒A 2用导线与B 1相连。

3．受迫振动的稳定状态由下式给出)cos(ϕω+=t A x ，2222204)(ωβωω+-=hA ，220arctanωωβωϕ--=。

其中m H h =，而)cos(t H ω为胁迫力，mγβ=2，其中dtdxγ-是阻尼力。

有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中一条的固有振动角频率为102727.39-=s ω，另外一条的固有振动角频率为1'05454.78-=s ω，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。

设β为小量，计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1m ，则汽车的运行速度为 。

4．核潜艇中238U 核的半衰期为9105.4⨯年，衰变中有0.7%的概率成为234U 核，同时放出一个高能光子，这些光子中的93%被潜艇钢板吸收。

1981年，前苏联编号U137的核潜艇透射到艇外的高能光子被距核源（处理为点状）1.5m 处的探测仪测得。

仪器正入射面积为22cm 2，效率为0.25%（每400个入射光子可产生一个脉冲讯号），每小时测得125个讯号。

新东方网（中考）频道第28届全国中学生物理竞赛复赛试题（2011）一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。

已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD 如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。

1、已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角为θ，求CD 杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。

一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m 的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。

上海市第28届初中物理竞赛（大同杯）初赛试题说明：（2）本试卷共两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分；第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分，全卷满分150分。

（3）本试卷中常数g=10N/kg。

（4）sin37°=,cos37°=第一部分：单项选择题1．影响声音传播速度的是（）A．声音的音调B．声音的响度C．声音的音色D．传播声音的物质2．“玉兔”月球车和地面指挥中心之间的信息传输利用的是（）A．电磁波B．超声波C．次声波D．激光3．在图1所示的四种物态变化中，属于升华的是（）4．如图2所示，两端开口的C形小管中充满水，A、B两端开口处均用手指堵住。

图2若同时松开手指（）A．只有水从A端流出B．只有水从B端流出C．A、B两端同时有水流出D．A、B两端都没有水流出5.当物体的温度升高后，物体的（）A．热量增大B．比热容增大C．体积增大D．内能增大【参照答案】．D【名师解析】当物体的温度升高后，由能量守恒定律，物体的内能增大，选项D正确。

6.在图3所示的现象中，可直接用光的直线传播原理解释的是（）7. 把重为的物体放入盛有水的烧杯中，溢出水的重力为,则物体受到的浮力（）A．可能为B．可能为C．一定为D．一定为【参照答案】．【名师解析】：由于题述没有说明烧杯中水是否满，所以溢出水的重力一定大于等于，选项A 正确。

8.如图4所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器放置在水平地面上，甲、乙质量相等。

现沿水平方向切去部分甲并从容器中抽取部分乙后，甲对地面的压强小于乙对容器底部的压强。

若甲、乙剩余部分的体积分别是V甲、V乙，则（）A. V甲可能等于V乙B. V甲可能大于V乙图4C. V甲一定大于V乙D. V甲一定小于V乙9.日食、月食是我们在地球上通过肉眼能直接观测到的天文现象，如果定义月球的半径为1，则地球的半径约为，太阳的半径约为400，地、月距离约为220，地、日距离约为×104 ，参考上述数据可以判断，我们在地球上看不到的现象是（）A．月环食B．月全食C．日环食D．日全食【参照答案】．A【名师解析】由于地球的半径约为，所以我们在地球上看不到的现象是月环食，选项A正确。