高二数学 选修2-3第二章《概率》课堂练习

第二章 §3一、选择题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )A ．1B ．0.629C ．0D ．0.74或0.85[答案] B[解析] 事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生，依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74＝0.629.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] 依题意得P (A )＝12，P (B )＝16，事件A ，B 中至少有一件发生的概率等于1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－12)×(1－16)＝1－512＝712.3．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )A.12 B.13 C.14 D.23[答案] A[解析] 解法1：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到一等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.二、填空题4．3人独立地破译一个密码，每人破译出密码的概率分别为15，14，13，则此密码被破译出的概率为________．[答案] 35[解析] 可从对立事件考虑，此密码不被译出的概率是⎝⎛⎭⎫1－15×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－13＝45×34×23＝25，所以此密码被破译出的概率是1－25＝35. 5．若P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，P (AB )＝0.2，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. [答案] 23 25[解析] P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.20.3＝23，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.20.5＝25. 三、解答题6．(2014·陕西理，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．[解析] (1)设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P (X ＝4000)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P (C －1C 2C 3)＋P (C 1C －2C 3)＋P (C 1C 2C －3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B.910 C.215 D.115[答案] C[解析] 本题主要考查由条件概率分式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C. 2．假日期间，甲去黄山的概率是14，乙去黄山的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是( )A.320 B.15 C.25 D.920 [答案] C[解析] 设甲、乙去黄山分别为事件A 、B ，则P (A )＝14，P (B )＝15，∴P ＝1－P (A B )＝1－34×45＝25.3．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] 设“碰到甲班同学”为事件A ，“碰到甲班女同学”为事件B ，则P (A )＝37，P (AB )＝37×12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12，故选A.4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12[答案] B[解析] ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 5．已知每门大炮射击一次击中目标的概率是0.3，现用n 门这样的大炮同时对某一目标射击一次，若要使目标被击中的概率超过95%，则n 的最小整数值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11[答案] B[解析] 把每门大炮射击一次看成做了一次试验，击中目标看成试验成功，则试验成功的概率为0.3，用X 表示这n 门大炮击中目标的次数．事件“目标被击中”即{X >0}，则“目标被击中”的概率为P (X >0)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－0.3)n .为使目标被击中的概率超过95%，则有1－(1－0.3)n >95%，解得n >8.4.根据实际意义，至少要用9门这样的大炮才能使目标被击中的概率超过95%，即n 的最小整数值为9.二、填空题6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．[答案] 0.128[解析] 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由概率乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． [答案] ②④[解析] P (B )＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P (B |A 1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B 与A 1的发生有关系，故错误； ④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是互斥事件． 三、解答题8．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？[分析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙为雨天”，则根据题意有P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (A ∩B )＝0.12.问题(1)为求P (A |B )，(2)为求P (B |A )．[解析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝0.120.18＝0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝0.120.20＝0.60. [点评] 要弄清所求事件的概率是在什么条件下的发生的概率，以便正确地运用条件概率公式．9．(2014·北京理，16)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互相独立)：(1)的概率； (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x －为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x －的大小．(只需写出结论)[解析] (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝A B －∪A －B ，A ，B 独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25，P (C )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝35×35＋25×25 ＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.10．(2012·全国大纲文，20)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙在一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．[解析] 记A 1表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B 1表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A ) ＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A ) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36， P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.。

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课时跟踪检测(十三）离散型随机变量的分布列层级一学业水平达标1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝错误!D．某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X解析：选A A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布,故选A．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则P(ξ＝0)＝( )A．0 B．错误!C．错误! D．错误!解析：选C 由题意,“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，则ξ的分布列为∵p＋2p＝1,∴p＝错误!，即P(ξ错误!3．设X是一个离散型随机变量,其分布列为：则q等于( ）A．1 B．错误!±错误!C．错误!－错误! D．错误!＋错误!解析:选C 由分布列的性质知错误!∴q＝错误!－错误!。

