n=3时的Waring问题与N[1,2,3,…]在N3[1 3,2 3,…]中的表达式
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第２９卷第３期 、，０１．２９ Ｎｏ，３ 临沂师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉｎｙｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００７年６月 Ｊｕｎ．２００７
＝３时的Ｗａｒｉｎｇ问题
与Ｎ［１，２，３，…］在Ｎ３［１ ３，２３，…］中的表达式
叶彦谦
（南京大学数学系，江苏南京２１００９３）
摘要：研究了ｎ：３时Ｗａｒｉｎｇ问题的推广，并提出合理的猜想． 关键词： Ｗａｒｉｎｇ问题；ＪＶ；Ｎ３；线性表达式 中图分类号：Ｏ１５６．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—６０５１（２００７）０３—０００１—０６
如所熟知，ｎ＝３时的Ｗａｒｉｎｇ问题已基本上得到解决，见参考文献［１】，［２】，［３】．结果如下： ＪＶ中的数用 之数的和（可以有相同的）来表达时，至少需９项的有两个数，它们是２３和２３９，
至少需８项的有１５个数，它们是：１５，２２，５０，１１４，１６７，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４．
至少需７项的有１２１个数，其中最小的是７，最大的是８０２４．至少需６项的有３８２２个数，其中最大的
数是１２９０７４０．这里，后一数已见于文献［３】，而３８２２是长于编程序的林应举同志在电脑上得到的．对
ＪＶ中比１２９０７４０更大的数，在【２】中已证明：其中大多数都可以用都可用Ⅳ３中的四个数值和来表达，
而需要用Ⅳ３中的五个数值和来表达的只是很少一部分．
本文推广上述表达问题，把“Ⅳ３中之数的和”改为：“Ⅳ３中之数的代数和”，即：除了相加以外还
可以有相减．例如：
２：＝一１２，１０，９，１，（意即：２＝～１２ ＋１０ ＋９ ＋１ ），
９３：＝６，一５，１，１，（意即：９３＝６３—５３＋１ ＋１ ３），
６７０：：７，７，一２，１，１，（意即：６７０＝７３＋７３—２ ＋１ ＋１ ３），等等．
我们已算出ＪＶ中７００多个数在Ⅳ３中的表达式（代数和），即：
１．Ｎ中从１到２００在Ⅳ３中的表达式，其中前面一半见于表１．
２．Ｎ中从１０１００到１０２００在Ⅳ３中的表达式，其中前面一半见于表２．
３．Ｎ中从２００２００到２００３００在Ｍ中的表达式，其中前面一半见于表３．
４．ＪＶ中从１２９０６４０到１２９０７４０在Ⅳ３中的表达式，其中前面一半见于表４．
５，前面一段所说的ＪＶ中大于２００，且至少需Ⅳ３中７，８或９项之和来表达的１０８个数在Ｍ中的
代数和表达式，全部见于表５．
６．Ｎ中从１２３４５６７到１２３４６６７在Ⅳ３中的代数和表达式，全部见于表６．
由此可以看出：所有这些表达式的右方项数都不超过６（只有一个带 的数的表达式有６项，并
且我们相信它的５项表达式一定存在，只是尚未找到而已），但７００比３８２２还是要小得多，因此我们
只能提出如下的猜想：
猜想１：一切ＪＶ中的数都可表为不超过５项的Ⅳ３中的代数和．
表７是Ⅳ３中的最前面１２４个数．
猜想２：Ｎ中的前述３８２２个数都可用不超过５项的，表７中的Ⅳ３之数的代数和来表达．
收稿日期：２００６．１２—２５ 作者简介：叶彦谦（１９２３一），男，浙江开化人，南京大学教授，博士生导师．主要从事常微分方程定性理论 和初等数论研究．
维普资讯 http://www.cqvip.com ２ 临沂师范学院学报 第２９卷
估计猜想２应可用电脑来加以肯定或否定，如果答案是肯定的那末猜想１也就成立了・但若答
案是否定的，猜想１仍有可能成立． ． 表１
