考研数学二(高等数学)模拟试卷49

考研数学二（高等数学）模拟试卷49(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在x=a( )．（分数：2.00）A.f’(a)B.2f’(a)√C.0D.f’(2a)(B)．3.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内( )．（分数：2.00）A.有一个不可导点√B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导解析：解析：F(x)=0．x=π不可导，F -'(π)≠F +'(π) 同理F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内有一个不可导点，应选(A)．4.设f(x)在x=1处( )．（分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导√解析：解析：由f(1—0)=f(1)=1，f(1+0)=1得 f(x)在x=1处极限存在且连续． f -’(1)=f + '(1)=2，所以f’(1)=2，应选(D)．5.设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0处可导，则( )．（分数：2.00）A.f(0)=0 √B.f’(0)=0C.f(0)=f’(0)D.f(0)=一f’(0)解析：解析：F(0)=f(0)，F(x)在x=0处可导，所以F -’(0)=F +’(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．6.设f(x)可导，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：应选(B)．事实上，对任意的M＞0，因为=+∞，所以存在X 0＞0，当x≥X 0时，有f’(x)≥M 0．当x＞X 0时，f(x)一f(X 0)=f’(ξ)(x—X 0)≥M(x—X 0 )(X 0＜ξ＜x)，从而f(x)≥f(X 0 )+M(x-X 0 )，两边取极限得7.若曲线y=x 2 +ax+b与曲线2y=一1+xy 3在(1，一1)处相切，则( )．（分数：2.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=一1，b=一1 √D.a=1，b=1解析：解析：由y=x 2+ax+b得y’=2x+a；2y=一1+xy 3两边对x求导得2y’=y 3+3xy 2y’，解得因为两曲线在(1，一1)处相切，所以解得a=一1，b=一1，应选(C)．8.设f(x)二阶连续可导且满足f"(x)+f' 2 (x)=2x，且f’(0)=0，则( )．（分数：2.00）A.x=0为f(x)的极大值点B.x=0为f(x)的极小值点C.(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点√D.x=0既非f(x)的极值点，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点解析：解析：取x=0得f"(0)=0．由f"(x)+f' 2(x)=2x得f"'(x)+2f’(x)f"'(x)=2，从而f"'(0)=2．因为，所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，从而故(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．9.若函数f(-x)=f(x)(一∞＜x＜+∞)，在(一∞，0)内f’(x)＞0且f"(x)＜0，则在(0，+∞)内有( )．（分数：2.00）A.f’(x)＞0，f"(x)＜0B.f’(x)＞0，f"(x)＞0C.f’(x)＜0，f”(x)＜0 √D.f’(x)＜0，f"(x)＞0解析：解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，f"(x)为偶函数，从而在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f“(x)＜0，应选(C)．10.设f(x)二阶可导，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，又△y=f(x+△x)一f(x)，则当△x＞0时有( )．（分数：2.00）A.△y＞dy＞0 √B.△y＜dy＜0C.dy＞△y＞0D.dy＜△y＜0解析：解析：△y=f(x+△x)一f(x)=f’(c)△x(x＜c＜x+△x)，由f’(x)＞0，f"(x)＞0得f’(c)△x＞f’(x)△x＞0，即△y＞dy＞0，应选(A)．11.设f(x)在(一∞,+∞)上连续，F(x)=∫ 0x f(t)dt，则下列命题错误的是( )．（分数：2.00）A.若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数B.若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数C.若f(x)为以T为周期的偶函数，则F(x)为以T为周期的奇函数√D.若f(x)为以T为周期的奇函数，则F(x)为以T为周期的偶函数解析：解析：取f(x)=1一cosx，f(x)是以2π为周期的偶函数，而F(x)=∫ 0x (1一cost)dt=x—sinx，F(x)不是以2π为周期的奇函数，应选(C)．12.设f(x)( )．（分数：2.00）A.x=0为f(x)的极小点B.x=0为f(x)的极大点C.曲线y=f(x)在x=0处的切线平行于x轴√D.曲线y=f(x)在x=0处的切线不平行于x轴f(0)=0，f’(0)=0，则曲线y=f(x)在x=0的切线平行于x轴，应选(C)．13.设偶函数f(x)有连续的二阶导数，并且f"(0)≠0，则x=0( )．（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点√C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析：解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，从而f’(0)=0．