4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2,3,4,5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9，10. 现从中任取4个球，有如下几种变量:①X表示取出的球的最大号码；②Y表示取出的球的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( )A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④解析：选B 依据超几何分布的数学模型及计算公式知③④属超几何分布．5．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是( ）A．错误! B．错误!C．错误! D．错误!解析：选B 取出的红球服从超几何分布,故P＝错误!＝错误!.6．随机变量η的分布列如下：则x＝________，P(解析:由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0。

选修第二章一、选择题．某射手射击次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标次的概率为( )．×．．××．－[答案][解析]由独立重复试验公式可知选．．在次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若事件至少发生次的概率为，则事件在次试验中发生的概率为( )．．．．[答案][解析]事件在一次试验中发生的概率为，由题意得－(－)＝，所以－＝，＝，故答案选．．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是( ) ．．．．[答案][解析]＝＝.．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则(ξ＝)＝( )．×．×．×．×[答案]．在次独立重复试验中，随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是( )．[) ．(]．[) ．(][答案][解析]由条件知(ξ＝)≤(ξ＝)，∴(－)≤(－)，∴(－)≤，∴≥，又≤<，∴≤<.．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“局胜”，即以先赢局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是( )．．．．[答案][解析]甲获胜有两种情况，一是甲以获胜，此时＝＝；二是甲以获胜，此时＝·××＝，故甲获胜的概率＝＋＝.二、填空题．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示次抽取中出现次品的件数(< )；④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示次抽取中出现次品的件数．[答案]①③[解析]对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是的倍数”，()＝.而在次独立重复试验中事件恰好发生了次(＝、、、……、)的概率(ξ＝)＝××－，符合二项分布的定义，即有ξ～(，)．对于②，ξ的取值是、、、……、(ξ＝)＝×－(＝、、、……)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～.故应填①③.．有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(<<)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为[答案]－(－)[解析]所有同学都不通过的概率为(－)，故至少有一位同学通过的概率为－(－).．如果～(，)，当＝且(＝)取得最大值时，＝[答案][解析]当＝时，(＝)＝·－＝·，显然当＝时，(＝)取得最大值．三、解答题．(·大连高二检测)某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取件产。

课后巩固
．若随机变量服从二项分布(，)，则()的值为( )
答案
解析()＝×＝.
．已知η＝ξ＋，且(ξ)＝，则(η)＝( )
答案
解析(η)＝(ξ＋)＝(ξ)＋＝×＋＝.
．两封信随机投入、、三个空邮箱，则邮箱的信件数ξ的数学期望是( )
答案
解析由题意知ξ～(，)，∴(ξ)＝×＝.
．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下.
答案
解析随机变量分布列中各概率之和恒为.
故(ξ＝)＝，进而(ξ＝)＝.
∴(ξ)＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝.∴填.
．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数ξ的期望．解析试验次数ξ的可能取值为ξ＝，
且(ξ＝)＝，(ξ＝)＝×＝，
(ξ＝)＝××(＋)＝.
所以ξ的分布列为：
∴(ξ)＝.。

课后巩固．若ξ～(，)，则(ξ≥)＝( )))答案解析由ξ～(，)可知，(ξ≥)＝－(ξ＝)－(ξ＝)＝－()－()＝).．有粒种子，每粒种子发芽的概率均为，在这粒种子中恰有粒发芽的概率是( ) ．× ．×．×× ．××答案解析由于粒种子，其发芽是相互独立的，每粒种子相当于一次试验，共做了次试验，故所求概率为＝()×.．将一枚硬币连掷次，如果出现次正面的概率等于出现＋次正面的概率，那么的值等于( )．．．．答案解析事件＝“正面向上”发生的次数ξ～(，)，由题设()＝·()，∴＋＋＝，∴＝.．一名同学通过某种外语听力测试的概率为，他连续测试次，那么其中恰有次获得通过的概率是．答案解析＝()(－)＝.．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.()设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列；()设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；()求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路正确求得变量取各值的概率是解题的关键，找出()、()问中概率的区别与联系．解析()将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果相互独立，故ξ～(，)．所以ξ的分布列为(ξ＝)＝·()·()－(＝，…，)．()η＝(＝，…，)表示前个路口没有遇上红灯，但在第＋个路口遇上红灯，其概率为(η＝)＝()·，η＝表示一路没有遇上红灯，故其概率为(η＝)＝().所以η的分布列为()所求概率即(ξ≥)＝－(ξ＝)＝－()＝.。

