辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合2{|2,},{|10},xA y y x RB x x ==∈=-<则A B ⋃= A. (1,1)- B. (0,1)C. (1,)-+∞D. (0,)+∞【答案】C 【解析】A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C ．2.设11z i i=++，则z =（ ） A.12B.2 C.32D. 2【答案】B 【解析】 试题分析：因，故，所以应选B.考点：复数及模的计算．3.已知211=，22343++=，2345675++++=，…，依此规律可以得到的第n 个式子为（ ）A. ()()()21221n n n n n ++++++=-L B. ()()()21231n n n n n ++++++=-L C. ()()()()2122221n n n n n +++++++=-LD. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=-L 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知中的等式：222112343345675=++=++++=L ，，，，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 【详解】观察已知中等式：()21211=⨯-， ()2234221++=⨯-， ()234567231++++=⨯-，…，则第n 个等式左侧第一项为n ，且共有2n -1项，则最后一项为：()21132n n n +--=-， 据此可得第n 个式子为：()()()()2123221n n n n n ++++++-=-…故选：D ．【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A 错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A.5.用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0>++c b a ，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A. ,,a b c 中至少有两个为负数B. ,,a b c 中至多有一个为负数C. ,,a b c 中至多有两个为正数D. ,,a b c 中至多有两个为负数【答案】A 【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“,,a b c 中至少有二个为正数”的否定为：“,,a b c 中至少有二个为负数”． 故选A ．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．6.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A. 模型1的相关指数0.21R =B. 模型2的相关指数0.080R =C. 模型3的相关指数0.50R =D. 模型4的相关指数0.98R =【答案】D 【解析】 【分析】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好，由此得出正确的答案．【详解】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好， 选项D 中相关指数R 最接近1，其模拟效果最好． 故选：D ．【点睛】本题考查了用相关指数R 描述两个变量之间的回归模型的应用问题，是基础题目．7.设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z ∈R ，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确； 当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.8.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()13-=x x f ；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ,则()=6f （ ）A. 2-B. 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性、函数的周期性和函数在给定区间的解析式即可确定()6f 的值. 【详解】∵当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ， ∴当12x >时，()()1f x f x +=，即周期为1． ∴()()61f f =，∵当11x -≤≤时，()()f x f x -=-， ∴()()11f f =--， ∵当0x <时，()13-=x x f ，∴()12f -=-， ∴()()112f f =--=， ∴()62f =． 故选：D ．【点睛】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．9.函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4D. (]0,4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时01>恒成立；当0m ≠时需满足m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4 考点：函数定义域10.设函数()21ln 11f x x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UB. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间()0,∞+上的单调性，然后脱去f 符号求解不等式即可.【详解】∵函数()()21ln 11f x x x =+-+为偶函数， 且在0≥x 时，()()21ln 11f x x x=+-+， 导数为()()2212011xf x x x '=+>++， 即有函数()f x 在[0，+∞）单调递增，∴()()21f x f x -＞等价为()()21f x f x -＞，即21x x >-， 平方得01432<+-x x ， 解得：113x <<， 所求x 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．11.若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 10a -<<C. 1<aD. 10<<a【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），()222a x x af x x x x-+'=-+=， 若函数()f x 有两个不同的极值点，则()22g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故1440202a x ∆=->⎧⎪⎨-=>⎪⎩，解得：10<<a ， 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．12.设()'f x 是函数()f x 定义在()0,∞+上的导函数，满足()()212xf x f x x'+=，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()()22f e f e e e> B.()()2394f f <C.()()224f f e e > D.()()239f e f e < 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确.【详解】()f x '是函数()f x 定义在（0，+∞）上的导函数，满足()()212xf x f x x '+=， 可得()()212x f x xf x x'+=， 令1>a ，则()()()2120g x x f x xf x x'='+=>， ∴函数()g x 在（0，+∞）上单调递增．∴()()()()()()2242393g f g e e f e g f =<==<，∴()()2394f f <． 故选：B ．