因为f’(0)=0，而f”(0)≠0，所以x=0一定是f(x)的极值点，应选(B)．14.曲线上t=1对应的点处的曲率半径为( )（分数：2.00）A.B.C. √D.15.下列曲线有斜渐近线的是( )．（分数：2.00）√B.y=x 2 +sinxD.y=x 2 +sin 2 x二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.设a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a=3）填空项1:__________________ （正确答案：b=一2）解析：解析：f(1—0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=一2．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=一x一2及y=x+2）为曲线的另一条斜渐近线．18.函数y=x2 x的极小值点为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y’=2 x +x2 x ln2=2 x (1+xln2)=0得当时，y’＞0，故y=x2 x的极小值点．19.函数y=x+2cosx 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y’=1—2sinx=0得y"=一2cosx，因为为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值20.设函数y=y(x)由e 2x+y -cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：当x=0时，y=1， e 2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得21.椭圆2x 2 +y 2 =3在点(1，一1)处的切线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=2x一3）解析：解析：2x 2 +y 2 =3两边对x求导得4x+2yy’=0，即y+1=2(x一1)，即y=2x一3．三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：23.设f’(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：24.a．（分数：2.00）正确答案：()解析：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(0一)解析：f(x)的连续区间及间断点．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：f(x)的连续区间为(一∞，1)∪(1，+∞)．=+∞，所以x=1为f(x)的第二类间断点．)解析：27.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0，x=1及x=2)解析：28.设f(x)在(0，1)内有定义，且e x f(x)与e -f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由e x f(x)≤e c f(c)及e -f(x)≤e -f(x)得f(c)≤f(x)≤e c-x f(c)，令x→c -得f(c一0)=f(c)；当x＞c时，由e x f(x)≥e x f(c)及e -f(x)≥e -f(c)得f(c)≥f(x)≥e c-x f(c)，令x→c +得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．)解析：29.设F(x)=f(x)+g(x)在R上连续，求a，b．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：F(一1)=f(一1)+g(一1)=1—1=0，F(一1—0)=f(-1-0)+g(一1一0)=a一1，F(一1+0)=f(-1+0)+g(一1+0)=1—1=0，由F(x)在x=一1处连续，所以a=1； F(1)=f(1)+g(1)=一1+b，F(1—0)=f(1—0)+g(1—0)=一1+1=0， F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=一1+b，由F(x)在x=1处连续得b=1，故a=1，b=1．)解析：30.设f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得f (n) (0)存在的最高阶数n．（分数：2.00）正确答案：(正确答案：因为f -"(0)≠f + "+(0)，所以f"(0)不存在，故f (n) (0)存在的最高阶数为n=2．)解析：31.设函数y=y(x)可导并满足y"+(x一1)y’+x 2 y=e x，且y’(0)=1，若a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由得y(0)=0，将y(0)=0，y’(0)=1代入原方程得y"(0)=2，故a=1．) 解析：32.设f(x)是以4为周期的可导函数，y=f(x)在(5，f(5))处的法线方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为f(x)以4为周期，所以f(5)=f(1)=．f’(5)=f’(1)=一2，故y=f(x)在(5，f(5)))解析：33.已知微分方程y’+y=f(x)，其中y=y(x)满足y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当0≤x≤1时，y’+y=2的通解为 y=C 1 e -x +2；当x＞1时，y’+y=0的通解为y=C 2e -x，由y(0)=0得C 1=-2，再由C 1e -1+2=C 2e -1得C 2=2e一2，故所求的特解为) 解析：。