26.3实践与探索

华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》主要介绍了利用函数解决实际问题，通过本节课的学习，使学生能够掌握利用函数解决实际问题的方法和步骤，培养学生的数学应用能力。

本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，能够理解函数与实际问题之间的关系。

但是，对于如何将实际问题转化为函数问题，以及如何利用函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生将实际问题与函数知识相结合。

三. 教学目标1.理解函数在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。

2.培养学生将实际问题转化为函数问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

四. 教学重难点1.教学重点：函数在解决实际问题中的应用，以及如何将实际问题转化为函数问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题与函数知识相结合，利用函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。

2.案例教学法：分析实际问题，引导学生将其转化为函数问题，培养学生解决问题的能力。

3.小组合作学习：分组讨论，相互交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学过程中的呈现和讨论。

2.准备PPT课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入课题，例如：某商场举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。

让学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.呈现（10分钟）呈现一系列实际问题，引导学生将其转化为函数问题。

例如：（1）某商品的原价为a元，现进行n折优惠，求优惠后的价格。

（2）一辆汽车从出发点出发，以b米/秒的速度行驶，经过t秒后，求汽车行驶的距离。

26.3实践与探索（解析版）一、主要知识点解决与二次函数有关的实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等。

二、典例分析例.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数10500y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60％.（1）设小明每月获得的利润为w （元），求每月获得的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围.（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少为多少元？（成本=进价×销售量）答案：解：（1）由题意，得2(20)(20)(10500)1070010000w x y x x x x =-⋅=-⋅-+=-+-， 即21070010000(2032)w x x x =-+-≤≤.（2）函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线700352(10)x =-=⨯-.100a =-<，∴抛物线开口向下.∴当2032x ≤≤时，w 随着x 的增大而增大，∴当32x =时，w 取得最大值，为2160.答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元. （3）令2000w =，则210700100002000x x -+-=， 解这个方程得130x =，240x =. 100a =-<，∴抛物线开口向下.∴当3040x ≤≤时，2000w ≥.又2032x ≤≤，∴当3032x ≤≤时，2000w ≥.设每月的成本为P 元，由题意，得20(10500)20010000P x x =-+=+， 2000k =-<，∴P 随x 的增大而减小.∴当32x =时，P 的值最小，3600P =最小值.答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元.三、针对训练1.服装店将进价为每件100元的服装按每件(100)x x >元出售，每天可销售(200)x -件，若想获得最大利润，则x 应为( ) A.150 B.160C.170D.180答案：A解析：设获得的利润为y 元.由题意得2(100)(200)30020000y x x x x =--=-+-=2(150)2500x --+.10-<，∴当150x =时，y 取得最大值，最大值为2500.故选A.2.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设m AB x =，长方形的面积为2m y ，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.254B.6C.15D.52答案：D解析：根据题意可知111125(5)12(5)222y y y x x x x x ⎛⎫=⨯⨯----< ⎪⎝⎭，整理得22121251215552y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭.因为1205-<，所以长方形ABCD 的面积有最大值，此时边长x应为52. 3.如图是一座拱桥，它的桥拱是抛物线形，当拱桥顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降2.5 m ，则水面宽度增加( )A.1 mB.2 mC.3 mD.6 m答案：B解析：如图，以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，122OA OB AB ===，抛物线顶点C 的坐标为(0,2).设抛物线的表达式为22y ax =+，把点A 的坐标(2,0)-代入得0.5a =-，∴抛物线的表达式为20.52y x =-+.把 2.5y =-代入抛物线表达式得22.50.52x -=-+，解得3x =±，所以水面下降后水面的宽度为6 m ，所以若水面下降2.5 m ，则水面宽度增加2 m.4.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式2241h t t =-++，则下列说法中正确的是( )A.点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B.点火后24 s 火箭落于地面C.点火后10 s 的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m 答案：D解析：22241(12)145h t t t =-++=--+.A.抛物线的对称轴为直线12t =， 横坐标为9与13的点不关于对称轴对称，故A 选项中的说法错误；B.当24t =时，57657611h =-++=，火箭的升空高度是1 m ，故B 选项中的说法错误；C.当10t =时，100240I 141h =-++=，故C 选项中的说法错误；D.火箭升空的最大高度为145 m ，故D 选项中的说法正确，故选D.5.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图），对应的两条抛物线关于y 轴对称，//AE x 轴，4AB =cm ，最低点C 在x 轴上，高1CH =cm ，2BD =cm.则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为( )A.21(3)4y x =+B.21(3)4y x =--C.21(3)4y x =-+D.21(3)4y x =-答案：D解析：高1CH =cm ，2BD =cm ，而B 、D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1,1)，//AB x 轴，4AB =cm ，最低点C 在x 轴上，∴AB 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(3,0)-，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，设右边抛物线的解析式为2(3)y a x =-，把(1,1)D 代入，得21(13)a =⨯-，解得14a =，故右边抛物线的解析式为21(3)4y x =-.