定积分的证明题

热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。

第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

第九章 定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ， 则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa， 根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则 当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)， 即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个， 对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则 在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。

定积分证明题方法总结六篇定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。

篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结 1、经验总结(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb a af x dx F b F a F x =-=⎰。

其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。

例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．30dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x- 107 -解：原式=⎰-22cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x =20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。

例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65- 108 -例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。

定积分证明题方法总结六篇定积分证明题方法总结六篇篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法1.凑微分法2.裂项法3.变量代换法1)三角代换2)根幂代换3)倒代换4.配方后积分5.有理化6.和差化积法7.分部积分法（反、对、幂、指、三）8.降幂法二、定积分的计算方法1.利用函数奇偶性2.利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1.积和式极限2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限3.洛必达法则4.等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1.不计算积分，比较积分值的大小1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则>=()dx2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)b)当0<x<兀2时，2兀<<12.估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m 则M(b-a)<=<=M(b-a)3.具体函数的定积分不等式证法1)积分估值定理2)放缩法3)柯西积分不等式≤%4.抽象函数的定积分不等式的证法1)拉格朗日中值定理和导数的有界性2)积分中值定理3)常数变易法4)利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法篇二：定积分知识点总结1、经验总结(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限(2)定积分几何意义：①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a反数(3)定积分的基本性质：①kf(x)dx=kf(x)dx aabb②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x)ba篇三：定积分计算方法总结1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。