【点睛】本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若不等式02>++c bx ax 的解集是()1,2-，则不等式20bx ax c -->的解集为______． 【答案】(,2)(1,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】根据02>++c bx ax 的解集求出c b a 、、的关系，再化简不等式20bx ax c -->，求出它的解集即可．【详解】02>++c bx ax 的解集为（-1，2），则0a <，且对应方程的为-1和2， ∴121ba-=-+=， 122ca=-⨯=-，且0a <， 不等式20bx ax c -->可化为220ax ax a --+>， 即220x x +->， 解得2x <-或1>x ．故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．14.如果函数()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)2,3 【解析】 【分析】由已知可知()()32,2,2xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，结合分段函数的性质即可求解．【详解】∵()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立， ∴()()32,2,2xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，根据分段函数的单调性可知，()2301232a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-+≤⎩，解可得，23a ≤<， 故答案为：[2，3）．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．15.设函数()ln af x x x x =+，()343g x x x =-+，对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1a ≥ 【解析】 【分析】首先求得函数()g x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数a 的取值范围.【详解】∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()21230g x x '=-+≤恒成立，∴当12x =时，()343g x x x =-+取最大值1， ∵对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上ln 1ax x x+≥恒成立，即在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上2ln a x x x ≥-+恒成立，令2ln h x x x x =-+（），则()()2ln 11h x x x '=-++，()2ln 3h x x ''=--， ∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()0h x ''<恒成立，∴()h x '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上为减函数，∵当1x =时，()0h x '=，故当1x =时，()h x 取最大值1， 故1a ≥， 故答案为：1a ≥【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．16.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则b = ． 【答案】1ln2- 【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对)1ln(+=x y 求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线)1ln(+=x y 相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′（x 0）（x −x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知复数1592144z i i ⎛⎫=+-+ ⎪+⎝⎭（1）求复数z 的模；（2）若复数z 是方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值？【答案】（1）;（2）4,10p q ==【解析】【详解】试题分析：（1）将复数化简成，；（2）将（1）得到的代入方程中的，得，所以，解出．试题解析：解：（1）159212144z i i i ⎛⎫=+-+=-+ ⎪+⎝⎭∴5z =（2）∵复数z 是方程220x px q ++=的一个根 ∴()6280p q p i --++-= 由复数相等的定义，得：60280p q p --+=⎧⎨-=⎩解得：4,10p q ==考点：1．复数的代数运算；2．模的计算．18.（17632（2）已知b a ，为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a+中至少有一个不小于2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果． （2）利用反证法假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<，推出矛盾结论，即可证得题中的结论．【详解】（1只需证22<+，即证99++，， 即证14＜18，而14＜18< （2）假设结论不成立，则1122a b b a++<，<， 114a b b a∴+++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222220⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即220+<， 矛盾！故假设不成立，1a b∴+与1b a +中至少有一个不小于2．【点睛】本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．19.某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产195,210内，则为合格品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？85的把握认为“该企业生产的这（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有%种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(（其中n a b c d =+++为样本容量）【答案】（1）390019；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论； （3）计算可得2K 的近似值，结合参考数值可得结论．【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=， 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5x ++⨯+⨯-=，解得390019x =. （2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲， 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为315000150050001000105⨯=⨯=，； （3）2×2列联表：则22100(350600)41.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线x y 21=． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)54(2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f (5)＝－ln 5.无极大值． 【解析】试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x y 21=可得12f '=-（），可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值． 