南开大学数学文化-11若干数学典故中的数学文化-历史上的三次数学危机

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。

因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。

它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。

这是数学史上的一个里程碑。

毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。

后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。

因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。

例如， ,22,8,6,2等都是无理数。

无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。

事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。

这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。

中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。

即算术阶段。

希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。

在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。

首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。

数学史上的三次危机第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

由于当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，这一发现对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，是一个无法写成为有理数的数。

亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，原来第一次数学危机是无理数的发现，它还说出了有理数的不完备性，这些都是可被证明的事实。

面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，将无理数引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

微积分这一数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现，但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家的不朽格言。

另一位伟大的数学家柯西（1789–1857），重新建立微积分学的基础—数学分析。

数学分析是透过一套严格的数学语言—ε语言来说明什么是变量、无穷小和极限等的概念和定义，解决了什么是既不是零又不是非零的问题，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

数学史上的三次数学危机分别是什么?答案一：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

数学三大危机术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

（八）第三章 若干数学典故中的数学文化第一节历史上的三次数学危机历史上，数学的发展有顺利也有曲折。

大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。

所以，危机往往是数学发展的先导。

数学发展史上有三次数学危机。

每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。

实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。

一、第一次数学危机第一次数学危机是由2不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。

这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表为整数比。

其实质是：2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。

当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。

他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了2是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。

这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。

欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。

但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。

二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。

第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。

我们来看一个例子。

微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻t的瞬时速度。

在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。

牛顿的思路是：让时间从0t 变到1t ，这段时间记作01t t t −=∆，而这段时间里物体走过的距离记作S ∆。

比值tS ∆∆便是0t 到1t 这段时间内物体的平均速度。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。

1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。

数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。

它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。

整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。

为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。

因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。

因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。

无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

无理数的发现，引起了第一次数学危机。

首先，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。

其次，无理数看来与常识大概相矛盾。

在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，由于与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。

数学发展史上的三次危机无理数的发现---第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。

当时的毕达哥拉斯学派重视自然及 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不无穷小是零吗？---第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。

其中特别是：没有 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。

从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。

两年后，康托发现了很相似的悖论。

1902年，罗素 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。

无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。

尽管悖派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。

欧多克斯和狄德金于1872年给出的无数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

他指出："牛顿在求xn的导数时，靠。

其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪来看，还没有解决到令人满意的程度。

史上的三次数学危机第一次数学危机历史背景毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。

不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认识的只是「有理数」。

有趣的有理数当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。

对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错的，因为……勾股定理、毕氏铁拳伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。

亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。

在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一次数学危机」。

新的一页原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。

面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。

第二次数学危机「飞矢不动」的吊诡古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。

」至于这个主张的理念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻象，提出了「飞矢不动」的「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？数学——打破吊诡的武器当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数学家们要从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。

数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。

其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。

这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。

一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。

自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。

然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。

这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。

无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。

为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。

无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。

二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。

在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。

然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。

例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。

为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。

19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。

极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。

三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。

19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。

然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。

001在我国数学文化最早是哪一年提出的？•A、1990.0•B、1992.0•C、2005.0•D、2008.0正确答案： A 我的答案：A2数学文化这个词最早出现于：•A、1986.0•B、1990.0•C、1974.0•D、1996.0正确答案： B 我的答案：A3数学文化这门课2002年被评为国家精品课程。

正确答案：×我的答案：√4数学是和其他的自然学科在同一个层次上的科学。

正确答案：×我的答案：√5数学的研究可以用到不同的自然科学。

正确答案：√我的答案：√6对数学文化中文化一词的界定，更倾向于广义的解释。

（）正确答案：×我的答案：×7何时首推建立32个“国家大学生素质文化教育基地”•A、1997年•B、1998年•C、1999年•D、2000年正确答案： C 我的答案：D1数学素养不包括（）•A、从数学的角度看问题•B、控制问题中的因素•C、有条理地理性思考•D、解决问题时的逻辑能力正确答案： B 我的答案：B2数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的正确答案：√我的答案：√3企业招考员工的题和数学推理往往有关正确答案：√我的答案：√4数学素养的高低决定一个人工作的成效正确答案：√我的答案：×5数学不仅是一些知识还是一种素质（素养）。

正确答案：√我的答案：√6专业“数学素养”有几点？（）•A、五点•B、两点•C、四点•D、三点正确答案： B 我的答案：D1数学文化主要是关于（）的课程。

•A、数学知识•B、数学理论•C、数学应用•D、数学思想正确答案： D 我的答案：D2一般数学课程试以（）为线索组织教材。

•A、数学问题•B、知识系统•C、数学方法•D、数学思路正确答案： B 我的答案：A3狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展正确答案：√我的答案：√4数学文化课与高等数学课程没有什么区别正确答案：×我的答案：×5学习数学文化课程只需要学习高中的课程即可正确答案：×我的答案：×6数学归纳法的证明有几个步骤•A、一•B、二•C、三•D、四正确答案： B 我的答案：B7数学文化课的用到的数学基础知识只有初等数学。

数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学三次危机，是指19世纪末20世纪初数学领域内的三次危机，分别是克里斯托弗·沃尔夫（Christopher Wolfe）在美国《数学评论》上提到的第一次危机、大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提到的第二次危机以及数学家布朗在1960年代关于数学逻辑基础的研究中提出的第三次危机。

第一次危机是指19世纪末20世纪初，数学家们对欧几里得几何学的基础进行重新审视的过程。

欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的一种几何学体系，至今被广泛运用。

19世纪末出现了一些疑问，比如平行公设、非欧几何学等问题，这些问题对欧几里得几何学的基础提出了挑战。

数学家们面临的困境是如何从最基础的公设出发重新建立几何学的基础。

数学家们开始重新思考几何学的基础，试图通过推导出新的公设来建立一个更加完善的几何学体系。

第二次危机是在1900年，当时大卫·希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个重要的数学问题，其中有一些问题一直未能得到解决。

这些问题涉及到了数学领域的各个方面，如代数、几何、数论等。

这些问题的存在引发了数学家们对数学的基础是否牢固的疑问，希尔伯特提出的这些问题为后来20世纪的数学家们提供了方向。

第三次危机是在1960年代，数学家布朗在研究数学逻辑基础时提出了关于数学的第三次危机。

他指出，数学家们面临的一个重要问题是如何确立数学的基础，并且确定数学体系的完备性。

这些问题涉及到了尤里·奈斯特林和阿尔弗雷德·特斯克勒等数学家们提出的不完全定理。

这些定理表明，数学体系内部存在无法证明的命题，这对数学的基础产生了挑战。

数学家们为了解决这些问题，开始研究递归理论、模型论等新的理论方法，以确保数学的基础是牢固的。

数学三次危机是数学领域内的三次挑战，数学家们通过不断的努力和研究，逐渐解决了这些问题，使得数学体系更加完善和牢固。