证明等差等比数列

全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

等差等比数列的证明

在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：

1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列

（1）定义法（递推公式）：1nnaad（等差），1nnaqa（等比）

（2）通项公式：naknm（等差），0nnakqq（等比）

（3）前n项和：2nSAnBn（等差），nnSkqk（等比）

（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项

2、如何证明一个数列是等差等比数列：

（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）

（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即nN，均有：

122nnnaaa （等差） 212nnnaaa （等比）

二、典型例题：

例1：已知数列na的首项1133,,521nnnaaanNa．

求证：数列11na为等比数列

思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

113121213nnnnnnaaaaaa

即112133nnaa，在考虑构造“1”：112111111333nnnaaa

即数列11na是公比为13的等比数列

思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用nb表示：11nnba，则只需证明nb是等比数列即可，那么需要关于nb的条件（首项，递推公式），所以用nb将na表示出来，并代换到na的递推公式中，进而可从nb的递推公式出发，进行证明

解：令11nnba，则11nnab

 递推公式变为：11311311113211nnnnnbbbbb

1113333nnnnbbbb

nb是公比为13的等比数列。即数列11na为等比数列

小炼有话说：

（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用

（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

简”即可，说两点：一是代换11nnba体现了两个数列,nnab的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n项对应第n项）；二是经过代换，得到nb的递推公式，而所证nb是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。

例2：数列{na}的前n项和为nS，2131(*)22nnSannnN（*）．设nnban，证明：数列nb是等比数列，并求出na的通项公式

思路：本题所给等式,nnSa混合在一起，可考虑将其转变为只含na或只含nS的等式，题目中nnban倾向于项的关系，故考虑消掉nS，再进行求解

解：213122nnSann ①

211131112,22nnSannnnN ②

 ① ②可得：112121nnnnaanaan

1112112nnnnanananan 即112nnbb

nb是公比为12的等比数列 111ba 令1n 代入（*）可得：

11131122Sa 112a 112b

111122nnnbb 12nnnabnn

小炼有话说：（1）遇到,nnSa混合在一起的等式，通常转化为纯na（项的递推公式）或者纯nS（前n项和的递推公式），变形的方法如下：

① 消去nS：向下再写一个关于1nS的式子（如例2），然后两式相减（注全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

意n取值范围变化）

② 消去na：只需1nnnaSS代换即可（2,nnN）

（2）,nnSa混合在一起的等式可求出1a，令1n即可（因为11Sa）

（3）这里体现出nnban的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过nnban也可将na的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来

例3：已知数列na满足：1116,690,nnnaaaanN且2n，求证：13na为等差数列

解：设13nnba，则13nnab代入11690nnnaaa可得：

11111336390nnnbbb

111133691890nnnnnbbbbb

111330nnnnbbbb113nnbb

nb为等差数列，即13na为等差数列 全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

例4：已知曲线:1Cxy，过C上一点,nnnAxy作一斜率为12nnkx的直线交曲线C于另一点111,nnnAxy（1nnxx且0nx，点列nA的横坐标构成数列nx，其中1117x.

（1）求nx与1nx的关系式；

（2）令1123nnbx，求证：数列nb是等比数列；

解：（1）曲线1:Cyx 1:2nnnlyyxxx

11111121nnnnnnnnnyxyyxxxyx 12nnnxxx

（2）11121233nnnnbxxb，代入到递推公式中可得：

11112222111333nnnbbb

11111112211111133422=411133333333nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb11111211444439339nnnnnnnnnbbbbbbbbb

1112433nnnnnbbbbb

12nnbb nb是公比为2的等比数列

小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出nb的形式，所全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

以考虑用代入法直接求解

例5：已知数列na满足1146410,21nnnanaaanNn，判断数列221nan是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出na

解：设221221nnnnabanbn

代入到14641021nnnanan可得：

14621241023221nnnnbnnbn

123214222321812410nnnnbnnnbnn

1232122321nnnnbnnb

12nnbb

而112233aab

① 2a时，10b，nb不是等比数列

② 2a时，nb是等比数列，即221nan为等比数列

11222213nnaan 1221223nnana

例6：（优质试题山东日照3月考）已知数列na中，111,1,33,nnnannaaann为奇数为偶数 ，求证：数列232na是等比数列

思路：所证数列为232na，可发现要寻找的是na偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2na与21na之间的关系，再进行构造证明全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

即可

证明：由11,33,nnnannaann为奇数为偶数可得：

2211213nnaan 2122322nnaan

2221322213nnaann

22222112221133nnnaanna

222223111323232nnnaaa

数列232na是公比为13的等比数列

例7：（优质试题湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列na满足11a，且对任意非负整数,mnmn均有：

22112mnmnmnaamnaa

（1）求02,aa

（2）求证：数列1mmaa是等差数列，并求出na的通项公式

解：（1）令mn可得：

202011mmaaaa

再令0n可得：

201212mmamaa

2423mmaam 21413aa

021,3aa

（2）思路：考虑证明数列1mmaa是等差数列，则要寻找1mmaa，1mmaa的关系，即所涉及项为11,,mmmaaa，结合已知等式令1n，利用