2017 年清华、北大自主招生 数学模拟试卷( 浙江 )及详细解析

结 束开始S=0，i=0S=S+2ii=i+1 否是输出S 2017年某某提前招生数学模拟试卷(附答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，{|21}A x x =-≤≤，{|21}B x x =-<<，{|2C x x =<-或1}x >，2{|20}D x x x =+-≥，则下列结论正确的是（ ）A ．A B =RB ．B C =RC ．C A =RD ．A D =R2．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且有1i 1imn =+-，则复数i m n +的倒数是（ ） A ．21i 55+B ．21i 55-C ．12i 55+D ．12i 55- 3．已知命题p ：1a <且0a ≠，命题q ：一元二次方程2210ax x ++=（0a ≠）至少有一个负的实数根，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．右图给出的是计算191242++++的值的一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的（ ）A ．i 19≥B ．i 20≥C ．i 19≤D ．i 20≤5．在等差数列{n a }中，10a >，10110a a ⋅<， 若此数列的前10项和1036S =，前18项和1812S =，则数列{||n a }的前18项和18T 的值是（ ）A ．24B ．48C ．60D ．846．曲线()sin cos (0,)f x x x x ωωωω=+>∈R 上的一个最大值点为P ，一个最小值点为Q ，则P 、Q 两点间的距离||PQ 的最小值是（ ）AB． D．7．设O 为∆ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，且||3AB =，||1AC =，则()AD AB AC ⋅-的值是（ ）A ．1B ．2 CD8．科研室的老师为了研究某班学生数学成绩x 与英语成绩y 的相关性，对该班全体学生的某次期末检测的数学成绩和英语成绩进行统计分析，利用相关系数公式()()niix x y y r --=∑计算得0.001r =-，并且计算得到线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．由此得该班全体学生的数学成绩x 与英语成绩y 相关性的下列结论正确的是（ ）A ．相关性较强且正相关B ．相关性较弱且正相关C ．相关性较强且负相关D ．相关性较弱且负相关9．过双曲线221x y m n-=（0m >，0n >）上的点P）作圆22x y m +=的切线，切点为A 、B ，若0PA PB ⋅=，则该双曲线的离心率的值是（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．310．甲、乙两人因工作需要每天都要上网查找资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网时间的一半的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2311．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m n ⊥，m α⊥，n α⊄，则//n α；②若//m α, βα⊥，则m β⊥ ；③若m β⊥，βα⊥，则//m α或m α⊂；④若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则βα⊥． 则其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数2()ln f x x mx x =++是单调递增函数，则m 的取值X 围是（ ）A ．22m >-B ．22m -≥C ．22m <D ．22m ≤第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中的横线上.13．已知函数()f x 满足1(1)lg f x x+=，则不等式()0f x >的解集是．14．如图，是一个长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截去“一个角”后的多面体的三视图，在这个多 面体中，AB =3，BC =4，CC 1=2．则这个多左视图主视图俯视图D 1 A 1 BC 1A 1BC C 1A 1ABC 1面体的体积为．15．如果321(3)n x x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是． 16．已知顶点在坐标原点的抛物线C 的准线方程为14x =-，直线l ：2y x =-+，则由抛物线C 及直线l 所围成的平面图形的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知各项为正数的数列{n a }满足222231231(4)3n a a a a n n ++++=-，（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{n a }的前n 项和n S ；（Ⅱ）记数列{n na }的前n 项和为n T ，试用数学归纳法证明对任意n ∈N *，都有n n T nS ≤．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CB =1，CA =3, AA 1=3，M 为侧棱CC 1上一点，1AM BA ⊥． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求平面ABM 与平面AB 1C 1所夹锐角的余弦值．A 1B 1C 1M19．（本小题满分12分）国际标准游泳池长50m ，宽至少21m m 以上，m ，分道线由直径5～10cm 的单个浮标连接而成．某位游泳教练员指导甲、乙两名游泳运动员在这样国际标准的游泳池内同时进行游泳训练，甲、乙两名运动员可以随机的选择不同的泳道进行训练． （Ⅰ）求甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数的分布列和期望；（Ⅱ）若教练员为避免甲、乙两人训练的相互干扰，要求两人相隔的泳道数不少于2，为了同时计时的方便，又要求两人相隔的泳道数不能超过4，求甲、乙两名运动员随机的选择不同的泳道训练恰好符合教练员的要求的概率．20．