故选D.6.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每件的售价每提高2元，每天的销量就要减少10件，为了使每天所得利润最多，该商人应将每件的销售价（为偶数）提高( ) A.8元或10元 B.12元 C.8元 D.10元答案：A解析：设每件商品的售价为x 元，每天的利润为y 元.依题意，得210(8)100105(19)6052x y x x -⎛⎫=-⋅-⨯=--+ ⎪⎝⎭，50-<，∴二次函数图象的开口向下，函数有最大值，∴当19x =时，y 取最大值，为605，售价为偶数，∴x 为18或20，当18x =时，600y =，当20x =时，600y =，∴x 为18或20时，y 的值相同，∴每件商品的售价应提高18108-=（元）或201010-=（元）.故选A.7.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损时就会及时停产，某公司生产季节性产品，一年中n 月份获得的利润y 和对应月份n 之间的函数表达式为21211y n =-+-，则该公司一年12个月中应停产的所有月份是( ) A.6月 B.1月、11月 C.1月、6月、11月 D.1月、11月、12月答案：D解析：221211(6)25y n n n =-+-=--+，当1n =时，0y =，当11n =时，0y =，当12n =时，0y <，故停产的月份是1月、11月、12月.故选D.8.某宾馆共有80间客房，宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足142(168)4y x x =-.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间的定价确定为( ) A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间答案：B解析：设每天的利润为W 元，根据题意，得(28)(80)W x y =---2115000(28)80425000129841644x x x x ⎡⎤⎛⎫=----=-+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21(258)82254x --+.当258x =时，12584222.54y =⨯-=不是整数，258x ∴=舍去，∴当256x =或260x =时，函数取得最大值.又想让客人得到实惠，∴宾馆应将房间定价确定为256元/间时，才能获得最大利润.故选B.9.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m答案：C解析：以一段防护栏的中点为原点，以地面所在直线为x 轴，以原点与抛物线顶点连线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点位于y 轴上，则顶点坐标为(0,0.5)，∴可设抛物线的函数表达式为20.5y ax =+.由于(1,0)在抛物线上，代入后，得0.5a =-，∴抛物线的函数表达式为20.50.5y x =-+.当0.2x =时，0.48y =；当0.6x =时，0.32y =.∴总长度为1002(0.480.32)160(m)⨯⨯+=.故选C.10.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）与足球被踢出后经过的时间t （s ）之间具有函数关系219.6h at t =+.已知足球被踢出后经过4s 落地，则足球距地面最大高度是__________m. 答案：19.6解析：足球被踢出后经过4s 落地，∴当4t =时，0h =.1619.640a ∴+⨯=，解得 4.9a =-.∴函数关系式24.919.6. 4.90h t t =-+-<，所以h 有最大值.当19.622( 4.9)t =-=⨯-时，h 有最大值，最大值为2019.619.6(m)4( 4.9)-=⨯-. 11.汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是2156s t t =-，则汽车从刹车到停止所用时间为_______秒.答案：1.25解析：2615s t t =-+.当s 取最大值时，151.252(6)t =-=⨯-.∴汽车从刹车到停止所用时间是1.25秒.12.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：（1）月销量y （件）与销售单价x （元）之间的关系式为2400y x =-+；（2）工商部门限制销售单价x 满足：70150x ≤≤（计算月利润时不考虑其他成本）. 给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元.其中正确的是__________（把所有正确结论的序号都填上）. 答案：①②③解析：由题意知，当70150x ≤≤时，对于2400y x =-+，20-<，∴y 随x 的增大而减小，∴当150x =时，y 取得最小值，最小值为100，当70x =时，y 取得最大值，最大值为260，故①②正确；设销售这种文化衫的月利润为W 元，则2(60)(2400)2(130)9800W x x x =--+=--+， 70150x ≤≤，∴当70x =时，W 取得最小值，最小值为22(70130)98002600--+=，故③正确；当130x =时，W 取得最大值，最大值为9800，故④错误.故答案为①②③.13.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（2030x ≤≤，且x 为整数）出售，可卖出(30)x -件.若使利润最大，则每件商品的售价应为__________元. 答案：25解析：设利润为w 元，则2(20)(30)(25)25w x x x =--=--+，2030x ≤≤，∴当25x =时，w 有最大值25.14.在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米. 答案：10解析：当0y =时，212501233x x -++=，解得12x =-（舍去），210x =.所以该生此次实心球训练的成绩为10米.15.某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为__________元. 答案：180解析：设每千克降价x 元，由题意得每天的销售量为401040200.5xx +⨯=+（千克）.设商店平均每天的利润为W 元，由题意，得22(4)(4020)204016020(1)180.200,W x x x x x =-+=-++=--+-<∴当1x =时，W 取得最大值，最大值为180，即商店平均每天的最高利润为180元.16.如图，用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是__________2m .（中间横框所占的面积忽略不计）答案：83解析：设窗户的高度为x m ，则宽为82()3x -m ，22822828(2)33333x S x x x x -∴=⋅=-+=--+，∴当2x =时，S 最大，最大值为83，即这个窗户的最大透光面积是28m 3.17.某商店从厂家以每件21元的价格购回一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(35010)a -件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%.如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为___________元. 答案：2818.红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x （单位：元），月销售量为y （单位：万件）.（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元，月销售最大利润是78万元，求a 的值. 