积分

第八章 定积分§8.1 定积分一、定积分概念定义 设函数()x f 在[]b a ,有定义.任给[]b a ,一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和()()∑=∆=nk kkx f T 1,ξξσ若当()0→T l 时，积分和()ξσ,T 存在极限，设()()Ixf T knk kT l T l =∆=∑=→→1)(0)(lim,lim ξξσ（1）且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]k k x x ,1-的取法无关，即{}k T l T ξξδδε=∀<∀>∃>∀,)(:,0,0，有()εξ<-∆∑=I xf knk k1则称函数()x f 在[]b a ,可积，I 是函数()x f 在[]b a ,的定积分，亦称黎曼积分，表为()()Ixf d x f nk kkT l ba x =∆=∑⎰=→1)(limξ定理1 若函数()x f 在区间[]b a ,可积，则函数()x f 在[]b a ,有界.§8.2 可积准则一、小和与大和性质1 对[]b a ,个分法T ，任意积分和都介于小和)(T s 与大和)(T S 之间，即())()(1T S xf T s nk kk≤∆≤∑=ξ性质2 对[]b a ,一个分法T ，小和)(T s （大和)(T S ）是分法T 的所有积分和的下确界（上确界），即()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆=∑∑==n k k k n k k k x f T S x f T s k k11sup )(inf )(ξξξξ 性质3 对[]b a ,一个分法T ，增加某些新分点构成[]b a ,一个新分法T '，有)()(T S T s '≤与)()(T S T s ≤'，即分点增多时，小和不减少，大和不增加.性质4 对[]b a ,任意两个分法T 与T '，有)()(T S T s '≤与)()(T S T s ≤'，即小和总不超过大和.性质5 对[]b a ,所有可能的分法T ，小和的上确界不超过大和的下确界，即(){}{}.)(inf sup T S T s TT≤二、可积准则定理 1 （可积准则） 函数)(x f 在闭区间[]b a ,可积[]0)()(lim)(=-⇔→T s T S T l （1）定义 若函数)(x f 在区间I 有界.设(){}I x x f m ∈=inf 或(){}.infx f m Ix ∈=，(){}I x x f M ∈=sup 或(){},sup x f M Ix ∈=(){}(){}I x x f I x x f m M ∈-∈=-=infsup ω称为函数)(x f 在区间I 的振幅.定理1'（可积准则）函数)(x f 在闭区间[]b a ,可积∑=→=∆⇔nk k kT l x 1)(0limω其中kω是函数)(x f 在[]k k x x ,1-的振幅，.,,2,1n k =一、 三类可积函数定理2 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,连续，则函数)(x f 在[]b a ,可积.定理3 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,有界，且有有限个间断点，则函数)(x f 在[]b a ,可积.定理4 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,单调，则函数)(x f 在[]b a ,可积.§8.3 定积分的性质一、定积分的性质定理1 若[]b a x ,∈∀，有c x f =)(（常数），则c x f =)(在[]b a ,可积，且)(a b c cdx ba -=⎰定理2 若函数)(1x f 与)(2x f 在区间[]b a ,可积，则)(1x f +)(2x f 在[]b a ,也可积，且]⎰⎰⎰+=+bababadx x f dx x f dx x f x f )()()()(2121定理3 若函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则函数)(x cf （c 是常数）在[]b a ,也可积，且⎰=b abadx x f cdx x cf )()(推论 若n 个函数)(1x f ，)(2x f ，)(,x f n 在区间[]b a ,都可积，则它们的线形组合)()()(2211x f c x f c x f c n n +++ 在[]b a ,也可积，且[]dxx f c dx x f c dx x f c dxx f c x f c x f c ba n nb aba ba n n )()()()()()(22112211⎰⎰⎰⎰+++=+++其中n c c c ,,,21定理4 若函数)(1x f 与)(2x f 在区间[]b a ,可积，则乘积函数)(1x f )(2x f 在[]b a ,也可积.定理5 若函数)(x f 在区间[]b a ,可积，且b b a a ≤'<'≤，则)(x f 在[]b a '',也可积.定理6 若函数)(x f 在区间[]c a ,与[]b c ,可积，则函)(x f 数在[]b a ,也可积，且⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(推论1 若函数)(x f 在区间[]B A ,可积，且[]B A c b a ,,,∈∀，则⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(推论2 若函数)(x f 在区间[]),2,1(,1n k c c k k =-都可积，则)(x f 在[]n c c ,0也可积，且⎰⎰⎰⎰-+++=nn nc c c c c c c c dxx f dx x f dx x f dx x f 12110)()()()(定理7 若函数)(x f 在区间[]b a ,可积，且[]b a x ,∈∀，有)0)((0)(≤≥x f x f ，则)0)((0)(≤≥⎰⎰babadx x f dx x f推论 若函数)(x f 与)(x g 在[]b a ,都可积，且[]b a x ,∈∀，有)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤baba dx x g dx x f )()(定理8 若函数)(x f 在区间[]b a ,可积，则函数)(x f 在[]b a ,也可积，且dxx f dx x f baba⎰⎰≤)()(推论 若函数)(x f 在区间[]b a ,可积，且[]b a x ,∈∀，有k x f ≤)(（常数），则)()(a b k dx x f ba-≤⎰二、定积分中值定理定理9 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,连续，则在[]b a ,上至少存在一点c ，使))(()(a b c f dx x f ba -=⎰定理10 若函数)(x f 在区间[]b a ,连续，函数)(x g 在[]b a ,可积，且不变号，则在[]b a ,上至少存在一点c ，使⎰⎰=babadx x g c f dx x g x f )()()()(§8.4 定积分的计算一、按照定义计算定积分例1 求b a xdx b a<⎰,sin例2 求⎰ba k dx x ，其中b a <<0，k 是自然数二、积分上限函数定理1 若函数)(x f 在区间[]b a ,连续，则积分上限函数⎰=xadt t f x )()(φ在[]b a ,可导，且)()(x f x ='φ，即积分上限函数)(x φ是被积函数的)(x f 原函数. 三、定积分的基本公式定理 2 若函数)(x f 在区间[]b a ,连续，且)(x F 是)(x f 的原函数，则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰例3 求⎰+121xdx例4 求⎰exdx 1四、定积分的分部积分法 例5 求⎰-2ln 0dx xex例6 求⎰1sin xdx arc例7 求dxx I nn ⎰=2sinπ，其中n 是非负整数.五﹑定积分的换元积分法定理3 若函数)(x f 在区间[]b a ,连续，且函数)(t x ϕ=在[]βα,有连续导数，当βα≤≤t 时，有b t a ≤≤)(ϕ，又a =)(αϕ，b =)(βϕ则[]⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba )()()(例8 求⎰-adx x a 022例9 求⎰-1221dx x x例10 求⎰-2ln 01dx e x例11 设函数)(x f 在[]a a ,-连续，证明： 若)(x f 是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(若)(x f 是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f例12 证明：若函数)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰⎰+=Ta aTdx x f dx x f 0)()(例13 求极限∑=∞→nk n n k123lim例14 求极限∑=∞→-nk n kn nk1223lim例15 求⎰+=π2.cos1sin dx xx x I§8.5 定积分的应用一﹑平面区域的面积 1。

直角坐标系例1 求在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上连续曲线,ln x y =，x 轴及二直线21=x 与2=x 所围成平面区域（如图8.9）的面积. 例2 求半径为r 的圆的面积.例3 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域（如图8.11）的面积.例4 求由二条曲线4,22xy x y ==和直线1=y 围成的平面区域（如图8.12）的面积. 2．参数方程例5 求旋轮线：)20,0)(1(),sin (π≤≤>-=-=t a xost a y t t a x 一拱与x 轴围成区域（如图8.13）的面积.例6求椭圆：)20(sin ,cos π≤≤==t t b y t a x 的面积. 3. 极坐标例7 求双纽线)0(2cos 22>=a a r θ围成区域（如图8.15）的面积.例8 求三叶玫瑰线)0(3cos >=a a r θ围成区域（如图8.16）的面积.三、平面曲线的弧长定义 若当0)(→T l 时，平面曲线MN 的内渐折线的长)(T L 存在极限，设L T L T l =→)(lim 0)(称曲线MN 可求长，其长为L .1．参数方程设曲线MN 是参数方程βαψϕ≤≤==t t y t x ),(),(（3）若)(t ϕ'与在)(t ψ'连续，且不同时为0（或[]βα,∈∀t ，有[][]0)()(22≠'+'t t ψϕ），则称MN 是光滑曲线.定理1 若MN 是光滑曲线（3），则曲线MN 可求长，且MN 的弧长dt t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22（4）（4）式是弧长公式. 例9 求半径为r 的圆的周长.例10 求星形线πϕϕϕ20,0,sin ,cos 33≤≤>==a a y a x （如图8.18）的全长 2．直角坐标系 例11 求悬链线)(2)(ax a xee a xf -+=在[]a ,0上的弧长3．极坐标例12 求心脏线)cos 1(θ+=a r （如图8.19）的全长 四、应用截面面积求体积例13 证明：底面积为Q 高为h 的锥体的体积是.31Qh V =例14 求椭圆柱面12222=+by ax 及平面0,==z x ac z 所围成立体)0(≥z （如图8.22）的体积例15 求曲线x y ln =在区间[]e ,1绕x 轴旋转一周的旋转体的体积例16 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕y 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.例17 祖桓定理 “夹在两个平行面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.” 五、旋转体的侧面积例18 求半径为r 的球的表面积例19 求圆)0()(222b a a b y x <<=-+绕x 轴旋转所得旋转体（环体）的（表）面积. 二、变力作功例20 设空气压缩机的活塞面积是A ，在等温的压缩过程中，活塞由1x 处（此时气体体积11Ax V =）压缩到2x （12x x <，此时气体体积22Ax V =），见图8.28.求空压机在这段压缩过程中消耗的功.例21 从地面垂直向上发射质量为m 的火箭，当火箭距地面为r 时，求火箭克服地球引力所作的功.如果火箭脱离地球引力范围，问火箭的初速度0v 多大？§8.6 定积分的近似计算一、梯形法例1 应用梯形法公式（1）近似计算.5ln 51⎰=xdx例2 应用梯形法公式（1）近似计算定积分⎰+5132.2dx x二、 抛物线法例3 应用抛物线法公式（4）近似计算.5ln 51⎰=xdx例4 某河宽20公尺，每隔2公尺测得河深如下表：求该河横截面的面积.。