（本小题满分12分）设椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为2，点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线AB ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l ：2y x m =+与椭圆M 相交于C 、D 不同两点，经过线段CD 上点E 的直线与y 轴相交于点P ，且有0PE CD ⋅=，||||PC PD =，试求PCD ∆面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，（a 为常数，e 为自然对数的底）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0a =，且经过点P （0，t ）（1t ≠）有且只有一条直线与曲线()f x 相切，求t 的取值X 围．※考生注意：请在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则在所做的题中，按题号顺序的第一题记分．做答时，用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连结AD 并延长，与过C 点的切线交于P ，OD 与BC 相交于点E ．（Ⅰ）求证：12OE AC =； （Ⅱ）求证：22PD BD PA AC=．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程ED COABP在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤≤），点M 是曲线1C 上的动点．（Ⅰ）求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=（0ρ>），求点P 到直线l 距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++． （Ⅰ）若函数()f x 的值不大于1，求x 的取值X 围；（Ⅱ）若不等式()()1f x g x m -+≥的解集为R ，求m 的取值X 围．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）13、（1，2）； 14、20； 15、21；16、92． 三、解答题17、解：（Ⅰ）当1n =时，有2211(411)13a =⨯-=，又0n a >，所以11a =……1分 当2n ≥时，2222222221231231()()n n n a a a a a a a a a -++++-++++==33331141(4)[4(1)(1)][(1)]3333n n n n n n -----=---2222241(21)441(21)33n n n n n n n n =+-+-+-=-+=- 所以21n a n =-，且当1n =时，12111a =⨯-=……3分又1(21)[2(1)1]2n n a a n n --=----=，因此数列{n a }是以1为首项 且公差为2的等差数列，所以21(1)22n S n n n n =+⨯⨯-⨯= ……2分 （Ⅱ）证明：（1）当1n =时，1111T =⨯=，11111S ⨯=⨯=，关系成立 ……1分 （2）假设当n k =时，关系成立，即k k T kS ≤，则32112k a ka k ⨯+⨯++≤……1分 那么3121112(1)(1)(21)k k k T a ka k a k k k ++=⨯+⨯+++++++≤32323231331(1)k k k k k k k =+++<+++=+，即当1n k =+时关系也成立……3分 根据（1）和（2）知，关系式n n T nS ≤对任意n ∈N *都成立 ……1分 18、解：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(3,0,3)A ，1(0,1,3)B ，1(0,0,3)C ，(0,1,0)CB = ……1分设(0,0,)M t ，则(3,0,)AM t =-，0AM CB ⋅=，即AM ⊥BC ，又因为1AM BA ⊥，且1BC BA B =，所以AM ⊥平面1A BC ……3分（Ⅱ）1(3,1,3)BA =-，因为1AM BA ⊥，所以1330AM BA t ⋅=-+=，得1t =， 即(0,0,1)M ，可得平面ABM 的一个法向量为1n =(1,3,3) ……3分11(3,1,3),(3,0,3)AB AC =-=-，设平面11AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，则210AB ⋅=n 且210AC ⋅=n ，得0y =，3x z =，令1z =，得平面11AB C 的一个法向量为2n =(3,0,1) ……3分设平面ABM 与平面AB 1C 1所夹锐角为θ， 则1212||2321cos ||||727θ⋅===⨯n n n n ……2分 19、解：（Ⅰ）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6p728 628 528 428 328 228 128……6分泳道相隔数X 的期望为：E （X ）=76543210123456228282828282828⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……2分 （Ⅱ）543123(24)282828287P X =++==≤≤……4分A 1B 1MxzCB AC 1y20、解：（Ⅰ）由22222222112c a b b e a a a -===-=得a =……2分 可得直线AB的方程为0x ==得b =22b =，24a =，所以椭圆M 的方程为22142x y +=……2分 （Ⅱ）设1122(,),(,)C x y D x y ，由方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298240x mx m ++-=， 所以有1289m x x +=-，212249m x x -=，且0∆≥，即218m ≤……2分||CD =====分 因为0PE CD ⋅=，所以PE CD ⊥，又||||PC PD =，所以E 是线段CD 的中点， 点E 的坐标为1212(,)22x x y y ++，即E 的坐标是4(,)99m m -，因此 直线PE 的方程为14()299m m y x =-++，得点P 的坐标为（0，9m -），所以|||9m PE ==……2分因此11||||22S CD PE === 所以当29m =，即3m =±时，S取得最大值，最大值为max 9S =……2分 21、解：（Ⅰ）2()(2)e (1)e x x f x x a x ax '=-+-+2e [(2)1]x x a x a =+-+-e (1)(1)x x x a =++- ……2分若0a =，则2()e (1)0x f x x '=+≥，()f x 为R 上的单调递增函数；若0a >，()0f x '>的解为1x <-或1x a >-，()0f x '<的解为11x a -<<-， 此时()f x 在区间(,1),(1,)a -∞--+∞单调递增，在区间(1,1)a --单调递减； 若0a <，()0f x '>的解为1x a <-或1x >-，()0f x '<的解为11a x -<<-， 此时()f x 在区间(,1),(1,)a -∞--+∞单调递增，在区间(1,1)a --单调递减……3分 （Ⅱ）当0a =时，2()(1)e x f x x =+，2()e (1)x f x x '=+，因为(0)1f =，所以点P （0，t ）不在曲线()f x 上，设过点P 的直线与曲线()f x 相切于点(,)A m n ，则切线方程为2(1)m y e m x t =++，所以有2(1)m n e m m t =++及 2(1)m n e m =+，得32e (1)m t m m m =---+……2分 令32()e (1)x g x x x x =---+， 则322()e (1)e (321)(1)(3)e x x x g x x x x x x x x x '=---++---=-++，令()0g x '=，得13x =-，21x =-，30x =，可得()g x 在区间(,3),(1,0)-∞--单调递增，在区间(3,1),(0,)--+∞单调递减，所以()g x 在3x =-时取极大值322(3)e g -=， 在1x =-时取极小值2(1)e g -=，在0x =时取极大值(0)1g =，又3221e>， 所以322(3)eg -=是()g x 的最大值 ……3分 如图，过点P （0，t ）有且只有一条直线与曲线()f x相切等价于直线y t =与曲线32()e (1)x g x x x x =---+有且只有一个交点，又当3x <-时，()0g x >，所以322e t =或0t ≤ ……2分 22、（Ⅰ）证明：因为AB 为⊙O 直径， 所以 ∠ACB ＝90°，即 AC ⊥BC ， 因为D 是弧BC 的中点，由垂径定理得OD ⊥BC ，因此OD ∥AC ……3分又因为点O 为AB 的中点，所以点E 为y x o EDC O A B PBC 的中点，所以OE ＝21AC ……2分 （Ⅱ）证明：连结CD ，因为PC 是⊙O 的切线，所以∠PCD ＝∠CAP ，又∠P 是公共角，所以 △PCD ∽△PAC ．得PC PA =PD PC =ACCD ，得22PD CD PA AC = ……3分 因为D 是弧BC 的中点，所以CD BD =，因此22PD BD PA AC= ……2分 23、解：（Ⅰ）曲线1C 上的动点M 的坐标为（4cos θ，4sin θ），坐标原点O （0，0），设P 的坐标为（x ，y ），则由中点坐标公式得1(04cos )2cos 2x θθ=+=，1(04sin )2sin 2y θθ=+=，所以点P 的坐标为（2cos θ，2sin θ）……3分 因此点P 的轨迹的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤≤）， 消去参数θ得点P 轨迹的直角坐标方程为224x y += ……2分（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为 10x y -+= ……2分 又由（Ⅰ）知点P 的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，因为原点（0，0）到直线10x y -+===所以点P 到直线l 距离的最大值2+……3分 24、解：（Ⅰ）由题意得()1f x ≤，即|3|21x --≤ 得|3|3x -≤ ……2分因为|3|333306x x x -⇔--⇔≤≤≤≤≤所以x 的取值X 围是[0，6] ……3分（Ⅱ）()()|3||1|6f x g x x x -=-++-，因为对于x ∀∈R ，由绝对值的三角不等式得()()|3||1|6|3||1|6f x g x x x x x -=-++-=-++-|(3)(1)|6462x x -++-=-=-≥ ……3分于是有12m +-≤，得3m -≤，即m 的取值X 围是(,3]-∞- ……2分。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S = 球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b b1h +3a a V S S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的 h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y+=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x'=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos 23sin cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b2=,则c=∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A .4.【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a-＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d +++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q（,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y ,根据点到直线的距离公式,知OE,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11.【答案】332【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61333=61=222S ⨯⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a 是常数项,所以3322532124a C C =⨯⨯⨯=.14.【答案】152104【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=22424AB BC AC AB BC +-+-==⨯⨯∠,则15sin ABC=sin 4CBD =∠∠,所以BDC 115=BD BCsin 22S CBD =△∠.