2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法文含解析

高中数学数列求和的七种方法

数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法，希望能够帮助到大家!

高中数学数列求和的七种方法

1、倒序相加法

倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。

2、分组求和法

分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

3、错位相减法

错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

4、裂项相消法

裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

5、乘公比错项相减(等差×等比)

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

6、公式法

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

7、迭加法

主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

数列求和一倒序相加法的应用

石家庄实验中学 安军茹

在等差数列的前n项和公式的推导中，我们使用了倒序相加法:

Sn a1 a2 a3 an ①

Sn an an 1 an 2 a1 ②

①+②得：

2Sn (a1 an ) (a2 an 1 ) (a3 an 2) (an aj

n(ai an)

这种求和方法的本质是得到了 n个相同的和，把一般等差数列求和问题转化为 常数列求和问

题，从而把问题简化。利用这种方法，我们还可以解决下面的问题：

1、求证：cn 2C： 3C； nC： n 2n 1 2

证明：设 S C： 2C； 3C3 (n 1)C： 1 nC： ①

C： ②

2C；] [Cn (n JC：1] nC：

2 2 9 10

2 2 2 2 2 9 1 10

1

3、已知f(x) ------------ (x R), R区，yj, Pzg, y2)是函数y f (x)图像上的两点,

4 2 1

且线段RP2中点P的横坐标是 。 (ai a.) (ai an) (ai an)(共 n 个)

Sn n(ai an)

2

S nC； (n 1)C；1 (n 2)C； 2

①+②得:

2S nC, [(n 1)C；1 U] [(n 2)C：2

nC； nC： 1 nCr i 2

n nC：

n(C； n 1 n 2

Cn C n

C°) n 2n

Sn n 2n 1

“ 2

亠2

2、求和: 1 2 3 2

10 1 9 8 3

2

(1)求证：点P的纵坐标是定值。

(2)若数列an的通项公式是an f (巴)(m N ,n 1,2, , m)求数列an的前n

m

项和Sm。

这是一道综合题，第二题的解决要用到第一题的结论：

f (―) f(m 】)f (―) f(m 2) f (-m $ f (丄)，共 m 1 个相同的和，

m m m m m m 1

1-9高中数学常见数列求和的方法训练

（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项）

【题组一裂项相消】

1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列{}

na的通项公式1

1na

nn

，若前n项的和为11，则

n=________。

2．（2020·河南高二月考）已知等差数列

na中，

13212aa，

12421aaa。

（1）求数列

na的通项公式；

（2）记数列

na的前n项和为nS，证明：

121112

123

nSSSn

L；

3．已知公差不为0的等差数列

na中

22a，且

2a，

4a，

8a成等比数列。

（1）求数列

na的通项公式；

（2）设

11

n

nnb

aa

，数列

nb的前n项和为

nS，求使14

15nS的n的最大值。2-9练习1已知数列

na的前n项和为nS，且2347

nnSan。

（1）证明：数列2

na为等比数列；

（2）若

12

11n

n

nna

b

aa





，求数列

nb的前n项和nT；

2.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，n∈N*．

（1）判断数列{an－2n－1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）若bn＝(2n－1)2n

anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn；3-9【题组二错位相减】

1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n。

(1)设bn＝

12n

na

.证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的前n项和；

2．设等差数列

na的前n项和为nS，且

424SS，

2121aa。

（1）求数列

na的通项公式；

（2）设数列

nb满足21

4n

nna

b

，求数列

nb的前n项和nR；

3．设等差数列{}

na的公差为d，前n项和为nS，且满足2d，

476S.等比数列{}

nb满足

1310bb，

2420bb。

（1）求数列{}

na和{}

nb的通项公式；

（2）设(23)

nnncab，求数列{}

专题41 数列 数列的求和2（错位相减法求和）

【考点讲解】

一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法；

2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.

考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和.

二、知识概述：

求数列前n项和的基本方法

（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；

等差：；

等比：公比是字母时需要讨论.

(理)无穷递缩等比数列时，qaS11

（2）掌握一些常见的数列的前n项和公式：

；

；

；

；

（3）倒序相加法求和：如果一个数列na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.

（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列nc的通项公式nnncab，其中na、nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减法．

温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.

【答案】(I)2nna；(II)

6.【2016高考山东文数】已知数列na 的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且

（Ⅰ）求数列nb的通项公式；

（Ⅱ）令求数列nc的前n项和Tn.

【分析】（Ⅰ）根据及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列nc的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，