电动力学第三版答案郭硕鸿著

第六章 狭义相对论主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相对论力学一．狭义相对论基本原理：1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展） （1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。

（2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系2、光速不变原理真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c ，且与光源运动速度无关。

二．洛仑兹变换：坐标变换：2x 'y 'y z 'zv t xt '⎧==⎪⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪-⎪=⎪⎪⎩逆变换：2x y y 'z z 'v t 'xt ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪-⎪=⎪⎪⎩速度变换：21x x x u v u vu c-'==-，21y x u c'=-，21z x u c'=-三．狭义相对论的时空理论：1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。

2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。

其中v 是物体相对静止系的速度；l l =3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物体内部自然过程经历的时间延缓。

221ct ντ-∆=∆⑴ 运动时钟延缓：τν∆>∆∴<-t c1122只与速度有关，与加速度无关；⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。

四．电磁场的洛仑兹变换:11223332()()γγ'=⎧⎪'=-⎨⎪'=+⎩E E E E vB E E vB 1122323322()()γγ⎧⎪'=⎪⎪'=+⎨⎪⎪'=-⎪⎩B B v B B E c v B B E c 五．相对论力学： 1．运动质量：m =2．相对论动量：p m v ==3．质能关系：物体具有的能量为24W m c c= 4．相对论动能：()222000T W W m c m m c=-==-5．相对论力学方程：dp F dtdW F v dt=⋅=本章重点：1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具体问题2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.3、了解相对论四维形式和四维协变量4、了解相对论力学的基本理论并解决实际问题本章难点：1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性2、相对论的四维形式3、电动力学的相对论不变性的导出过程。

电动⼒学-郭硕鸿-第三版-课后题⽬整理（复习备考专⽤）（可编辑修改word版）2 电动⼒学答案2. 设u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：f (u ) = d fd uu ，A (u ) = u d A，d u第⼀章电磁现象的普遍规律1. 根据算符? 的微分性与向量性，推导下列公式：( A B ) = B ( A ) + (B ) A + A ( B ) + ( A )BA ? (? ? A ) = 1 ?A 2- (A ? ?) A ? ? A (u ) = ?u ? d Ad u证明：3. 设 r = 的距离， r 为源点 x ' 到场点 x 的⽅向规定为从源点指向场点。

4. 应⽤⾼斯定理证明 ?Vd V ? ? f= d S ? f ，应⽤斯托克斯S （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微（Stokes ）定理证明 ?d S ? ?= ? d l商的关系：r = -' r = r / r ；SL(1/ r ) = -'(1/ r ) = -r / r 3； ? ? (r / r 3 ) = 0 ；(r / r 3 ) = -'(r / r 3 ) = 0 ，(r ≠ 0) 。

（ 2）求 ? ?r ， ? ? r ， (a ? ?)r ， ?(a ? r ) ， ? ?[E 0 sin(k ? r )] 及 ? ?[E 0 sin(k ? r )]，其中a 、 k 及 E 0 均为常向量。

(x - x ')2 + ( y - y ')2 + (z - z ')25. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为 p (t ) =V( x ', t )x ' d V '，6. 若 m 是常向量，证明除 R = 0 点以外，向量 A =（m ? R ）/ R 3的旋度等于标量 = m ? R / R 3 的梯度的负值，即利⽤电荷守恒定律 ? ? J + ?t= 0 证明 p 的变化率为：A = -，其中 R 为坐标原点到场点的距离，⽅向由原d p = ? J ( x ', t )d V 点指向场点。

电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理（复习备考专用）要点电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(??++??+=??AA A A )()(221??-?=A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ?=d d )(，uu u d d )(A A ?=??，uu u d d )(AA ??=??证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ；0)/(3=??r r ；0)/(')/(33=?-?=??r r r r ，)0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E 及)]sin([0r k E ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ?=SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明??=??LSl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ?=ρ，利用电荷守恒定律0=??+tρJ 证明p 的变化率为：?=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ?=的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值，即-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

电动力学习题解答电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符' 的微分性与向量性，推导下列公式：1( A B ) =B ('、A) ■ ( B ^ ) A A (I B) ' (A '、、) B A (∖ A) ∖ A -(A '、) A 2.设U是空间坐标X, y,z的函数，证明:'、f (U)dfUd U：：/∙A(U)=d AU —dU ∖ A (U) =VUd Adu证明:电动力学习题解答3. 设r = (X - χ')亠(y _ y')亠(Z -z') 为源点X'到场点X 的距离，r的方向规定为从源点指向场点。

(1)证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：Ir= 一1 'r = r / r ；I (1 / r) _ -■• ' (1 / r) _ -r / r3；3'、(r/ r ) =0 ；∖ (r / r ) = '(r / r ) = O ，(r = 0)。

(2 )求r ，'∙∙ r，(a •''、) r ，1(a r)，∖ [ E o Sin( k r)]及''、[E O Sin( k r)],其中a、k及E O均为常向量。

,应用斯托克斯(StokeS)定理证明dS = d I”^S ^L4.应用高斯定理证明 f dS f5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为P(t) = Vj(X',t)X'dV',利用电荷守恒定律∖=0证明P的变化率为：Ctd PJ ( X',t)dVdt -V6.若m是常向量，证明除R=O点以外，向量A =( m R)/ R3 的旋度等于标量:护^m R/R3的梯度的负值，即V A --，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7.有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为;,使介质球内均匀带静止自由电荷「f ,求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。

（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。

4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。

(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。

13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，u u u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明f S f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ证明p 的变化率为：⎰=VV t t d ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：uufu f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明f S f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=VV t t d ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

电动⼒学-郭硕鸿-第三版-课后题⽬整理（复习备考专⽤）.电动⼒学答案第⼀章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的⽅向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。

（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。

4. 应⽤⾼斯定理证明，应⽤斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为，利⽤电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，⽅向由原点指向场点。

7. 有⼀内外半径分别为和的空⼼介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静⽌⾃由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化⾯电荷分布。

8. 内外半径分别为和的⽆穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀⾃由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体⾃由电荷密度的倍。

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作⽤⼒⼤⼩相等⽅向相反(但两个电流元之间的相互作⽤⼒⼀般并不服从⽜顿第三定律11. 平⾏板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的⾃由电荷⾯密度和；（2）介质分界⾯上的⾃由电荷⾯密度。

(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界⾯上不带⾯⾃由电荷时，电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界⾯两侧电场线与法线的夹⾓。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界⾯上电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的电导率。

13.试⽤边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界⾯上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表⾯；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。