函数的单调性
、函数单调性的定义
1、图形描述：
对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述
对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间
若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：
1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2
x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(]
,0x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、用定义证明函数的单调性：
定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ；
2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
3、判断定结论： 即根据定义得出结论。
三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数()y f x =-与函数()y f x =的单调性相反 2、当()f x 恒为正或恒为负时，函数()
1
y f x =
与函数()y f x =的单调性相反 3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
四、复合函数单调性的判断
对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，
),(n m u ∈，
且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同增异减”。
类型一用定义证明函数的单调性
例1：证明：函数f (x )＝2x 2
＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设x 10， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(2x ＋4x 2)－(2x ＋4x 1) ＝2(x －x )＋4(x 2－x 1) ＝2(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)．
∵x 1练习1：证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数
答案：设x 1、x 2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x 10， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2 ＝
x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2
x 1＋x 2.
∵x 1－x 2＝－Δx <0，x 1＋x 2>0，Δy <0. ∴f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是减函数．
练习2：(2014～2015学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数f(x)=
,用单调性定义证明在（-1，+ ）上是减函数。
答案：设任意x 1∈(－1，＋∞)，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋2x 2＋1－x 1＋2
x 1＋1
＝x 1－x 2
x 2＋x 1＋
类型二 证明含参数的函数的单调性 例2：已知函数f (x )＝
ax
x 2
－1
(a 为常数且a ≠0)，试判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．
解析 任取x 1、x 2，使得－10. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝a x 1x 2＋
x 1－x 2x 21－
x 2
2
－
，
∵－1∴x 1x 2＋1>0，x 2
1－1<0，x 2
2－1<0，
∴
x 1x 2＋x 1－x 2
x 21－x 22－
<0，
∴当a >0时，f (x 2)－f (x 1)<0，
故此时函数f (x )在(－1,1)上是减函数， 当a <0时，f (x 2)－f (x 1)>0， 故此时f (x )在(－1,1)上是增函数．
综上所述，当a >0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数．
练习1：判断函数f (x )＝a
x
(a 为常数且a ≠0)在(0，＋∞)上的单调性．
答案：当a >0时， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，当a <0时， f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
练习2：判断函数()()20x a
f x a x
-+=>在(),0-∞上的单调性
答案：单调递减函数
类型三 证明抽象函数的单调性
例3：已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1
f x
在(0，
＋∞)上的单调性，并证明．
解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：
任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x2－x1>0. ∵Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝1
f x 2
－
1
f x 1
＝
f x 1－f x 2
f x 2f x 1
，
又y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1>0， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.
而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0， ∴F (x 2)－F (x 1)<0，
∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数
练习1：已知函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ²(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明
答案：增函数
练习2：(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f(x)＝x ²＋2x ＋3在[－1，＋∞)的单调性为____
答案：增函数。
类型四 求函数的单调区间