试题解析：（1）对()f x 求导得211()4a f x x x=--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线x y 21=知3(1)24f a =--=-，解得54a =．（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则2245()4x x f x x --=，令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去． 当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数； 当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数． 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值21.已知函数()21ln 2f x x mx m x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0m >时，若对于区间[]1,2上的任意两个实数12x x ，，且12x x <，都有()()221221f x f x x x -<-成立，求实数m 的最大值．【答案】（1）见解析 （2）12. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f （x 2）-x 22）＜f （x 1）-x 12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．【详解】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f′（x ）=x+m+m x =2x mx m x++，m≥0时，f′（x ）＞0， 故m≥0时，f （x ）在（0，+∞）递增； m ＜0时，方程x 2+mx+m=0的判别式为： △=m 2-4m ＞0，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2m -+，令f′（x ）＜0，解得：0＜x，故m ＜0时，f （x，+∞）递增，在（0）递减；（2）由（1）知，当m ＞0时，函数f （x ）在（0，+∞）递增， 又[1，2] n （0，+∞），故f （x ）在[1，2]递增； 对任意x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）， 故f （x 2）-f （x 1）＞0，由题意得：f （x 2）-f （x 1）＜2221x x -， 整理得：f （x 2）-22x ＜f （x 1）-21x ，令F （x ）=f （x ）-x 2=-12x 2+mx+mlnx ， 则F （x ）在[1，2]递减， 故F′（x ）=2x mx mx-++，当x∈[1，2]时，-x 2+mx+m≤0恒成立，即m≤21x x+，令h （x ）=21x x +，则h′（x ）()2221x X x +=+＞0， 故h （x ）在[1，2]递增，故h （x ）∈[12，43］， 故m≤12． ∴实数m 的最大值为12.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，通过构造函数，利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为5(3x t y ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为,4cos A B πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点的极坐标分别为()222A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，，. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求}0,1{-面积的最小值．【答案】（1）22(5)(2)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4． 【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据θρθρsin ,cos ==y x 转化为直角坐标方程即可；（2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB 面积的最小值． 试题解析：（1）由53x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ-=20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭Q 化为直角坐标为()()0,2,2,0A B -在直线l 上，并且AB =P点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d ==，min d ∴=，所经PAB ∆面积的最小值是142S =⋅=23.设函数()23 1.f x x x =++- （1）解不等式()4f x >；（2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(),2(0,)-∞-⋃+∞；（Ⅱ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出f （x ）的表达式，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：a+1＞（f （x ））min ，求出f （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】（1）∵()23 1.f x x x =++-()33223412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()331142232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 2011x x x ⇔<-≤或或综上，不等式()4f x >的解集为：()(),20,-∞-⋃+∞ （2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立()()min1a f x ⇔+>由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+ 32x ∴=-时，()()min 52f x =53122a a +>⇔>∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考察了绝对值不等式的解法，不等式有解问题，考察转化思想，是一道中档题．。

2018-2019学年度下学期期末考试高二年级数学科（理科）试卷 答案一.选择题：CADBC ADBDA DC二.填空题：13. 4 14. 24 15.34 16. 32(0,)27，8 三.解答题：17.解（1）由题意知，甲校抽取1100105552100⨯=人，则6x =………………2分 乙校抽取1000105502100⨯=人，则7y =………………4分 （2）由题意知，乙校优秀率为103710050++⨯﹪=40﹪. ………………6分 （3）填表如下表（1）。

………………8分根据题意22105(10302045)336 6.109 3.8415550307555K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，………………11分由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异。