§3条件概率与独立事件A组1、设A与B是相互独立事件，则下列命题正确的是( )A、A与B是对立事件B、A与B是互斥事件C、不相互独立D、A与是相互独立事件详细解析:若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件、正确答案:D2、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A、B、C、D、详细解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为、因此，他们不去北京旅游的概率分别为，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P=1-、正确答案:B3、如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统、当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作、已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0、9，0、8，0、8，则系统正常工作的概率为( )A、0、960B、0、864C、0、720D、0、576详细解析:方法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P( K )=0、9，P( A1 )=0、8，P( A2 )=0、8，∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P( A2 )+P( A1)+P( A1A2 )=( 1-0、8 )×0、8+0、8×( 1-0、8 )+0、8×0、8=0、96、∴系统正常工作的概率为P( K )[P( A2 )+P( A1)+P( A1A2 )]=0、9×0、96=0、864、方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1-P( )=1-( 1-0、8 )( 1-0、8 )=0、96，故系统正常工作的概率为P( K )[1-P( )]=0、9×0、96=0、864、正确答案:B4、已知A，B，C是三个相互独立事件，若事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，则A，B，C均未发生的概率为、详细解析:A，B，C均未发生的概率为P( )=、正确答案:5、甲、乙二人进行射击游戏，目标靶上有三个区域，分别涂有红、黄、蓝三色，已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是，乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是，二人射击情况互不影响，若甲、乙各射击一次，试预测二人命中同色区域的概率为、详细解析:同命中红色区域的概率为，同命中黄色区域的概率为，同命中蓝色区域的概率为，∴二人命中同色区域的概率为、正确答案:6、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响、( 1 )求该选手顺利通过三轮考核的概率;( 2 )该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?解( 1 )设“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件记为A i( i=1，2，3 )，且它们相互独立、则P( A1 )=，P( A2 )=，P( A3 )=，设“该选手顺利通过三轮考核”为A事件，则P( A )=P( A1A2A3 )=P( A1 )·P( A2 )·P( A3 )=、( 2 )因为回答2个问题被淘汰即第一轮答对，第二轮答错，概率是P=、7、某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生之间是否选修哪门课互不影响、已知学生小张只选甲的概率为0、08，只选甲和乙的概率为0、12，至少选一门的概率为0、88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积、( 1 )求学生小张选修甲的概率;( 2 )记“函数f( x )=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率;( 3 )求ξ的分布列、解( 1 )由题意知，学生小张三门选修课一门也不选的概率为1-0、88=0、12、设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为x，y，z、则解得所以学生小张选修甲的概率为0、4、( 2 )若函数f( x )=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0，当ξ=0时，表示小张选修了三门功课或三门功课都不选、所以P( A )=P( ξ=0 )=xyz+( 1-x )( 1-y )( 1-z )=0、4×0、6×0、5+( 1-0、4 )×( 1-0、6 )×( 1-0、5 )=0、24，故事件A的概率为0、24、( 3 )依题意知ξ=0，2，所以ξ的分布列为ξ02P0、240、768、导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛、假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立、( 1 )求甲在4局以内( 含4局)赢得比赛的概率;( 2 )记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布、解用A表示“甲在4局以内( 含4局)赢得比赛”，A k表示“第k局甲获胜”，B k表示“第k局乙获胜”，则P( A k )=，P( B k )=，k=1，2，3，4，5、( 1 )P( A )=P( A1A2 )+P( B1A2A3 )+P( A1B2A3A4 )=P( A1 )P( A2 )+P( B1 )P( A2 )P( A3 )+P( A1 )P( B2 )·P( A3 )P( A4 )=、( 2 )X的可能取值为2，3，4，5、P( X=2 )=P( A1A2 )+P( B1B2 )=P( A1 )P( A2 )+P( B1 )P( B2 )=，P( X=3 )=P( B1A2A3 )+P( A1B2B3 )=P( B1 )P( A2 )P( A3 )+P( A1 )P( B2 )P( B3 )=，P( X=4 )=P( A1B2A3A4 )+P( B1A2B3B4 )=P( A1 )P( B2 )P( A3 )P( A4 )+P( B1 )P( A2 )P( B3 )·P( B4 )=，P( X=5 )=1-P( X=2 )-P( X=3 )-P( X=4 )=、所以X的分布列为X2345PB组1、如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A、B、C、D、详细解析:设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，P( A )=，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，P( B )=、则P( AB )=P( A )P( B )=、正确答案:A2、一个盒子中有20个大小、形状、质地相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A、B、C、D、详细解析:记A:取的球不是红球、B:取的球是绿球、则P( A )=，P( AB )=，∴P( B|A )=、正确答案:C3、设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是( )A、B、C、D、详细解析:设事件A发生的概率为x，事件B发生的概率为y，则由题意得( 1-x )( 1-y )=，x( 1-y )=( 1-x )y，联立解得x=，故事件A发生的概率为、正确答案:D4、把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次，事件A={第一次出现正面}，事件B={第二次出现正面}，则P( B|A )=( )A、B、C、D、详细解析:P( A )=，P( AB )=，所以P( B|A )=、故选A、正确答案:A5、箱子里有除颜色外都相同的5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球;若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A、B、C、D、详细解析:因为每次取出黑球时都放回，所以在取到白球以前，每次取出黑球的概率都是，在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球，第4次才取出白球，故所求概率为、正确答案:B6、某种元件的使用寿命超过1年的概率为0、6，使用寿命超过2年的概率为0、3，则使用寿命超过1年的该元件还能继续使用1年的概率为、详细解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P( A )=0、6，P( B )=0、3，易知P( AB )=P( B )=0、3，于是P( B|A )==0、5、正确答案:0、57、根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0、5，购买乙种保险的概率为0、6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立、( 1 )求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;( 2 )求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;( 3 )求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率、解记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与与B，都是相互独立事件，且P( A )=0、5，P( B )=0、6、( 1 )记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C=AB、∴P( C )=P( AB )=P( A )·P( B )=0、5×0、6=0、3、( 2 )记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=B、∴P( D )=P( B )=P( )·P( B )=( 1-0、5 )×0、6=0、3、( 3 )方法一:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括B，A，AB，且它们彼此为互斥事件、∴P( E )=P( B+A+AB )=P( B )+P( A)+P( AB )=0、5×0、6+0、5×0、4+0、5×0、6=0、8、方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件、∴P( E )=1-P( )=1-( 1-0、5 )×( 1-0、6 )=0、8、8、导学号43944035设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0、6，0、5，0、5，0、4，各人是否需使用设备相互独立、( 1 )求同一工作日至少3人需使用设备的概率;( 2 )X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的分布列、解记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2、B表示事件:甲需使用设备、C表示事件:丁需使用设备、D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备、( 1 )D=A1·B·C+A2··C+A2B、P( B )=0、6，P( C )=0、4，P( A i )=×0、52，i=0，1，2，所以P( D )=P( A1·B·C+A2·B+A2··C )=P( A1·B·C )+P( A2·B )+P( A2··C )=P( A1 )P( B )P( C )+P( A2 )P( B )+P( A2 )P( )P( C )=0、31、( 2 )X的可能取值为0，1，2，3，4，P( X=0 )=P( ·A0·)=P( )P( A0 )P( )=( 1-0、6 )×0、52×( 1-0、4 )=0、06、P( X=1 )=P( B·A0··A0·C+·A1·)=P( B )P( A0 )P( )+P( )P( A0 )P( C )+P( )·P( A1 )P( )=0、6×0、52×( 1-0、4 )+( 1-0、6 )×0、52×0、4+( 1-0、6 )×2×0、52×( 1-0、4 )=0、25、P( X=4 )=P( A2·B·C )=P( A2 )P( B )P( C )=0、52×0、6×0、4=0、06，P( X=3 )=P( D )-P( X=4 )=0、25、P( X=2 )=1-P( X=0 )-P( X=1 )-P( X=3 )-P( X=4 )=1-0、06-0、25-0、25-0、06=0、38、∴X的分布列为X01234P0、060、250、380、250、06。