答案：（1）5(4050),100.1(50100).x y x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩（2）当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元. （3）4a =.解析：（1）5(4050),100.1(50100).x y x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩由题知，当4050x ≤≤时，5y =. 当50x >时，50.1(50)100.1y x x =--=-. 由100.10x -≥，得100x ≤. （2）设月销售利润为z 万元，当4050x ≤≤时，5(40)5200z x x =-=-，此时z 的最大值为55020050⨯-=.当50100x <≤时，22(40)(100.1)0.1144000.1(70)90z x x x x x =--=-+-=--+， 所以当70x =时，z 取最大值，为90.综上，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元. （3）设该公司捐款后的利润为w 万元，由题意，得2140(40)(100.1)400101010x aw x a x x a +=---=-+--，易知抛物线2140400101010x a w x a +=-+--的开口向下，对称轴为直线702ax =+，则当70x =时，捐款后月销售利润w 最大， 即(7040)(100.170)78a --⨯-⨯=，解得4a =.19.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款免洗洗手液”的销售单价为x （元），每天的销售量为y （瓶）.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大？最大利润为多少元？答案：（1）20802040880(16)0.5xy x x -=+⨯=-+≥. （2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元. 解析：（1）由题意得20802040880(16)0.5xy x x -=+⨯=-+≥. （2）设每天的销售利润为w 元，则有2(40880)(16)40(19)360(16)w x x x x =-+-=--+≥， 400a =-<，∴二次函数的图象开口向下.∴当19x =时，w 有最大值，最大值为360.∴当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.20.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系部分数据如下表：售价x （元/件） 60 65 7650 销售量y （件）140013001200（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范闱）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利2400元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 答案：（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，由题意，得 601400,651300,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得20,2600.k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数表达式是202600y x =-+.（2）据题意，得(50)(202600)24000x x --+=.解得170x =，2110x =. 因为尽量给客户优惠，所以这种衬衫定价为70元/件.（3）由题意，得2(50)(202600)20(90)32000w x x x =--+=--+.因为该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价， 所以5050(130%)x ∴≤≤+，即5065x ≤≤. 当65x =时，取得最大值，此时19500w =.答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.21.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克. （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 答案：（1）50010(5550)450-⨯-=（千克）. 答：当售价为55元/千克时，每月销售水果450千克.（2）设每千克水果售价为x 元，由题意可得8750(40)[50010(50)]x x =---， 解得1 65x =，275x =.答：每千克水果售价为65元或75元.（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由题意， 得2(40)[50010(50)]10(70)9000y m m m =---=--+，∴当70m =时，y 有最大值.答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大.22.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）的几组值后，发现h 与t 满足的函数关系式是2205h t t =-.（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度？最大高度是多少？ （2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？ 答案：（1）222055(2)20h t t t =-=--+. 50-<，∴当2t =时，h 有最大值，为20.∴小球飞行时间是2s 时达到最大高度，最大高度是20m.（2）令15h =，则220515t t -=. 解得11t =，23t =.13t ∴≤≤时，飞行高度不低于15m.23.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面 2. 25m ，喷出水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.答案：建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意，得(0,2.25),(1,3)A P . 设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-+， 把(0,2.25)A 代入，得0.75a =-， 所以20.75(1)3y x =--+， 令0y =，则20.75(1)30x --+=，解得123,1x x ==-（舍去），所以3m BC =. 答：水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为3m .24.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m .（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是______（填方案一，方案二，或方案三），则B 点坐标是________，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度.答案：（1）选择方案二，根据题意知点B 的坐标为()10,0，抛物线的顶点坐标为()5,5，且抛物线经过点(0,0),(10,0)O B ，故填方案二；(10,0).设抛物线的解析式为2(5)5y a x =-+，把(0,0)代入得20(05)5a =-+，15a ∴=-， ∴方案二中抛物线的解析式为21(5)55y x =--+. （本题答案不唯一，选方案一或方案三并求出相应B 点的坐标及抛物线解析式即可）（2）由（1）知，当532x =-=时，2116(5)555y x =--+=， 所以水面上涨的高度为16m 5.。