定积分典型例题例1求33322321lim(2)nnnn n．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1ix n ，然后把2111n n n的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)nnnn n=333112lim ()nn nnnn=1334xdx．例2222x x dx =_________．解法1由定积分的几何意义知，2202x x dx 等于上半圆周22(1)1x y(0y )与x 轴所围成的图形的面积．故222xx dx =2．解法2本题也可直接用换元法求解．令1x=sin t （22t），则222xx dx =2221sin cos t tdt =22021sin cos t tdt =2202cos tdt =2例3 比较12xe dx ，212x e dx ，12(1)x dx ．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1在[1,2]上，有2xxee ．而令()(1)xf x ex ，则()1xf x e．当0x时，()0f x ，()f x 在(0,)上单调递增，从而()(0)f x f ，可知在[1,2]上，有1xex ．又1221()()f x dx f x dx ，从而有2111222(1)xx x dx e dxe dx ．解法2在[1,2]上，有2xxee ．由泰勒中值定理212!xe exx 得1xex ．注意到1221()()f x dxf x dx ．因此2111222(1)xx x dxe dxe dx ．例4 估计定积分22x xedx 的值．分析要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设2()x xf x e, 因为2()(21)x xf x ex, 令()0f x ，求得驻点12x, 而(0)1f e, 2(2)f e , 141()2f e,故124(),[0,2]ef x e x ,从而2122422x xeedxe ,所以2124222xxee dx e.例5设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ，()0f x ．求lim()()b n ang x f x dx ．解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x 知0M，0m ．又()0g x ，则()b nam g x dx()()b nag x f x dx()b naMg x dx ．由于limlim1nnnnmM，故lim ()()bnang x f x dx =()bag x dx ．例6求sin limn p nnx dx x, ,p n 为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1利用积分中值定理设sin ()xf x x, 显然()f x 在[,]n np 上连续, 由积分中值定理得sin sinn pnx dxp x,[,]n np ,当n时,, 而sin1, 故sin sinlim lim0n pnnx dx px．解法2利用积分不等式因为sin sin 1lnn pn pn pnnnx x n pdxdxdx xxxn,而limln0nn pn,所以sin lim0n p nnx dxx．例7求10lim1nnxdx x．解法1由积分中值定理()()()()b b aaf xg x dxf g x dx 可知101nxdx x=1011nx dx ，01．又11lim lim 01nnnx dxn 且11121，故10lim01nnxdxx．解法2因为01x，故有1nnx x x．于是可得111nnxdxx dx x．又由于110()1nx dx nn．因此10lim1nnxdx x=0．例8设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dxf ．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c ．分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f 即可．证明由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dxf f ，其中3[,1][0,1]4．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c，使得()0f c ．证毕．例9（1）若22()x t xf x e dt ，则()f x =___；（2）若0()()x f x xf t dt ，求()f x =___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dtf v x v x f u x u x dx．解（1）()f x =422xxxee ；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x xf t dt ，则可得()f x =()()xf t dtxf x ．例10 设()f x 连续，且31()x f t dtx ，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dtx 两边关于x 求导得32(1)31f xx，故321(1)3f xx，令3126x得3x ，所以1(26)27f ．例11函数11()(3)(0)x F x dt xt 的单调递减开区间为_________．解1()3F x x，令()0F x 得13x，解之得19x，即1(0,)9为所求．例12求0()(1)arctan x f x t tdt 的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x =(1)arctan x x ．令()f x =0，得1x，0x．列表如下：故1x为()f x 的极大值点，0x为极小值点．例13已知两曲线()y f x 与()y g x 在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt ，[1,1]x，试求该切线的方程并求极限3lim ()nnf n．分析两曲线()yf x 与()yg x 在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g ，(0)(0)f g ．解由已知条件得2(0)(0)0t f g edt，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x xef g x．故所求切线方程为y x ．而x(,0)0(0,1)1(1,)()f x -＋－3()(0)3lim ()lim33(0)330nnf f n nf f nn．例14 求22000sin lim(sin )x x xtdt t t t dt；分析该极限属于00型未定式，可用洛必达法则．解22000sin lim (sin )x x xtdt t tt dt=222(sin )lim (1)(sin )x x x x xx =220()(2)lim sin x x x x =304(2)lim1cos x xx=212(2)limsin xxx=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15试求正数a 与b ，使等式221lim1sin x xt dtxb xat成立．分析易见该极限属于00型的未定式，可用洛必达法则．解2201limsin x xt dt xb xat=22lim1cos x xa xb x =221lim lim1cos x xxb xa x21lim 11cos x xb xa，由此可知必有0lim(1cos )0xb x ，得1b．又由212lim11cos xxxa a，得4a ．即4a ，1b为所求．例16设sin 2()sin xf x t dt ，34()g x xx ，则当0x时，()f x 是()g x 的（）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1由于223()sin(sin )cos limlim()34xxf x x xg x xx2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x 2211lim 33x x x．