课后巩固．下面说法中正确的是( )．离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的平均水平．离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映了ξ取值的波动水平．离散型随机变量ξ的方差(ξ)反映了ξ取值的波动水平答案解析由于离散型随机变量ξ的期望(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故错．而(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．．若～(，)，且()＝，()＝，则( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝答案解析由()＝＝，()＝(－)＝，可知－＝，所以＝，＝.．已知随机变量，()＝，则的标准差为．答案解析∵()＝()＝，∴()＝，∴σ()＝＝.．已知离散型随机变量的可能取值为＝－，＝，＝，且()＝，()＝，则对应，，的概率，，分别为，，.答案解析由题意知，－＋＝，．＋＋＝.又＋＋＝，解得＝，＝，＝.．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作，然后放回，再抽取一张，其上数字记作，令ξ＝·.求：()ξ所取各值的分布列；()随机变量ξ的数学期望与方差．解析()随机变量ξ的可能取值有，“ξ＝”是指两次取的卡片上至少有一次为，其概率为(ξ＝)＝－×＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上都标着，其概率为(ξ＝)＝×＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上一个标着，另一个标着，其概率为(ξ＝)＝××＝；“ξ＝”是指两次取的卡片上都标着，其概率为(ξ＝)＝×＝.则ξ的分布列为()((ξ)＝(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＝.。