因为2BD BC ==,所以12CDB ABC =∠∠,则cos 110cos =24ABC CDB +=∠∠. 15.【答案】425【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b ++-≥,即a b a b ++-的最小值为4.又()()2222522a b a ba b a b a b +-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又()()2222522a b a ba b a b a b ++-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2π3sin32=,2π1cos 32=-,222π3131()2332222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 23sin 22sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,2PD =得2CE =,在PBN △中,由1PN BN ==,3PB =得14QH =,在t R MQH △中,14QH =,2MQ =,所以2sin =8MQH ∠,所以,直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.20.【答案】(Ⅰ)因为()121121x x x '--=--,()e e x x --'=-, 所以()()()1212e 11()1e 21e 22121x x xx x f x x x x x x ------⎛⎫⎛⎫'=----=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＞.(Ⅱ)由()()1212e ()=021x x x f x x ----'=-,解得1x =,52x =. 因为又()()21211e 02x f x x -=--≥,数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x '=-,()e e x x --'=-,所以(()12e 1()1e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=-=⎪ ⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e ()x x f x --'=,解得1x =,52x =. 因为又())211e 02x f x -=≥,所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -＜＜,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)1x+12PA k ⎫==+⎪⎭,)2xQPQ x -=所以()()311PA PQ k k =--+. 令()()()311f k k k =--+, 因为()()2()421f k k k '=--+,所以()f k 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k =时,PA PQ 取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫--⎪⎝⎭≥＞,数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥, 故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x x f x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。

2017清华自招试题1 下列函数中，有两个零点的是（ ）A ()2x f x e x =--B ()1x f x e x =--C ()3ln f x x x =-D 1()3ln f x x x =+2 设,A B 是抛物线2y x =上的两点，是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ）A ||||2OA OB ⋅≥B ||||OA OB +≥C 直线AB 过抛物线2y x =的焦点D O 到AB 的距离小于等于1 3 设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ）A ()f x 有极小值，但无最小值B ()f x 有极大值，但无最大值C 若方程()f x b =恰有一个实根，则36b e> D 若方程()f x b =恰有三个不同实根，则360b e <<4 已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos ()(sin 1)0b C a c b C a c ++-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则（ ）ABC 3B π= D 4B π=5 过ABC 的重心作直线将ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）A 最小值为34B 最小值为45C 最大值为43D 最大值为546 已知方程sin (0)kx x k =>在区间(3,3)ππ-内恰有5个实数解12345x x x x x <<<<，则（ ）A 55tan x x =B 5295122x ππ<< C 245,,x x x 成等差数列 D 123450x x x x x ++++=7 已知实数,x y 满足22545x y xy --=，则222x y +的最小值是（ ） A 53 B 56C 59D 2 8。

2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。

选择题部分(共40分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1 .已知P {x |1 x 1} , Q {2 x 0}，则 P QA • ( 2,1)B • ( 1,0)C • (0,1)D • ( 2, 1)【答案】A【解析】取P,Q 所有元素，得P Q ( 2,1).绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 4页，选择题部分1至2页，非选择题部分 3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意： 1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。