………………12分 18. 解：（1）2()ln 0f x mx x =-≥，2ln xm x ∴≥恒成立. 设2ln (),(0)x h x x =>，则312ln ()xh x x-'=，x ∴∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，)x ∴∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，∴函数max 1()2h x h e ==，所以1[,)2m e∈+∞.………………4分（2）1ln ()()x g x f x mx x x =⋅=-，21ln ()xg x m x -'∴=-. 因为切点为00(,)A x y ，则切线方程为0000200ln 1ln ()()()x x y mx m x x x x ---=--，………………6分 整理得：002001ln 12ln ()x x y m x x x --=-+，又切线方程为y m =，所以020000001ln 021ln 1012ln x m x x x x x mx -⎧-=⎪⎪⇒--+=⎨-⎪=⎪⎩（），………………8分设()(21)ln 1,(0)F x x x x x =--+>，则1()2ln 1F x x x'=-+， 因为()F x '在(0,)+∞单调递增，且(1)0F '=，所以()F x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，………………11分所以00()01F x x =⇒=，所以0x 的值唯一，为01x =………………12分.19. 解：（1）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=，解得51x ≈，所以所得样本的中位数约为51百元. ………………3分 （2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P x P x μσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，………………5分0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上. ………………6分（3）由题意，Y 的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ⋅===， 21353815(2)56C C P Y C ⋅===， 33381(3)56C P Y C ===，Y………………10分5151519()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）. ………………12分20. 解：（1）经计算可得：2346,13,28a a a ===.………………3分（2）猜想12n n a n +=-.………………4分证明如下：①1n =时，111321a +==-符合猜想，所以1n =时，猜想成立. ………………5分 ②假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-.21132422k k S S k k -=+-+（2k ≥）， 2k+1132(1)(1)422k S S k k ∴=++-++，两式作差有：121,(2)k k a a k k +=+-≥，又21211a a =+-，所以121k k a a k +=+-对k N +∈恒成立. ………………9分则1n k =+时，12(1)11212(2)12(1)2(1)k k k k k a a k k k k k +++++=+-=-+-=-+=-+，所以1n k =+时，猜想成立. ………………11分综合①②可知，12n n a n +=-对n N +∈恒成立. ………………12分21. 解： （1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x-⋅---+---'=+==，…1分 又0x >，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；………………2分经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；………………3分a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减；………………4分a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减. ………………5分综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减. ………………6分（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x-=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x'=-， 当(0,)2mx ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减， 当(,)2mx ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. …………7分 又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02mF '<，而2222()2(1)ln 20mmmmF eem ee----'=--=⋅>，且201mee -<=，21(,)2mmx e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增，所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x mF x x m x m x x -'=--=⇒=<<<.………………9分220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅-220000221ln x x x x -=-+.………………10分所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--,设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0xh x x x x-'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.………………12分22.解：（Ⅰ）由题得直线:4l x y +=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+= 即4sin cos ρθθ=+………………2分由点Q 在OP 的延长线上，且3PQ OP =，得4OQ OP = 设(,)Q ρθ，则(,)4P ρθ因点P 是曲线1C 上的动点 2cos 4ρθ∴= 即8cos ρθ=所以曲线2C 的极坐标方程8cos ρθ= ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知4sin cos OM αα=+，8cos ON α=2cos (cos sin ))14ON OMπαααα∴=+=++ ………………7分∵02πα<<,故当8πα=时，ON OM取得最大值1+. ……………10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，()2121212221(22)1f x x x x x x x =-+-=-+-≥---=， ………………2分当且仅当112x ≤≤时等号成立 1b ∴≤.………………5分（Ⅱ）122x ≤≤时， ()2112f x x a x x =-+-≥-恒成立， 133a x x ∴-≥-对1[,2]2x ∈恒成立………………7分当112x ≤<时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥， 12x ≤≤时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥-，综上：3a ≥.………………10分 注：以上各题的其它解法请酌情给分.。