练习31. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )（A ）2140 （B ）1740 （C ）310 （D ）71202. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（ ）(A) 203 (B) 103 (C) 201 (D) 1013. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是 ．4. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为5. 甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.6. 对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A ：甲正好取得两只配对手套； ②B ：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A 与B 是否独立？并证明你的结论．7. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（A ）95 （B ）94 （C ）2111 （D ）2110 ( ) 8. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( )(A)0.9 (B)0.2 (C)0.8 (D)0.79. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为________．10. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 .（以数值作答）11. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是51 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选修2-3 第二章 概率§2.6 离散型随机变量的均值与方差[学习目标]了解独立性检验的基本思想，了解随机变量2χ的含义，理解独立性检验的基本方法及其实施步骤。

[预习题]1．已知随机变量~(,)B n p ξ，且12,8E V ξξ==，则p 和n 的值依次为( )答案：31，36 2．已知随机变量X 的分布如表所示则()()E X V X -等于 （ ）答案：－0.913．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ= ( ) 答案：4.54．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。

将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿。

答案：49[例题讲解]例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X ，2X ，且1X 和2X 的分布列为：2X 0 1 2P510 310 210试比较两名工人谁的技术水平更高． 解：16130120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=∵，25320120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=． X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 1X 0 1 2 P610 110 31012EX EX =∴，说明两人出的次品数期望相同，可以认为他们技术水平相当.又2221613(00.7)(10.7)(20.7)0.81101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=∵， 2222532(00.7)(10.7)(20.7)0.61101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=． 12DX DX >∴，∴工人乙的技术比较稳定.∴可以认为工人乙的技术水平更高 例2．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，（1）求X 的概率分布及数学期望()E X ；（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 解：（1）X 的概率分布列为X 0 1 23P18 38 38181331()0123 1.58888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=或1()3 1.52E X =⨯=（2）乙至多击中目标2次的概率为3332191()327C -=（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ,则12A B B =+,1B 、2B 为互斥事件，1231121()()()8278924P A P B P B =+=+=例3.高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为12，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X 的概率分布列和期望. 解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率 3545555551111()()()2222P C C C =++= （2）X 的概率分布列为X 12345P12 14 18116 116所以1111131()12345248161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例4．某中学号召学生在春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好1231020 3040 50 参加人数活动次数相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．……6’（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．……12’ （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知 (1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ12P4199 5099 899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． [课后练习]1. 两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为 。