二次函数综合题

专题23二次函数推理计算与证明综合问题

【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c

（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

（2）点（x0，m）（x

0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x

0的取值范围．

【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣

6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P

（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两

点．

（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数y1的表达式可以写成y

1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．

（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y

1的表达式还可以写成y

1＝2（x﹣m）（x

﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y

2的图象经过点（x

0，0）时，求x

0﹣m的值．

【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为

和谐点．例如：点（1，1），

（

，），（﹣，﹣），……都是和谐点．

（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0

）的图象上有且只有一个和谐点（

，）．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c

+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m

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二次函数综合题（河北中考复习专题）

一．解答题（共4小题）

1．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q，点P在第四象限．

（1）若点P（2，﹣c），点Q的横坐标为1，求点Q的坐标；

（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x2+bx+c的对称轴交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若EQ=PE，c=（b＜﹣5），求△OMQ的面积S的取值范围．

2．如图，已知直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x=﹣3．

（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；

（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？

3．如图，二次函数y=ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．

（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；

（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，试求∠CAB的正切值；

（3）若在x轴上有一点P，使得点B关于直线AP的对称点B1在y轴上，试求点P的坐标．

4．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．

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二次函数综合题（河北中考复习专题）

答案

【解答】解：（1）由题意：﹣=2，

∴b=﹣4，∴抛物线为y=x2﹣4x+c，将P（2，﹣c）代入得到，﹣c=4﹣8+c，

∴c=2，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+2，

∵点Q横坐标为1，

∴点Q坐标为（1，﹣1）．

二次函数性质综合题

类型一 二次项系数确定型

1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+m-5.

（1）若该二次函数图象关于y轴对称，写出它的图象的顶点坐标．

（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m的取值范围．

解：(1)∵二次函数y=x2-2mx+m2+m-5的图象关于y轴对称，

∴x=22m=0， 解得m=0，

∴二次函数为y=x2-5，

∴顶点坐标为（0，-5）；

(2)y=x2-2mx+m2+m-5=（x-m)2+m-5，

∴顶点坐标为（m，m-5），

∵它的图象的顶点在第一象限，

∴ m＞0，且 m−5>0 ， 解得m>5．

2.已知抛物线G：y=x2-2ax+a-1(a为常数).

（1）当a=3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；

（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p,q），

分别用含a的代数式表示p,q；

请在的基础上继续用含p的代数式表示q；

由可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，则点P总落在__________图象上.

A.一次函数 B.反比例函数 C.二次函数

（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y=x2-2ax+N(a为常数)，其中N代表含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.

解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,

∴点G的顶点坐标为(3,-7);

(2)y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,

∴p=a,q=-a2+a-1;

q=-p2+p-1;

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二次函数综合题训练

一、综合题（共24题；共305分）

1.如图，在平面直角坐标系 中，二次函数图象的顶点坐标为 ，该图象与 轴相交于点 、

，与 轴相交于点 ，其中点 的横坐标为1．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求 ．

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；

（2）把点B向上平移m个单位得点B1 ． 若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m ， n的值．

3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.

4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.

（1）求a的值和图象的顶点坐标。

（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.

①当m=2时，求n的值； 2

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.

5.若二次函数 图象的顶点在一次函数 的图象上，则称

为 的伴随函数，如： 是 的伴随函数.

（1）若 是 的伴随函数，求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 的伴随函数 与 轴两个交点间的距离为4，求 ， 的值.