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２6.3实践与探索(三)教学内容：课本Ｐ29～30教学目标1、掌握图象交点坐标的求解法;2、理解二次函数与一元二次方程的关系,了解图象法解一元二次方程的步骤；教学重难点重点：掌握图象交点坐标的求解法;难点：理解二次函数与一元二次方程的关系，了解图象法解一元二次方程的步骤;教学准备：课件教学方法：探究法教学过程一、复习与练习1、已知二次函数y ＝x 2—４ｘ＋3的图象与x 轴交于A 、Ｂ两点，与ｙ轴交于点C,求△ＡBC 的面积。

2、若抛物线y ＝2x 2—kx —１与ｘ轴交点的横坐标一个大于2，另一个小于2,试确定k 的取值范围。

二、学习问题41、问题４：育才中学九年级（3）班学生在上节课的学习中出现了争论:解方程2132x x =+时，几乎所有学生都是将方程化为21302x x --=,画出函数2132y x x =--的图象,观察它与x 轴的交点，得出方程的根。

唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数2y x =和132y x =+的图象,认为它们的交点A 、B 的横坐标—1.５和２就是原方程的根。

对于小刘提出的问题,同学们展开了热烈的讨论.２、小组交流.你对这两种解法有什么看法？请你与同伴交流.3、班级展示．由组长交流组内看法。