东北育才学校2018-2019学年高二上学期第二次月考 数学（理科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 A.不存在0x ∈R,02x >0 B.存在0x ∈R,02x ≥0C.对任意的R x ∈0,02x ≤0D.对任意的R x ∈0,02x >02、若a b a ->>>0，0<<d c ，则下列命题成立的个数为①bc ad >；②0<+cb d a ；③d bc a ->-；④)()(cd b c d a ->-。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1462=+a a ，则7S =（ ）A ．13B ．35C ．49D ．634、在空间直角坐标系中点)6,5,1(P 关于平面xoy 对称点Q 的坐标是（ ）A ．（1，﹣5，6）B ．（1，5，﹣6）C ．（﹣1，﹣5，6）D ．（﹣1，5，﹣6）5、已知左、右焦点分别为21F F 、的双曲线1366422=-y x 上一点P ，且171=PF ， 则=2PF （ ） A ．1或33 B ．1 C ．33 D ．1或116、若1,0,0++=>>b a ab b a ，则b a 2+的最小值为（ ）A ．323+B ．3-23C ．313+D ．7 7、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ ）A.25-B. 25C.1-D.18、有如下3个命题； ①双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线)0,0(1122222222>>=-=-b a a y b x b y a x 与的离心率分别是21e e 、，则22212221e e e e +是定值； ③过抛物线)0(22>=p py x 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是B A 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9、两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 （ ） A. 49 B. 837 C. 1479 D. 24149 10、已知正方体1111D C B A ABCD -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为︒50，这样的平面α可以有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11、边长为1的正方形ABCD ，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使ABD ∆为正三角形，则直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒3012、已知F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于Q P 、两点，若QF PF 2=，且︒=∠120PFQ ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．33B ．21C ．31D ．22 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、等比数列}{n a 中，前n 项和x S n n +=3，则x 等于 ．14、直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且抛物线交于B A 、两点，若4=，则直线l 的斜率为 ．15、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，已知︒=∠=∠=∠6011AD A AB A BAD ，5,3,41===AA AB AD= ．16、已知实数若y x 、满足20=+>>y x y x 且，则yx y x -++134的最小值是 ． 三、解答题:本大题共6小题，共70分. 17、(本小题满分10分)已知命题p ：方程11222=-+-m y m x 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，￢q 为真，求实数m 的取值范围．18、(本小题满分12分)（1）已知），（、、∞+∈0c b a ，且1=++c b a ， 求证：8)11)(11)(11(≥---cb a ； （2）解关于x 的不等式：)0(222<-≥-a ax x ax ．19、(本小题满分12分)设正项等比数列}{n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，0)12(21020103010=++-S S S ． （Ⅰ）求}{n a 的通项；（Ⅱ）求}{n n S 的前n 项和n T ．20、(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为)0,1(F ，O 为坐标原点，B A 、是抛物线C 上异于O 的两点．（ I ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OB OA 、的斜率之积为21-，求证：直线AB 过定点． 21、(本小题满分12分)如图1，在直角ABC ∆中，32,34,90==︒=∠AB AC ABC ，E D 、分别为BD AC 、中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，将A B D ∆沿BD 折起，使平面BCD ABD 平面平面⊥如图2所示．（1）求证：CD AE ⊥； （2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值．22．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E ，倾斜角为︒45的直线与椭圆相交于。

2019学年辽宁东北育才学校高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数，则（）A． ________ B．________________ C．________ D．2. 用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数都是奇数_____________________________________B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数 ____________________D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数3. 复数，则（）A． B．的实部为1 ________ C．的虚部为________ D．的共轭复数为4. 若，则“关于的方程无实根”是“ (其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件______________ B．必要非充分条件 C．充要条件______________ D．既非充分又非必要条件5. 若，则（）A．0_________________________________ B．1___________________________________ C． 2___________________________________ D． 36. 用数学归纳法证明“ ”（）时，从“ ”时，左边应增添的式子是（________ ）A．________________________ B． C．________________________ D．7. 当时，可得到不等式，，由此可推广为，其中等于 (_________ )A．____________________________ B． C．________________________ D．8. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限______________ B．第二象限____________________ C．第三象限____________________ D．第四象限9. 设为实数，函数的导函数，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A．______________ B．___________ C．_________D．10. 定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（________ ）A．___________________________________B．C．___________________________________D．11. 定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（________ ）A． ___________ B．________________________C．____________________ D．12. 