线面 面面平行及性质练习题

证明线面平行的 转化思想：
小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//面 面//面
线//线
线面平行,面面平行作为条件,通过辅助平面
再见！
证明： a //
求证:a // b
a与没有公共点
又因为b在内
a b
a与b没有公共点
又 a与b都在平面内 且没有公共点

a // b
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′ （1）要经过面A′C′ 内的一点P和棱BC将木料 锯开，应怎样画线？ （2）所画的线与面AC有什么关系？
简记:面面平行，则线线平行
性质定理2． 两个平面平行，其中一个平 面内的直线必平行于另一个平面.
a


例3 求证: 夹在两平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 D A 求证：AB=DC. 证明：
AB // DC 过AB，CD可作平面

b
那么直线a会与平面内那些线平行呢？
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行。
a , a , b
注意：

a // b

a
b
1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线面平行,则线线平行。
已知:直线a , a , b
AD
BC


B
C
//
BC // AD
AB // CD
ABCD为平行四边形 AB CD

高考专题线面平行练习题1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点。

证明：MN∥平面AC1D。

证明：连接DN，DN是三棱柱的一条对角线，所以DN∥平面ABC。

又因为MN分别是AB和BC的中线，所以MN∥平面ABC。

所以MN∥DN，而DN∥平面AC1D，所以MN∥平面AC1D。

2.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点。

证明：PB∥平面AEC。

证明：连接PE，PE是四棱锥的一条侧棱。

因为E是PD的中点，所以PE∥AB。

又因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥DC。

所以平面ABD∥平面BCD，平面ABD∥平面AEC。

所以PB∥平面AEC。

3.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点。

证明：MN∥平面PAD。

证明：连接PN、MD，PN、MD是四棱锥的两条对角线。

因为ABCD是矩形，所以AD∥BC，AB∥DC。

所以平面ABD∥平面BCD，平面ABD∥平面PAD。

又因为MN分别是AB和PC的中线，所以MN∥平面ABD。

所以MN∥平面PAD。

4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点。

证明：MN∥平面PAD。

证明：同上题。

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点。

证明：C1O∥平面AD1B1.证明：连接CO，CO是正方体的一条对角线。

因为ABCD是正方形，所以平面ABD∥平面BCD，平面ABD∥平面ACD。

所以C1O∥平面ABD，又因为平面ABD∥平面AD1B1，所以C1O∥平面AD1B1.6.已知ABC-ABC是底面是正三角形的棱柱，D是AC的中点。

证明：AB1∥平面DBC1.证明：连接BD，BD是棱柱的一条对角线。

因为ABC-ABC是正三角形，所以平面ABC∥平面A1B1C1.所以平面DBC1∥平面ABC。

又因为D是AC的中点，所以BD∥A1C1.所以AB1∥平面DBC1.7.正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC的中点。

一.1. 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥2. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥ C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥3. 若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面三.典型例题例 1 如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, OA=2,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线//MN OCD 平面；NBDBCAS例2.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．1. .四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥； ．A B C D EP2. 正方体1111ABCD A B C D -中O 为正方形ABCD 的中心，M 为1BB 的中点，求证： （1）111//D O A BC 平面 （2）1MAC D O ⊥平面参考答案基础练习1.D 2.D 3.B 典型例题例题1. （1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π例题2 （1）由PA ⊥平面ABCD⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AAD PA CD PA ）AD （CD 已知⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面⇒平面PDC ⊥平面PAD ；（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ．巩固练习1.（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =，AO =，得1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==．连结DB，得D A B △的面积21sin13522S AB AD =∙= ,设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得121133h S SO S ∙=∙，解得h =．设SD 与平面SAB 所成角为α，则s i n 11h SD α===．A B CDEP F2 证明: (1)连结11,BD B D 分别交11,AC AC 于1,O O 在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形1,O O 分别是11,BD B D 的中点11//BO D O ∴∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴1D O ⊄平面11A BC ,1BO ⊂平面11A BC 1//D O ∴平面11A BC（2）连结MO ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形且1,BB a BD ==,O M 分别是1,BD BB 的中点,22a BM BO OD a∴===1B M B O O D D D ∴= 1O D D Rt MBO Rt ∆≅∆ 1B O M D D O ∴∠=∠在1ODD Rt ∆中，1190DD O D OD ∠+∠= 190BOM D OD ∴∠+∠=，即1D O M O⊥在正方体1111ABCD A B C D -中1DD ⊥ 平面ABCD1D D A C∴⊥又AC BD ⊥ ，1DD BD D= AC ∴⊥平面11BB D D1D O ⊂平面11BB D D1A C D O∴⊥又AC MO O = 1D O ∴⊥平面MAC。

线面、面面平行和垂直的判定和性质大题专练1、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中点， 求证：11//EF ABB A 平面2、正方体中1111D C B A ABCD -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11B A ，11D A ，11C B ，11D C 的中点。

求证：平面AMN ∥平面EFDB 。

3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD ，证明：PA BD ⊥A4．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点.（Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF .5、如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，PA ┴面BAC ，90,ABC ∠=AE ┴PB 于E ，AF ┴PC 于F ，求证：（1）BC ┴面PAB ，（2）AE ┴面PBC ，（3）PC ┴面AEF 。

6. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; (2)求三棱锥B-ACB 1体积．ACD 1C 1B 1A 1CDBAAFPDCB7.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）BD ⊥平面PAC8、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

小题专练1. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）AEDBCA ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m2. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交3.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+5．个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a = ．8.(2014浙江高考)设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( ) A.若m ⊥n,n ∥α,则m ⊥α B.若m ∥β,β⊥α,则m ⊥αC.若m ⊥β,n ⊥β,n ⊥α,则m ⊥αD.若m ⊥n,n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α9.(2013广东高考)设l 为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l ∥α,l ∥β,则α∥βB.若l ⊥α,l ⊥β,则α∥βC.若l ⊥α,l ∥β,则α∥βD.若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β。