等比数列教案
高一数学 刘芳芳
一、教学目标
知识目标：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式．
能力目标：使学生进一步体会类比、归纳思想，培养学生的观察、概括能力．
情感目标：培养学生勤于思考，实事求是的精神及严谨的科学态度．
二、教学重点和难点
重点：等比数列的定义，通项公式的猜想过程、理解．
~
难点：等比数列的通项公式的应用．
三、教学用具
多媒体．
四、教学过程
（一） 复习旧知
等差数列的定义，数学表达式，通项公式．
（二）创设情境
情景引入生活中实际的例子．
}
1, 细胞分裂问题，可以记作数列：1,2,4,8,
． ① 2, 取木棒问题可以记作数列： .,8
1,41,21,1 ②
3, 计算机病毒感染可以记作数列 ： 2341,20,20,20
,20 观察三组数列的共同特征．从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
（三）讲解新课
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一个常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列的公比，用q 表示,(q ≠0)． 1, 等比数列的数学表达式：()*10,.n n
a q q n N a +=≠∈
\
2, 对定义的认识
（1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0;
二、等比数列的通项公式.
结合等比数列的定义可知，有： 2341231
,,,.n n a a a a q q q q a a a a -==== 即有: ()21213111,,0,0,2n n a a q a a q a a q a q n -===≠≠≥
等比数列的通项公式为: ()1*110,0,n n a a q a q n N -=≠≠∈
变形公式为: (
)*0,,n m n m a a q q m n N -=≠∈
三、等比中项:
—
若,,a G b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 2
G ab = 四、等比数列与指数函数的关系：
五、等比数列的判断方法：
1、定义法：1,(,0,0)n n n
a q n N a q a *+=∈≠≠ 2、等比中项法：2*1111(2,,,,0)n n n n n n a a a n n N a a a -+-+=⋅≥∈≠
3、通项公式法：1,(0,0)n n a a c q c q q ==
≠≠ @
六、例题讲解
例 1 已知某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%．这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是n a ．由条件可得，数列{}n a 是一个
等比数列，其中 10.84,0.84a q ==．
设0.5n a =，则 0.840.5n =．
两边取对数，得 lg 0.84lg 0.5n =． 4n ∴≈．
答：这种物质的半衰期大约为4年．
例2 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项． 解 设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么
《
2112a q =， ①
3118a q =， ②
②÷①，得 32
q =
． ③ 把③代入①，得 1163
a =． 因此 21163832
a a q ==⨯=． 答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8． 例3 已知{},{}n n a
b 是项数相同的等比数列，求证{}n n a b ⋅是等比数列. 证: 设{}n a 的公比为,p {}n b 的公比为,q
~ 1111111(),()
n
n n n n n a b a b pq pq a b a b pq ++-⋅==⋅它是一个与n 无关的常数, {}n n a b ∴⋅是公比为pq 的等比数列.
例4 已知等比数列123{},7,n a a a a ++=1238,a a a =求.n a
解: 3123228, 2.a a a a a ==∴=
13135,4,a a a a +=⎧∴⎨=⎩ 1314a a =⎧∴⎨=⎩ 或 13
41a a =⎧⎨=⎩ 当11a =时,12.n n a -= 当14a =时,32.n n a -=
例5 已知数列1{},2 2.n n n a S +=-求证:{}n a 是等比数列.
证: 2n ≥当时,12.n n n n a S S -=-=
!
1n =当时,112,
a S ==
2,.n n a n N *∴=∈ 112 2.2
n n n n a a ++== {}n a ∴是等比数列. 例6 已知等比数列的前三项和为168, 2542,a a -= 求57,a a 的等比中项.
解: 2123111411168,42,a a a a a q a q a q a q ⎧++=++=⎨-=⎩
2121(1)168,(1)(1)42,a q q a q q q q ⎧++=∴⎨-++=⎩ 196,1.2
a q =⎧⎪∴⎨=⎪⎩ 设G 是5a 与7a 的等比中项,
2210210571196()9.2
G a a a q ∴==== ]
3.G ∴=±
七 课堂小结
1 等比数列的定义，等比数列的通项公式；
2 注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3 用方程的思想认识通项公式，并加以应用．
八 课后作业
习题 A 组1，7，8题；