函数为自然对数的底数）的值域是实数集，则实数的取值范围是（________ )A．____________________ B．______________ C．________________________ D．二、填空题13. 已知函数则的值为____________________ ．14. 集合中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为，如：；；，则____________________________ ．（写出计算结果）15. 若对任意的都成立，则的最小值______________ ．16. ____________________三、解答题17. （Ⅰ）若 , 时，求复数的模的取值范围；（Ⅱ）在复数范围内解关于方程 ( 为虚数单位)．四、填空题18. 曲线：，点，求过点的切线与围成的图形的面积．五、解答题19. 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？20. 已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率．(Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．21. 设数列{ }的前项和为，并且满足，（n∈N*）.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想{ }的通项公式，并加以证明；（III）设求证：22. 已知函数，其中为常数．(Ⅰ)当时，求的极值；(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；(Ⅲ)过坐标原点可以作几条直线与曲线相切？请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2018-2019学年度下学期期末考试高二年级数学科（理科）试卷 答案一.选择题：CADBC ADBDA DC二.填空题：13. 4 14. 24 15.34 16. 32(0,)27，8 三.解答题：17.解（1）由题意知， 甲校抽取1100105552100⨯=人，则6x =………………2分 乙校抽取1000105502100⨯=人，则7y =………………4分 （2）由题意知，乙校优秀率为103710050++⨯﹪=40﹪. ………………6分 （3）填表如下表（1）。

………………8分 根据题意22105(10302045)336 6.109 3.8415550307555K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，………………11分 由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异。

………………12分18. 解：（1）2()ln 0f x mx x =-≥，2ln x m x ∴≥恒成立. 设2ln (),(0)x h x x =>，则312ln ()x h x x -'=，x ∴∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，)x ∴∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，∴函数max 1()2h x h e ==，所以1[,)2m e∈+∞.………………4分 （2）1ln ()()x g x f x mx x x =⋅=-，21ln ()x g x m x -'∴=-. 因为切点为00(,)A x y ，则切线方程为0000200ln 1ln ()()()x x y mx m x x x x ---=--，………………6分 整理得：002001ln 12ln ()x x y m x x x --=-+，又切线方程为y m =， 所以020000001ln 021ln 1012ln x m x x x x x m x -⎧-=⎪⎪⇒--+=⎨-⎪=⎪⎩（），………………8分 设()(21)ln 1,(0)F x x x x x =--+>，则1()2ln 1F x x x'=-+， 因为()F x '在(0,)+∞单调递增，且(1)0F '=，所以()F x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，所以min ()(1)0F x F ==，………………11分 所以00()01F x x =⇒=，所以0x 的值唯一，为01x =………………12分.19. 解：（1）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=，解得51x ≈，所以所得样本的中位数约为51百元. ………………3分（2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P x P x μσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，………………5分 0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上. ………………6分（3）由题意，Y 的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28C P Y C ===， 12353815(1)28C C P Y C ⋅===， 21353815(2)56C C P Y C ⋅===， 33381(3)56C P Y C ===， Y5151519()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）. ………………12分 20. 解：（1）经计算可得：2346,13,28a a a ===.………………3分（2）猜想12n n a n +=-.………………4分证明如下： ①1n =时，111321a +==-符合猜想，所以1n =时，猜想成立. ………………5分②假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-.21132422k k S S k k -=+-+（2k ≥）， 2k+1132(1)(1)422k S S k k ∴=++-++，两式作差有：121,(2)k k a a k k +=+-≥， 又21211a a =+-，所以121k k a a k +=+-对k N +∈恒成立. ………………9分则1n k =+时，12(1)11212(2)12(1)2(1)k k k k k a a k k k k k +++++=+-=-+-=-+=-+，所以1n k =+时，猜想成立. ………………11分综合①②可知，12n n a n +=-对n N +∈恒成立. ………………12分21. 解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x -⋅---+---'=+==，…1分 又0x >，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；………………2分经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；………………3分a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减；………………4分a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减. ………………5分综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减. ………………6分（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x -=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x'=-， 当(0,)2m x ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减，当(,)2m x ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. …………7分 又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02m F '<， 而2222()2(1)ln 20m m m m F e em e e ----'=--=⋅>，且201m e e -<=， 21(,)2m m x e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， 所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=， 且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<.