１０１００：＝３１，－２７，一２；
１０１０２：＝２２，一８，一３，一２，１；
１０１０４：＝２３，一１３，５，２，１；
１０１０６：＝２４，一１５，－７； １０１３４：＝３５，－３２，３；
１０１３６：＝２２，－８；
１０１３８：＝２２，－８，１，１；
１０１４０：：２０，１３，－４，２，一１； １０１６８：＝７８，一７７，一１９，－１０，２；
１０１７０：＝２０，１３，一３；
１０１７２：＝３１，一２７，４；
１０１７４：＝２２，一８，４，一３，１；
维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 叶彦谦：ｎ：３时的Ｗａｒｉｎｇ问题与ＮＩｌ，２，３，…］在Ⅳ３ ！ ！：：： 耋 ３
１０１０８：＝３１．一２７；
１０１１０：＝２２，一８，－３，１；
１０１１２：＝２０，１２，８，一４，４；
１０１１４：＝３５，一３２，２，－１；
１０１１６：＝３１，一２７，２；
１０１１８：＝２２，一８，－３，２，１；
１０１２０：＝２２，一８，，一２，－２；
１０１２２：＝３２，一２８，一９，３，２；
１０１２４：＝３１，一２７，２，２；
１０１２６：＝３０，一２６，９，－３；
１０１２８：＝２２，一８，－２；
１０１３０：＝２２，一８，－２，１，１； １０１４２
１０１４４
１０１４６
１０１４８
１０１５０
１０１５２
１０１５４ １０１５６
１０１５８
１０１６０
１０１６２
１０１６４ ：＝２１，９，６，－４；
：＝２２，一８，２；
：＝２２，一８，２，１，１；
：＝２２，一５，一５，一５，－５；
：＝９８，一９７，一２５，一１４；
：＝３０，－２６，９，－１；
：＝３０，一２６，９，１；
：＝２２，一８，３，－２，１；
：＝２９，一２４，一７，－４；
：＝７８，一７７，１９，１０；
：＝２０，１３，一３，－２；
：＝２２，－８，３，１； １０１７６：＝２０，１２，８，－４；
１０１７８：＝２０，１３，一３，２；
１０１８０：＝２２，一７，一５；
１０１８２：＝５７，一５６，９，一５，１；
１０１８４：＝２０，１２，８，一４，２；
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１０１８８：＝２２，一８，４，－２；
１０１９０：＝２０，１３，一２，１；
１０１９２：＝２２，一８，４，２；
１０１９４：＝２３，一１３，６，２；
１０１９６：＝２０，１３，一１；
１０１９８：＝２０，１３，１；
１０１３２：＝２０，１３，一４，一１； １０１６６：＝２９，－２４，－７，一４，２； １０２００：＝２２，一８，４；
１２９Ｏ６４１
１２９Ｏ６４３
１２９Ｏ６４５
１２９Ｏ６４７
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１２９Ｏ６５ｌ
１２９Ｏ６５３
１２９Ｏ６５５ ：＝１０１，６３，２２，７，２；
：＝８９，８３，２４，４，一１；
：＝８９，８３，２４，４，１； ：＝１０７，４０，１２，－５，１；
：＝８８，８５，一１７，－３，－２；
：＝８９，８３，２３，１２；
：＝１０７，４１，一１５，４；
：＝１０９，一ｌ７，８，３； １２９０６７５
１２９０６７７
１２９０６７９
１２９Ｏ６８１
１２９０６８３
ｌ２９０６８５
１２９０６８７
１２９０６８９ ：＝１０９，一１７，７，６；
：＝８８，８５，一１７，一２，１；
：＝１０６，４７，一１６，－４；
：＝９２，８０，一２，１；
：＝８８，８５，一１７，一１；
：＝８８，８５，一１７，ｌ；
：＝９２，８０，－１；
：＝９２，８０，１； １２９０７０９
１２９０７１１
１２９０７１３
１２９０７１５
１２９０７１７
１２９０７ｌ９
１２９０７２１
１２９０７２３ ：＝１０９，一１６，－６，－２；
：＝８８，８５，一１７，３；
