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向量函数 泰勒和傅里叶

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向量函数 泰勒和傅里叶

泛函的思想把函数当做无限维的向量，看起来似乎很抽象，其实很有道理。尤其当你是个写代码的，你甚至可以觉得把函数看做向量是理所当然的。

对一个一元函数int f(int x)，给定一个x，返回一个值y，如果我们想提高效率，可以把计算过的值保存在一个数组里，比如f(2)=22，就保存arr[2]=22，然后当碰到x=2时就可以快速的查询到返回值，而不需要重新计算。这就是动态规划里的memoization。

如果我们事先把所有可能的值都存起来，那其实就可以不用调用f(x)了，直接调用arr[x]就可以了。从这里就可以看出来，函数与数组非常相似，了解stl的人都知道数组与向量基本上是一回事。

这种相似不仅存在于程序里。其实，抽象的看，数学意义上的函数、向量，其共同点就是接受一个值，返回一个值。只不过函数的输入叫做自变量，输出叫应变量，而向量输入叫下标，输出叫分量。唯一差别就在于以前向量的分量都是离散的，而函数的自变量可以是连续的。那其实把函数看做向量，分量就是无限维不可列又有何不可？

向量有各种运算，加法就是把对应分量的值加起来，对比函数的加法(f+g)(x) =

f(x) + g(x)，一样的。

最奇妙的还是内积

而函数的内积就是此式推广到无限，积分代替求和

把函数展开成各种级数，实际上就是把向量分解到一组给定的基。

其中最重要的是泰勒级数和傅里叶级数。泰勒级数的好处在于他可以在一个局部把函数按精度降阶排序，大头放前面。展开项数越多，在这一点越精确。但是有所得必有所失，在描述函数整体的时候，泰勒级数就不那么好了。

说到整体性就要看傅里叶级数了，这个我了解不多，只知道这是一组标准正交基。每一个sin，cos后面都透露出无与伦比的力量。与泰勒级数不同，傅里叶函数项数越多，在整体上越逼近原函数，而这个整体上逼近的定义，是傅里叶级数于原函数只差平方积分。实际上就是方差。其实原函数是一个向量，傅里叶级数是一个向量，二者之差就是一个error向量，表示接近程度。而平方积分就是这个向量的模。傅里叶函数所取的项数趋近无穷，则这个‘方差’就可以趋近于0。也就是在整个定义域上无限接近原函数。

傅里叶展开的做法就特别有意思，先假设所有函数都可以写成

然后乘上connx积分，就可以把除cosnx那一项全部滤过，就像筛子一样，一堆sin，cos进去，就一项漏出来。这也正是利用了正交的性质，傅里叶级数的每一项的cosnx，或者sinnx都是标准正交基的一个向量，就是说cosnx与别的cosmx，sinmx都是正交的，内积为0。求内积自然就可以把别的分量去掉，而求内积就是积分。这在几何上就是求f(x)这个向量在cosnx方向的分量，投影。

另外隐约地感到傅里叶级数一个很好的性质就是对整体的描述，他不像泰勒级数是在一个局部无限逼近，而是在整个定义域上，二者就好像连续和一致连续的差别。

画素描的时候，很强调整体，就是任何时候一眼看去，东西都是全的，只是细化程度不同。不是从左上角画到右下角，而是时刻保持一个严整的结构。而视频处理中的傅里叶变换就有点这个意思，因为画面上相邻的点像素很可能差不多，所以描述视频的画面与其从左上到右下，不如一开始大块大块的，后面越来越细。