………………9分 220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅- 220000221ln x x x x -=-+.………………10分 所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--, 设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0x h x x x x-'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.………………12分22.解：（Ⅰ）由题得直线:4l x y +=，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+= 即4sin cos ρθθ=+………………2分由点Q 在OP 的延长线上，且3PQ OP =，得4OQ OP = 设(,)Q ρθ，则(,)4P ρθ 因点P 是曲线1C 上的动点 2cos 4ρθ∴= 即8cos ρθ=所以曲线2C 的极坐标方程8cos ρθ= ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知4sin cos OM αα=+，8cos ON α=2cos (cos sin ))14ONOM παααα∴=+=++ ………………7分∵02πα<<,故当8πα=时，ONOM 取得最大值1+. ……………10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，()2121212221(22)1f x x x x x x x =-+-=-+-≥---=， ………………2分 当且仅当112x ≤≤时等号成立 1b ∴≤.………………5分 （Ⅱ）122x ≤≤时， ()2112f x x a x x =-+-≥-恒成立， 133a x x ∴-≥-对1[,2]2x ∈恒成立………………7分当112x ≤<时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥， 12x ≤≤时，(1)33a x x -≥-，解得：3a ≥-，综上：3a ≥.………………10分注：以上各题的其它解法请酌情给分.。

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校 高二上学期第二次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题“存在x 0∈R ，2x 0 ≤0”的否定是A ．不存在x 0∈R ,2x 0＞0 B ．存在x 0∈R ,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R ,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R ,2x ＞02．若a >0>b >−a ，c <d <0，则下列命题成立的个数为①ad >bc ；②ad+bc <0；③a −c >b −d ；④a(d −c)>b(d −c)。

A ．1B ．2C ．3D ．43．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 6=14，则S 7= A ．13 B ．35 C ．49 D ．634．在空间直角坐标系中点P(1,5,6)关于平面xoy 对称点Q 的坐标是 A ．（1，﹣5，6） B ．（1，5，﹣6） C ．（﹣1，﹣5，6） D ．（﹣1，5，﹣6）5．已知左、右焦点分别为F 1、F 2的双曲线x 264−y 236=1上一点P ，且|PF 1|=17，则|PF 2|= A ．1或33 B ．1 C ．33 D ．1或116．若a >0,b >0，ab =a +b +1，则a +2b 的最小值为 A ．3√2+3 B ．3√2−3 C ．3+√13 D ．7 7．椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 A ．−25 B ．25 C ．−1 D ．1 8．有如下3个命题；①双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值； ②双曲线x 2a 2−y 2b 2=1与x 2b 2−y 2a 2=1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1、e 2，则e 12+e 22e 12e 22是定值；③过抛物线x 2=2py(p >0)的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A 、B ，则直线AB 过定点；其中正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 9．两个等差数列{a n }和{b n },其前n 项和分别为,且S n T n=7n+2n+3则a 2+a20b 7+b15等于 A ．94 B ．378 C ．7914 D ．1492410．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1作平面α，使得直线AC 和BC 1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．边长为1的正方形ABCD ，将ΔABC 沿对角线AC 折起，使ΔABD 为正三角形，则直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12．已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P 、Q 两点，若|PF |=2|QF |，且∠PFQ =120°，则椭圆E 的离心率为A ．√33 B ．12 C ．13 D ．√22二、解答题 13．命题p ：方程x 22−m+y 2m−1=1表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，若p ∨q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围．14．（1）已知a 、b 、c ∈（0，+∞），且a +b +c =1，求证：(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）解关于x 的不等式：ax 2−2≥2x −ax(a <0)．15．设正项等比数列{a n }的首项a 1=12，前n 项和为S n ，210S 30−(210+1)S 20+S 10=0．（Ⅰ）求{a n }的通项； （Ⅱ）求{n S n }的前n 项和T n ．16．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F(1,0)，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为-12，求证：直线AB 过定点．班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．如图1，在直角ΔABC 中，∠ABC =90∘,AC =4√3,AB =2√3，D,E 分别为AC,BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ΔABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE ⊥CD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值．18．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M 、N 两点，且线段MN 的中点为(−1,13)．