：＝８９，８３，２４，５，２；
：＝９２，８０，３；
：＝１０９，一１６，－６；
：＝１０８，３ｌ，ｌ０，６；
：＝８８，８５，－１７，４，一３；
：＝９２，８０，３，２；
维普资讯 http://www.cqvip.com ４ 临沂师范学院学报 第２９卷
１２９０６５７
１２９０６５９
１２９０６６１
１２９Ｏ６６３
１２９０６６５
１２９０６６７
１２９Ｏ６６９
１２９０６７１
１２９Ｏ６７３ ：＝８８，８５，一１７，一３；
：＝８９，８３，２３，１２，２：
：＝９２，８０，一３；
：＝１０９，一１３，一１３，３，１；
：＝８８，８５，一１７，一３，２；
：＝１０９，一１７，７，６，一２；
：＝１１０，一３４，一１０，－３；
：＝１０６，４７，一１６，一４，一２；
：＝１０７，４０，１２，一５，３； １２９Ｏ６９１
１２９ ；９３
１２９０６９５
１２９０６９７
１２９Ｏ６９９
１２９０７０１
１２９０７０３
１２９０７０５
１２９０７０７ ：＝９２，８０，１，１，１； １２９０７２５：：１０９，一１６，一６，２；
：＝８８，８５，一１７，２，１； １２９０７２７：：１０８，３１，１０，６，２；
：＝１１０，一３４，一１０，一１； １２９０７２９：：１０２，６１，１３，７；
：＝１１０，一３４，一１０，１； １２９０７３１：＝９２，８０，３，２，２；
：＝９２，８０，３，一２，一２； １２９０７３３：：１０９，一１６，一６，２，２；
：＝１１１，一４１，一２０，一２，一１； １２９０７３５：：１０２，５９，２８，１３，一１；
：＝１１０，一３４，一１０，２，一１； １２９０７３７：＝１１１，一４０，－２０，３；
：＝８９，８３，２４，５； １２９０７３９：＝１０９，一１７，７，６，４；
：＝９２，８０，３，一２；
表５
２３９：＝一１９，１８，１１，一４，一１；
２１２：＝６，一１，一１，－１，－１；
２３１：＝１１，一９，一７，一３，一１；
２３８：＝１０，一８，一５，－５；
３０３：＝７，一４，２，２，２；
３６４：＝１０，一８，一５，１；
４２０：＝７，５，一４，２，２；
４２８：＝１０，一８，一５，４，１； ４５４：＝１０，一８，一３，一２，１；
２０４：＝５，４，２，２，１；
２１０：＝６，一２，１，１；
２１１：＝６，一２，１，１，１；
２２３：＝６，２，一１：
２２９：＝９，一５，一５，一５，－５；
２３０：＝６，２，２，一１，一１；
２３７：＝７，一５，３，一２；
２７６：＝７，一４，一１，一１，－１；
２９２：＝８，一７，５，一１，－１；
２９５：＝８，－７，５，１； ３００：＝７，一３，一２，一２；
３０２：＝８，一６，２，－１，一１；
３１１：＝８，一６，２，２，－１；
３２７：＝７，一２，一２；
３２９：＝７，一２，一２，１，１；
３３７：＝７，－２，１，１；
３４０：＝７，一１，一１，一１；
３５６：＝６，５，２，２，一１；
３６３：＝７，３，－２，１； ３９０：＝７，３，３，一２，ｌ；
３９３：＝９，一７，２，一１；
４０１：＝９，一７，２，２，一１； ４５３：＝１０，一８，一３，一２；
４６５：＝７，５，一１，一１，一１；
４９１：＝８，一３，２，一１，一１；
５１０：＝８，一１，一１；
５１８：＝８，２，－１，一１；
５５３：＝７，６，一２，１，１；
６１６：＝７，６，４，一２，１；
６３４：＝８，５，一１，一１，一１；
６３５：＝８，５，一１，一１；
６４４：＝８，５，２，一１；
６７０：＝７，７，一２，一２；
６７９：＝７，７，一２，１；
７３５：＝９，２，一１，一１；
７８７：＝９，４，一２，１，１；
８０６：＝９，５，一４，２，２；
８３３：＝１７，一１６，２，２；
８５０：＝９，４，４，一２，１；
８５２：＝９，５，一１，一１； ・
８９４：＝１４，一１１，一８，一２，１；