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 22337111()[()]sin sin 3!342x f x tt dtxx，则344341111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x xf xg x xxx．例17证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()b axf x dx()2b aa bf x dx ．证法1 令()F x =()()2x x aaax tf t dtf t dt ，当[,]t a x 时，()()f t f x ，则()F x =1()()()22x aaxxf x f t dt f x =1()()22x ax a f x f t dt1()()22x ax af x f x dt =()()22xa xa f x f x 0．故()F x 单调增加．即()()F x F a ，又()0F a ，所以()0F x ，其中[,]x a b ．从而()F b =()()2b b aaa b xf x dxf x dx0．证毕．证法2由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bxf x f 0，从而()[()()]22b aa ba b xf x f dx0．即()()2b aa bxf x dx ()()22b aa ba bxf dx =()()22b aa ba b f xdx =0．故()b axf x dx()2b aa bf x dx ．例18计算21||x dx ．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解21||x dx ＝021()x dxxdx ＝22021[][]22xx＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dxxx ，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x在0x 处间断且在被积区间内无界.例19计算22max{,}x x dx ．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数212()1x x f x xx．解23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dxxdx x dx 例20设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt ，则()________f x ．分析本题只需要注意到定积分()b af x dx 是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt 是常数，记10()f t dta ，则()3f x xa ，且11(3)()x a dxf t dt a ．所以2101[3]2x ax a ，即132a a ，从而14a，所以3()4f x x．例21设23,1()52,12x x f x x x，0()()x F x f t dt ，02x ，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．解（1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x时，[0,][0,1]x , 因此233()()3[]x xxF x f t dtt dt t x ．当(1,2]x时，[0,][0,1][1,]x x , 因此, 则121()3(52)x F x t dtt dt =31201[][5]xt t t =235xx ，故32,01()35,12x x F x xx x．(2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x 处，由于211lim ()lim(35)1xxF x xx , 311lim ()lim 1xxF x x, (1)1F ．因此, ()F x 在1x处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．错误解答（1）求()F x 的表达式,当[0,1)x 时，233()()3[]x xxF x f t dtt dt t x ．当[1,2]x 时，有0()()x F x f t dt(52)x t dt =25x x ．故由上可知32, 01()5,12x x F x xx x．(2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x 处，由于211lim ()lim(5)4xxF x xx , 311lim ()lim 1xxF x x, (1)1F ．因此, ()F x 在1x处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．错解分析上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当[1,2]x 时，0()()x F x f t dt 中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，11()()()()xxF x f t dtf t dtf t dt才正确．例22 计算2112211x x dx x．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x=211112221111x x dxdx x x．由于22211xx是偶函数，而211x x是奇函数，有112011x dx x, 于是2112211x x dx x=2102411xdx x=2212(11)4x x dx x=112441dx x dx由定积分的几何意义可知1214x dx , 故211122444411x x dx dx x．例23计算3412ln (1ln )e e dx x x x ．分析被积函数中含有1x 及ln x ，考虑凑微分．解3412ln (1ln )e e dx x x x =34(ln )ln (1ln )e ed x x x =34122(ln )ln 1(ln )e e d x x x =341222(ln )1(ln )e e d x x =3412[2arcsin(ln )]e e x =6．例24计算40sin 1sin x dx x ．解40s i n 1s i nx dx x =42sin (1sin )1sin x x dx x=2442sin tan cos x dxxdxx=2442cos (sec 1)cos d x x dxx =44001[][tan ]cos xx x=224．注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25计算222a x ax x dx ，其中0a．解222a x ax x dx =222()a x axa dx ，令sin xa a t ，则222a x axx dx =3222(1sin )cos at tdt=32202cos 0atdt=32a ．注若定积分中的被积函数含有22ax ，一般令sin xa t 或cos x a t ．例26 计算022a dx xax，其中0a．解法1令sin xa t ，则22a dx xax2cos sin cos t dttt201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dttt 201(sin cos )[1]2sin cos t t dttt201ln |sin cos |2t tt =4．解法2 令sin xa t ，则22a dx xax=20cos sin cos t dt tt．又令2tu ，则有20cos sin cos t dt tt=20sin sin cos u du uu．所以，22a dx xax=2201sin cos []2sin cos sin cos t t dtdt tttt=2012dt =4．注如果先计算不定积分22dx xax，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27计算ln 5013xxxeedx e．分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设1xue，2ln(1)xu，221u dxdu u，则ln 5013xxxeedx e=2222(1)241u u udu u u 222222442244u udu du uu 2221284duduu4．例28 计算22()x d tf xt dt dx，其中()f x 连续．