过椭圆E 内一点P(1,12)的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =λPC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λPD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，其中λ为实数．当直线AP 平行于x 轴时，对应的λ=15．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．三、填空题19．等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +x ，则x 等于__．20．直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且抛物线交于A 、B 两点，若AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =4FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则直线l 的斜率为__． 21．在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知∠BAD =∠A 1AB =∠A 1AD =60°，AD =4,AB =3,AA 1=5，|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=__．22．已知实数若x 、y 满足x >y >0且x +y =2，则4x+3y +1x−y 的最小值是__．2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校 高二上学期第二次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案 1．C 【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是“对任意的x ∈R ，2x >0”，故选C.考点：全称命题与存在性命题的关系. 2．C 【解析】 【分析】由已知中a ＞0＞b ＞﹣a ，c ＜d ＜0，根据不等式的性质逐一分析四个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【详解】若a ＞0＞b ＞﹣a ，c ＜d ＜0，则： （1）ad ＜0，bc ＞0，不成立； （2）a d +bc ＜0，成立；（3）∵a ＞b ，-c ＞-d ∴a ﹣c ＞b ﹣d ，成立；（4）∵a ＞b ，d ﹣c ＞0∴a （d ﹣c ）＞b （d ﹣c ），成立； 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是不等关系与不等式，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． 3．C 【解析】 【分析】由等差数列性质得：S 7=72（a 1+a 7）=72（a 2+a 6），由此能求出结果． 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 6=14，∴S 7=72（a 1+a 7）=72（a 2+a 6）=72×14=49． 故选：C ． 【点睛】(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列{a n }中，如果m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ,注意这个性质的灵活运用.4．B 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点P （a ，b ，c ）关于平面xOy 对称点Q 的坐标是（a ，b ，﹣c ）． 【详解】在空间直角坐标系中，点P （1，5，6）关于平面xOy 对称点Q 的坐标是（1，5，﹣6）． 故选：B ． 【点睛】题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．C 【解析】 【分析】由双曲线的定义列出方程即可求出|PF 2|． 【详解】左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线x 264−y 236=1上一点P ，a=8，b=6，c=10，c ﹣a=2， 满足|PF 1|=17，则||PF 1|﹣|PF 2||=16， 若|PF 1|=17，则|PF 2|=33或1（舍去）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的定义的应用，是中档题． 6．D 【解析】【分析】利用等式，表示出a ，进而根据基本不等式及其性质解得最小值。

专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。

辽宁省东北育才学校高二下学期期中考试（数学理）第I 卷 (选择题 共60分)一．选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分） 1.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 2.随机变量X ～B ( 3, 0.6 ) ,Ｐ ( Ｘ=1 ) =（ ） A 0.192 B 0.288 C 0.648 D 0.2543、计算212(1)2ii +-+得（ ） A ．2i - B ．23i + C ．132i + D ．12i -4、122331010101909090C C C -+-+ (1010)1090C +除以88的余数是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) －87 (D) 875、若()32nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x 的项为（ ）(A) 462 (B)252 (C) 210 (D) 106、把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码折合成十进制为( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 8、已知直线21//l l ，在1l 上取3个点，在2l 上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1l 和2l 之间的交点（不包括21,l l 上的点）最多有 （ ）A ．18个 B ． C ．24个 D ．36个9．已知)(10N n n ∈≤,若n xx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有 （ ）A ．3个B ．2C ．1D ．010．把正方形的四个顶点、四边中点以及中心都用线段连接起来，则以这9个点中的3点为顶点的三角形的个数是（ ）A ．54B ．76C ．81D ．8411、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( )（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-212、一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是（ ）A ．37B ．19C ．13D ．7第II 卷 （非选择题 共90分）二.填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分） 13、半径为r 的圆的面积S (r )＝r 2，周长C (r )＝2r ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(r 2)'＝2r ①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于 圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请写出类 比①的等式：______；上式用语言可以叙述为______．14、用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数，并将他们排成一个递增数列，则32140是这个数列的第 项.15、要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有______种分配方案。