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17.4 一元二次方程根与系数的关系一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0.探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=,x2=能得出以下结果：x1＋x2= 即：两根之和等于x1•x2= 即：两根之积等于=+===×===由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=， x1x2=如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋ x＋＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么（为什么？）∴ x1=又x1+2= （为什么？）∴ k=想一想，还有没有别的做法？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=（1）∵（x1+x2）2= x12+2 +x22∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =（2）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是解：所求的方程是x2-（）x＋（）＝0 (为什么？)即 x2+ x- ＝0 或 6x2+ x- ＝0例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根解这个方程，得x1= ， x2=因此，这两个数是，四、分层练习(A组)下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0（4）3x2+5x-2=0 （5）2y2-5=6y （6）4p(p-1)-3=0已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）（x1+1）（x2+1）（2）4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-75、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1一. 教材分析《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版数学八年级下册的一个重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的抽象概括能力，也为后续学习一元二次方程的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了方程的基本概念和解法，对根的判别式也有了一定的了解。
但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，逐步发现并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.培养学生通过观察、实验、猜想、验证等方法探索问题的能力。
3.提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，发现并理解根与系数之间的关系。
2.互动法：教师与学生进行提问、讨论，促进学生对知识的理解和运用。
3.案例分析法：教师给出实际问题，引导学生运用一元二次方程解决。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法和根的判别式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、实验、猜想、验证，让学生通过自主学习发现并理解这一关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固对根与系数之间关系的理解。
4.巩固（10分钟）教师继续给出练习题，让学生进一步巩固对根与系数之间关系的理解。
第17章一元二次方程17.4一元二次方程根与系数的关系【教学内容】一元二次方程根与系数的关系式，运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；【教学目标】知识与技能掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；过程与方法通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；情感、态度与价值观通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
【教学重难点】重点：根与系数的关系及其推导。
难点：正确理解根与系数的关系。
【导学过程】【知识回顾】（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
（2）解方程①，②。
观察、思考两根和、两根积与系数的关系。
在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？【情景导入】推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。
设是方程的两个根。
∴∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。
【新知探究】探究一、由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。
（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。
如果把方程变形为。
我们就可把它写成。
的形式，其中。
从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。
【知识梳理】一元二次方程两根和与两根积与系数的关系【随堂练习】（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
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《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》
教学目标：
1．掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及
两根之积，并会解一些简单的问题．
2．经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在
运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．
3．情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究
精神．
教学重点：
根与系数关系及运用．
教学难点：
定理的发现及运用．
教学过程：
一、创设情境，激发探究欲望
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：
抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）
而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：
直角三角形的三边a，b，c满足关系：2a+2b=2c--------------------勾股定理（毕达哥
拉斯）
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道．
设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索
，激发学生的学习兴趣，探究欲望．
二、探究规律
先填空，再找规律：
一元二次方程
1
x
2x 21xx 21xx
2
x
+6x-16=0
2
x
-2x-5=0
22x-3x+1=0
52x+4x-1=0
观察表中与的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什
么规律？
设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发
2
现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．
三、得出定理并证明（韦达定理）
若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）的两根为1x、2x，则：
1x+2x=-ba 1
x
．2x=ca
特殊的：若一元二次方程2x+px+q=0的两根为1x、2x，则：
1x+2x=-p 1
x
．2x=q
证明此处略（师生合作完成）
设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到
一般的科学探究过程．
四、运用定理解决问题
例1：求下列方程的两根之和与两根之积．
（1）2x-6x-15=0 （2）5x-1= 42x
（3）2x=4 （4）22x=3x
（5）2x-（k+1）x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4
）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解．
例2：若一元二次方程2x-4 x+2=0的两根是1x、2x，求下列各式的值．
（1）11x+12x （2）21x+22x
设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简
便运算的作用．
例3：若一元二次方程2x+ax+2=0的两根满足：21x+22x=12，求a的值．
设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受
到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变
式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等．
五、课堂小结：
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨．