分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解由于22()x tf xt dt =2221()2x f xt dt ．故令22xtu ，当0t 时2ux ；当tx 时0u，而2dt du ，所以22()x tf xt dt =21()()2x f u du =201()2x f u du ，故220()x d tf x t dt dx=201[()]2x d f u du dx =21()22f x x =2()xf x ．错误解答22()x d tf xt dtdx22()(0)xf xx xf ．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()x ad x f t dt f x dx中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f xt 含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29计算30sin x xdx ．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解3s i n x x d x30(c o s )xd x 330[(c o s )](c o s )x x xd x 3cos 6xdx326．例30计算12ln(1)(3)x dx x ．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解12ln(1)(3)x dx x =101ln(1)()3x d x =110111[ln(1)]3(3)(1)x dxxx x =101111ln 2()2413dxxx 11ln 2ln324．例31计算20sin xe xdx ．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于20sin xe xdx20sin xxde220[sin ]cos xxe x e xdx220cos xee xdx ，（1）而20cos xe xdx20cos xxde220[cos ](sin )xxe x ex dx20sin 1xe xdx ，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx220[sin 1]xee xdx ,故20sin xe xdx21(1)2e ．例32 计算10arcsin x xdx ．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx21arcsin ()2xxd 221100[arcsin ](arcsin )22x xx d x 21021421x dx x．（1）令sin xt ，则21021xdxx2202sin sin 1sin t d tt 220sin cos cos t tdtt 220sin tdt201cos22tdt 20sin 2[]24t t 4．（2）将（2）式代入（1）式中得10arcsin x xdx8．例33设()f x 在[0,]上具有二阶连续导数，()3f 且[()()]cos 2f x f x xdx，求(0)f ．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于[()()]cos f x f x xdx()sin cos ()f x d xxdf x 0{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ()(0)2f f ．故(0)f 2()235f ．例34（97研）设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ，且0()limx f x A x（A 为常数），求()x 并讨论()x 在0x处的连续性．分析求()x 不能直接求，因为10()f xt dt 中含有()x 的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ，最后用函数连续的定义来判定()x 在0x 处的连续性．解由0()limxf x A x知0lim ()0xf x ，而()f x 连续，所以(0)0f ，(0)0．当0x时，令u xt ，0t ，0u ；1t，ux ．1dtdu x，则()()xf u du x x，从而02()()()(0)xxf x f u dux xx．又因为02()()(0)()limlim lim 022xx x x f u du x f x A xxx，即(0)2A ．所以()x =2()(),0,2xxf x f u dux x A x．由于22()()()()lim ()lim lim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xxx=(0)2A ．从而知()x 在0x处连续．注这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出02()()()xxf x f u dux x，而没有利用定义去求(0)，就得到结论(0)不存在或(0)无定义，从而得出()x 在0x处不连续的结论．（2）在求0lim()xx 时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim()lim ().22xxxf x f x f x x f x x又由0()limxf x A x用洛必达法则得到0lim ()x f x =A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()xf x 是否存在是不能确定的．例35（00研）设函数()f x 在[0,]上连续，且()0f x dx，0()cos 0f x xdx．试证在(0,)内至少存在两个不同的点12,使得12()()0f f ．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt ，找出()F x 的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F ，0x，x为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)之间存在两个零点．证法1 令0()(),0x F x f t dt x，则有(0)0,()0F F ．又000()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdxxdF x xF x F x xdx()sin 0F x xdx，由积分中值定理知，必有(0,)，使得()sin F x xdx =()sin(0)F ．故()sin 0F ．又当(0,),sin 0，故必有()0F ．于是在区间[0,],[,]上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)，2(,)，使得12()()0F F ，即12()()0f f ．证法2 由已知条件()0f x dx及积分中值定理知必有1()()(0)0f x dx f ，1(0,)，则有1()0f ．若在(0,)内，()0f x 仅有一个根1x，由()0f x dx 知()f x 在1(0,)与1(,)内异号，不妨设在1(0,)内()0f x ，在1(,)内()0f x ，由0()cos 0f x xdx，()0f x dx，以及cosx 在[0,]内单调减，可知：10()(cos cos )f x xdx =11110()(cos cos )()(cos cos )f x xdxf x x dx 0．由此得出矛盾．故()0f x 至少还有另一个实根2，12且2(0,)使得12()()0.f f 例36计算243dxxx ．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解243dx xx =2lim43t tdx xx =0111lim()213t tdxx x =011lim[ln]23t txx=111lim (lnln )233tt t=ln 32．例37计算322(1)2dxx xx．解322(1)2dxx xx223223sec tan 1secsectan(1)(1)1dxx dx x 233cos 12d ．例38 计算42(2)(4)dx xx ．