实验报告-插值法
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计算机上机实验报告
专业和班级 姓名 成绩 学号
课程名称 数值计算方法 实验名称 插值法
实
验
目
的
和
要
求 实验目的
1、掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、 掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。
3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。
实
验
内
容
和
步
骤 实验的主要内容
1、编制拉格朗日、牛顿插值程序，并运行一个简单的实例。
（1） 拉格朗日插值程序：
function v=polyinterp(x,y,u)
n=length(x);
v=zeros(size(u));
for k=1:n
w=ones(size(u));
for j=[1:k-1 k+1:n]
w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;
end
v=v+w*y(k);
end
实例：当x=144,169,225时，y=12,13,15,用拉格朗日差值法求根号175。如下：
（2） 牛顿插值程序：
function y=newinterp(X,Y,x)% 牛顿插值函数
m=length(X);
for k=2:m
for j=1:k-1
Y(k)= (Y(k)- Y(j))/(X(k)-X(j));
end
end
y=Y(m);
for j=m-1:-1:1
y=y.*(x-X(j))+Y(j);
end
实例：当x=144,169,225时，y=12,13,15,用牛顿差值法求根号175。如下：
2、给定函数 xxf)(，已知：
414214.1.)0.2(f 449138.1.)1.2(f
483240.1.)2.2(f 516575.1.)3.2(f 549193.1.)4.2(f
用牛顿插值法求4次Newton插值多项式在2.15处的值，以此作为函
3.选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n，在作比较，由此作初步分析。
程序：
%不同插值方法是否会出现震荡runge现象
%M文件
function runge10
[X,Y]=fenduan(10,1);%将[-1,]区间分成10等份，返回对应的（x，y）五组数据
x=linspace(-2,2,100);%将[-1,1]划分成100等份，以便作出样条插值多项式的图形。
for i=1:length(x)%绘制原函数曲线图
y(i)=exp(-x(i)^2);
end
hold on
plot(x,y);
text(0,1,'\leftarrow原函数')%对曲线添加标注
y=newinterp(X,Y,x);%多项式插值中的牛顿插值法
hold on
plot(x,y);
title('插值函数中的runge现象，区间等分为10段'); %添加标题
xlabel('X轴');
ylabel('Y轴');
text(-0.9,1.5,'\leftarrow牛顿插值')%对曲线添加标注
y=interp1(X,Y,x);
plot(x,y);
text(-0.4,0.8521,'\leftarrow分段线性插值')
cs=spline(X,[0 Y 0]);%调用spline函数插值，y比x多两个元素。
plot(X,Y,'o',x,ppval(cs,x),'-');%做样条多项式的图形
text(-1.2,0.2369,'\leftarrow样条插值')
function [X,Y]=fenduan(n,b)%将区间等分成n份，并求对应点上的函数值
for i=1:n+1
X(i)=-2+(4*(i-1))/n;
Y(i)=exp(-X(i)^2);
end
function y=newinterp(X,Y,x)% 牛顿插值函数
m=length(X);
for k=2:m
for j=1:k-1
Y(k)= (Y(k)- Y(j))/(X(k)-X(j));
end
end
y=Y(m);
for j=m-1:-1:1
y=y.*(x-X(j))+Y(j);
end
结
果
的
研
究
与
探
讨 将三种插值结果相比较，显然分段线性插值法在节点处不光滑，拉格朗日值出现较大的振荡，样条差值的结果是最好的，改变n的值，运行程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点的个数可以提高插值结果的准确程度。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