我们感兴趣的是取值为二维和三维的向量值函数，即n = 2和n = 3的情形。

例如，在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为

x = f (t), y = g(t)，t∈I ．

这样点(x, y) = ( f (t), g(t))形成平面曲线C ，它是质点的运动路径，它用参数方程来描述。如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P( f (t), g(t))的向量，那么

r (t) = OP = { f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j

定义式

r (t) ={ f (t), g(t), h(t)} = f (t)i + g(t)j+ h(t)k

参数方程

Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I

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傅里叶变换的原理及matlab实现

傅里叶变换的原理及matlab实现

傅里叶变换的原理及matlab实现

课程名称：

数字图像处理

学 院： 信息工程与自动化学院

专 业： 计算机科学与技术

年 级： 09级

学生姓名： 111

指导教师： 1111

日 期： 2012-6-10

教 务 处 制

一、傅立叶变化的原理； ............................................................................................................... 3

（1）原理 ................................................................................................................................. 3

（2）计算方法 ......................................................................................................................... 3

二、傅立叶变换的应用； ............................................................................................................... 3

傅里叶级数 Fourier Series

傅里叶级数 Fourier Series

傅里叶级数Fourier Series

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

010101122cossinsinsinsin2...1,2,...nnnnnnftaantbntacntactctn

1 来源

法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 2 公式

给定一个周期为T的函数xt，那么它可以表示为无穷级数：

2jktTkkxtae （1）

其中，j为虚数单位， ka可以按下式计算：

21jktTkTaxtedtT （2）

注意到2jktTkfte是周期为T的函数，故k取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率02T，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等。 3性质

收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内， xt须绝对可积；

在任一有限区间中，xt只能取有限个最大值或最小值；

高等数学二教材目录

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高等数学二教材目录

1. 导论

1.1 数列与极限

1.2 无穷级数

2. 函数的极限与连续

2.1 函数的极限

2.2 连续函数

2.3 间断点与间断函数

3. 导数与微分

3.1 函数的导数与导数的概念

3.2 导数的运算法则

3.3 高阶导数与隐函数求导

3.4 微分与泰勒公式

4. 函数的应用

4.1 函数的极值与最值

4.2 函数的凸性与拐点

4.3 微分中值定理与泰勒展开 4.4 拉格朗日乘数法与极值问题应用

5. 定积分

5.1 定积分与不定积分

5.2 定积分的性质与换元法

5.3 定积分的计算方法

5.4 广义积分与应用

6. 微分方程

6.1 常微分方程

6.2 一阶常微分方程

6.3 高阶常微分方程

6.4 变易法与欧拉方程

7. 空间解析几何与多元函数微分学

7.1 空间解析几何的基本概念

7.2 空间中直线与平面

7.3 多元函数与偏导数

7.4 全微分与多元函数的微分

8. 重积分与曲线曲面积分 8.1 二重积分的概念与性质

8.2 二重积分的计算方法

8.3 三重积分与曲线曲面积分的概念

8.4 曲线曲面积分的计算方法

9. 向量场与格林公式

9.1 向量场的概念与性质

9.2 向量场的散度与旋度

9.3 格林公式与高斯公式

9.4 斯托克斯公式与流形

10. 傅里叶级数与傅里叶变换

10.1 傅里叶级数的概念与性质

10.2 傅里叶级数的计算方法

10.3 连续傅里叶变换与离散傅里叶变换

10.4 傅里叶变换与偏微分方程

这是《高等数学二》教材的目录，按照每个章节所涵盖的内容进行了分类。通过学习这个教材，你将掌握数列与极限、函数的极限与连续、导数与微分、函数的应用、定积分、微分方程、空间解析几何和多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、向量场与格林公式、傅里叶级数与傅里叶变换等相关知识点。逐步学习这些内容将使你对高等数学的理解更加全面，能够应用于实际问题的解决中。希望这本教材能够帮助你更好地掌握高等数学的知识。

傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换的变换对

对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为 ? x [k ]

= N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π – – – – – N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e

是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即 ? x = Fx

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为： x[n ] = 1 –– N N - 1 Σ k = 0

e i 2 π ––––– N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为： x = F -1 ?

x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √ ––

N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散

连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。 数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。 x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N

- 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为 ? x discrete ( ω) =

N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 –– T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2