分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x 和43(2)(4)dx xx 均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于学无止境32(2)(4)dx xx =32lim(2)(4)aadx xx =322(3)lim1(3)aad x x=32lim[arcsin(3)]a ax =2．43(2)(4)dx xx =34lim(2)(4)bbdx xx =324(3)lim1(3)b bd x x=34lim[arcsin(3)]bbx=2．所以42(2)(4)dx xx 22．例39计算5(1)dxx x ．分析此题为混合型反常积分，积分上限为，下限0为被积函数的瑕点．解令xt ，则有5(1)dxx x ＝5222(1)tdtt t＝5222(1)dtt，再令tan t ，于是可得522(1)dtt＝2522tan(tan1)d ＝225secsecd＝23secd ＝320cosd ＝220(1sin)cos d＝220(1sin)sind ＝3/201[sinsin]3＝23．例40 计算214211x dx x．解由于221114222222111()11112()d xx xx dxdxxx xxx，可令1t xx，则当2x时，22t ；当0x 时，t ；当0x 时，t；当1x时，0t；故有21014222211()()11112()2()d x d x x x x dxxx xx x2222()22d t dt tt21(arctan )22．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41求由曲线12y x ，3y x ，2y，1y所围成的图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ，则面积元素为dA =1|2|3yy dy =1(2)3yy dy ．于是所求面积为211(2)3Ayy dy =52．例42抛物线22yx 把圆228xy分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线22yx 与圆228xy的交点分别为(2,2)与(2,2)，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =2222(8)2yydy =24488cos3d=423，218S A =463，于是12S S =423463=3292．2A 1A 12(2,2)o xy22yx228xy2112122x y1y 3y x o 133212112xy2y 图5－1342例43 求心形线1cos 与圆3cos 所围公共部分的面积．分析心形线1cos 与圆3cos的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线1cos 与圆3cos 的交点为(,)=3(,)23，由图形的对称性得心形线1cos 与圆3cos 所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22dd =54．例44求曲线ln y x 在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x，6x和曲线ln yx 所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x 相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()ycx c c．又切线与直线2x，6x和曲线ln y x 所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c cx dx c=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c．由于dA dc=2164cc=24(4)c c，令0dA dc，解得驻点4c．当4c时0dA dc ，而当4c时0dA dc．故当4c 时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44yx ．例45求圆域222()xy b a （其中ba ）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b ax ，下半圆周的方程为221y b ax ．图5－5则体积元素为(0,)b o222()(0)xy b a baxy1xoy2312145673ln yx2x6x (,ln )c c 33cos3211xoy1211cosdV =2221()yy dx =224b ax dx ．于是所求旋转体的体积为V =224aabax dx =228a bax dx =284a b=222a b ．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研）过坐标原点作曲线ln yx 的切线，该切线与曲线ln yx 及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e 旋转一周所得旋转体的体积V ．分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6计算，如图5－6所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln yx 在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()yx xx x ．由该切线过原点知ln 10x ，从而0x e ，所以该切线的方程是1yx e．从而D 的面积1()12ye Ae ey dy．（2）切线1yx e与x 轴及直线x e 围成的三角形绕直线xe 旋转所得的旋转体积为2113V e ，曲线ln y x 与x 轴及直线xe 围成的图形绕直线x e 旋转所得的旋转体积为122211()(2)22y V e e dyee．因此，所求体积为212(5123)6VV V ee ．例47有一立体以抛物线22y x 与直线2x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x ．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ．于是所求体积为V =2()A x dx =223xdx =43．xy zo22yx2x ln yxln y xyxo12311yxe例48（03研）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r）．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米）分析本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解（1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n ，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以1221122x k k W kxdxxa ，2122222211()()22x x k k W kxdxx x x a ．由21W rW 得22221x xra ，即222(1)xr a ，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdxxx xr a ．由2321W rW r W 得22223(1)x r ar a ，即2223(1)xrr a ．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a rr （m ）．（2）问题是要求lim n nx ，为此先用归纳法证明：11nnx a rr．假设11n nx r ra ，则12211()2nnx nn nx k W kxdx xx 2121[(1...)]2n nk x r ra ．由2111...nnn nW rW r W r W ，得21221(1...)n n nx r rar a ．从而11nnx rr a .于是111lim lim11n nnnra x arr．若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下()1a m r．例49有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135yx ．于是闸门上对应小区间[,]x xdx 的窄条所承受的水压力为2dF xy gdx．故闸门所受水压力为F =10012(3)5gx x dx =5003g ，其中为水密度，g 为重力加速度．图5－8o xyxdxx(0,3)A (10,1)B。

题目1证明题容易d x证明(x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx」a题目2证明题容易JI利用积分中值定理证明:lim 4 sin n xdx ^0 b=0题目3证明题一般b设函数f(x)在［a,b］内可导，且f(a) =0, a 证明：在［a,b］内至少存在一点•使f ()f (x)dx = 0 =0。

题目4证明题一般设f (x) = f (x +a)，na证明：当n为正整数时° f (x)dxan 0f (x)dx。

题目5证明题一般1 1 证明：oX m (1-x)n dxx n (1-x)m dx o 题目6证明题 一般设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y,有 f (x) — f (y) _ x — y.则f (x)在［a,b ］上可积，且1题目7证明题一般 设f (x)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0.b 2 证明:4 | f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M = sup f "(x)。

a *x :bb［f (x)dx —(b —a) f (a)兰一(b —a)题目8证明题一般设f(x)在［a,b］上正值，连续，则在(a,b)内至少存在一点t ,b 1 b使f(x)dx = f(x)dx f(x)dx 。

■ a ' 2 ■ a题目9证明题一般jc 丑证明:0：：：2sin n1xdx ：：刁sin n xdx。

题目10证明题一般11 dx 二求证2°4-x2 x3 6题目11证明题一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。

题目12证明题一般若函数f (x)在［0,1］上连续,a 3 2 1 a2证明:o x f(x )dx xf (x)dx (a 0)。

题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续，b 2 b 2 b 2证明:［f(x)g(x)dx］2乞f2(x)dx g2(x)dxa a a题目14证明题一般设f (x)在［0,1］上连续，证明：02f (sin2 Jcos「d = 04f(sin2 J(cos「sin「)d「题目15证明题一般设f (x)在［a,b］上可导,且 f (x)玄M, f(a) =0,b Me证明:a f(x)dx^3(b—a)2。

第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1x d x 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0s i n )3x d x ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331a r c t a n )1x d x x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim)3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt tex I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e x dx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0c o s )1k x d x πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0s i n c o s )3l x d x kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)s i n 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa x d x 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223c o s c o s )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2c o s 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224c o s 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx xx14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202c o s )5πx d x e x dx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

- 106 -第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积历年真考题 1.（2001） 定积分21x dx -=⎰（ D ）A. 0B. 2C. －1D. 1 解析:2121111(1)(1)122x dx x dx x dx -=-+-=+=⎰⎰⎰ 2. （2001）设()f x 为连续函数，则232[()()]f x f x x x dx -+-+=⎰645. 解析:22233412222[()()][()()]f x f x x x dx f x f x x dx x dx I I ---+-+=+-+=+⎰⎰⎰由于1I 中被积函数为奇函数,且积分区间为对称区间,所以10I =, 所以原式=2244226425I x dx x dx -===⎰⎰. 3. （2001）2112k dx x -∞=+⎰,求常数k . 解: []002arctan (lim arctan )12x k k dx k x k x x π-∞-∞→-∞==-=+⎰ 由题意122k π=,所以1k π=.- 107 -4. （2001）计算220limsin xt x x e dtx x→-⎰解: 22222200012lim lim lim sin 2sin cos 2sin 4cos sin xt x x x x x x e dte xe x xx x x x x x x x x →→→---==++-⎰222202(2)1lim6cos 6sin cos 3x x x e x e x x x x →-+==---. 5. （2001）过(1,0)P作抛物线y =1）切线方程；（2）由抛物线、切线、以及x 轴所围平面图形的面积；（3）该平面分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。

解:（1）由已知条件，可设切线方程：(1)y k x =-（2）将切线方程与抛物方程联立，消去y ，得：22212(2)(1)0x x k k-+++=， （3）由于切点是唯一的交点，上述关于x 的方程必须有重根，即：222121(2)4(1)02k k k +-⋅+=⇒=±（负号舍去） 得切线方程为：1(1)2y x =-（4）解出切点坐标(3,1)，沿y 轴积分，则所求面积1201(2)(21)3A y y dy ⎡⎤=+-+=⎣⎦⎰ （5）该平面图形分别绕,x y 轴旋转一周的体积：2233121(1)26x V x dx dx πππ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()1222062215y V y y dy ππ⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦⎰ 6. （2002）41I dx =⎰，则I 的范围是（ A ）A. 02I ≤≤B. 1I ≥C. 0I ≤D. 12I ≤≤- 108 -解析:在[0,1]上402≤≤再利用定积分的性质.7. （2002） 若广义积分11p dx x +∞⎰收敛，则p 应满足（ B ）A. 01p <<B. 1p >C. 1p <-D. 0p <解析: 利用反常积分审敛法8. （2002）2121tan 1x xdx x -=+⎰ 0 . 解析: 被积函数为奇函数,且积分区域是对称区间.9.（2002）设1,01()1,01x x xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰.解：令1t x =-，则2x =时1t =，0x =时，1t =-，所以201101011(1)1ln(1)11x f x dx dx dx e e x---=+=++++⎰⎰⎰ 10.（2002）求极限20tan lim(sin )xx x xt t t dt→+⎰解: 2222220000212tan tan 1(1)1lim lim lim sin 1cos (sin )x x x x x x x x x x x x x x x t t t dt→→→-+++++==+++⎰=3211.（2002）从原点作抛物线2()24f x x x =-+的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为S 。

定积分证明题方法总结1. 引言在微积分学中，定积分是一种重要的概念，它用于计算曲线下的面积或曲线的定积分值。

在解决定积分证明题时，有一些常用的方法可以帮助我们简化问题和推导定积分的计算过程。

本文将总结一些常见的定积分证明题方法。

2. 几何解释法定积分可以被解释为曲线下面积的概念，这一特性可以用几何解释法来进行证明。

在这种方法中，我们可以将定积分问题转化为求曲线下某个区域的面积，然后通过几何图形的性质进行计算。

例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.将函数f(x)和x轴围成的曲线下面积表示为S。

2.将区间[a,b]平均分为n段，即将[a,b]划分为n个小区间。

3.将每个小区间的长度设定为Δx，将小区间的起点和终点分别表示为xi和xi+1。

4.在每个小区间上，选择一个插值点ci，计算f(ci)。

5.根据插值点计算出小区间的面积ΔSi，即ΔSi = f(ci)* Δx。

6.将所有小区间的面积加起来，得到近似的曲线下面积Sn = Σ(ΔSi)。

7.当n趋向于无穷大的时候，Sn的极限值即为S。

8.由于S表示曲线下面积，所以证明Sn趋于S，即证明了定积分的值为I。

这种方法通过将定积分转化为几何问题，使得证明过程更加直观明了。

3. 确定积分值的边界法定积分值的边界法是另一种常见的方法，通过确定积分的上下界来简化问题。

这种方法通常适用于具有特殊性质的函数。

例如，我们要证明函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值为I，可以进行如下步骤：1.设定积分的下界和上界分别为g(x)和h(x)，即g(x)≤ f(x) ≤ h(x)。

2.对区间[a,b]上的g(x)和h(x)进行定积分，分别得到下界和上界的定积分值：Ig = ∫[a,b] g(x) dx，Ih = ∫[a,b] h(x) dx。

3.如果可以证明Ig ≤ I ≤ Ih，即下界小于等于积分值小于等于上界，那么定积分值为I。

定积分证明题方法总结定积分证明题是数学分析中的重要知识点，也是应用数学和工程学科中常见的问题。

在解决实际问题时，定积分证明题经常被用来计算曲线下面积、求函数的平均值以及计算物理量等。

本文旨在总结定积分证明题的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

定积分证明题的背景和重要性是引出本文的基础。

首先，通过定积分的定义，我们可以准确计算出曲线下面的面积，这对于许多实际问题的解决非常有益。

例如，在物理学中，我们可以通过定积分来求解物体的体积、求解材料的质量等。

其次，定积分证明题也是数学分析和工程学科中的基础知识，对于深入理解相关领域的理论和应用有着重要的作用。

本文将介绍定积分证明题的方法总结。

我们将重点讨论常见的证明方法，例如几何法、代数法和变量代换法等。

这些方法在实际问题中具有广泛的应用，并且在解决定积分证明题时非常有效。

我们还将提供一些例题和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这些方法。

总之，本文旨在为读者提供一个定积分证明题方法的总结，帮助他们更好地应用这一知识点解决实际问题。

通过研究和掌握这些方法，读者将能够提高自己的数学分析能力并应用于相关领域的问题求解。

基本概念总之，本文旨在为读者提供一个定积分证明题方法的总结，帮助他们更好地应用这一知识点解决实际问题。

通过研究和掌握这些方法，读者将能够提高自己的数学分析能力并应用于相关领域的问题求解。

基本概念定积分是微积分中的一种重要数学工具，用于计算曲线下的面积或者曲线围成的区域的面积。

它是微积分的重要概念之一。

定积分是微积分中的一种重要数学工具，用于计算曲线下的面积或者曲线围成的区域的面积。

它是微积分的重要概念之一。

定积分的定义是通过极限的概念来进行表述的。

对于一个给定的函数f(x)，定义在闭区间[a。

b]上，我们可以将[a。

b]分成若干很小的区间，然后在每个区间上选择一个点，通过计算这些点处的函数值与该区间的长度的乘积，再将所有乘积相加，就可以得到一个近似的面积。