2 •答题时，请按照答题纸上 注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式S 4 R 2 球的体积公式 1 V -Sh3其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高1 ------------------ V §h(S a S a S £)其中S a , $分别表示台体的上、下底面积 h 学%科网表示台体的高2 2x 2 .椭圆一9 y1的离心率是4A .远3 【答案】B【解析】e .9 433 .某几何体的三视图如图所示(单位: cm3)是nF+1【答案】【解析】n 12(_2~ 1)4 .若x, y满足约束条件y2yA. [0,6] B . [0,4] 【答案】Dcm)，则该几何体的体积(单位:正视图Q俯视圈C.3n彳T+1D.弓+31，选A.0，则z=x+2y的取值范围是C. [6, +8]D. [4,+ 8【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4, 无最大值，选D.5.若函数f(x)=x2+ ax+b在区间［0,1］上的最大值是M，最小值是m,则A .与a有关，且与b有关B .与a有关，但与b无关C.与a无关, 且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在f (0) b, f(1) 12a aa b, f ( )b 中取，所以最值之差2 4b无关，选B.6.已知等差数列［a n ］的公差为d ,前n 项和为3,贝U d>0”是S 4 + S” >S 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D •既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S 4 S 6 2S 5 d ，所以为充要条件，选 C.【答案】D8.【答案】9 .如图，已知正四面体 D-\BC (所有棱长均相等的三棱锥)，PQR 分别为AB , BC , CA 上的点,C . a < B <Y【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 8.已知随机变量A . E( J<E( C . E(1)>E( 1满足P(1 =1) =P)i, P (1=0) =1 —|：)i , i = 12) , D( 1)<D( 2)B.E( 1)<E( 2), D( 1)<D( 2) D.E( 1)>E(1 小,2.若 0<p 1<p 2< ，则22) , D( 1)>D( 2)2) , D(1)>D( 2)【解析】 Q E( i )P i ,E( 2) p 2 , E( 1)E( 2) Q D( 1)P 1(1 pj, D( 2) P 2(1 P 2),D( 1) D( 2) (P 1P 2)(1 P 1 P 2)0,选 A.AP=PB ,BQ QCCR RA2，分别记二面角 D -PR-Q , D -PQ-R , D -QR-P 的平面较为 a B, Y 则7.函数y=f(x)的导函数y f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是D.【答案】B【解析】设0为三角形ABC 中心，贝U O 到PQ 距离最小，0到PR 距离最大，0到RQ 距离居中，而高相 等，因此所以选BLLW iun10.如图，已知平面四边形 ABCD , AB 丄BC, AB = BC = AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O ,记Ii = OAOB ,uur Lur LLLT Lur I 2=OB OC , I 3=OC OD ，贝U/）A. I 1 <I 2 < I 3 nB . I 1<I 3 <I 2C . c I 3<I 1 < I 2D . I 2<I 1<I 3【答案】CLUL LILT LLTT L ILT LLL T LLLT【解析】因为 AOBCOD 90°，所以 OB OC 0 OA OB OCOD(QOA OC,OB OD)非选择题部分（共110分）7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。

浙江省2017自主招生数学模拟试卷(二)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（）A．0.612×107B．6.12×106C．61.2×105D．612×1042.下列运算中，计算正确的是（）A．2a•3a=6a B．（3a2）3=27a6C．a4÷a2=2a D．（a+b）2=a2+ab+b2 3.如图所示的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．4.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．65.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是（）A．1.4(1+x)=4.5 B．1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5 D．1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5x 中自变量x的取值范围为（）6.函数y＝1A．x≥0B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥17.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标：其中属于中心对称图形的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个8.在长方形ABCD 中AB =16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥（AB 和AE 重合），则此圆锥的底面半径为（ ）A ．4B ． 16C ． 4D ． 89.如图，直线l 1∥l 2，∠A =125°，∠B =85°，则∠1+∠2=（ ）A ．30°B ． 35°C ． 36°D ． 40°10.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（ ） A ．甲先到达终点 B ．前30分钟，甲在乙的前面 C ．第48分钟时，两人第一次相遇; D ．这次比赛的全程是28千米11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ）O 14 12 1096 86 66 30 x /分y /千米 A BC D乙甲A ．64B ．77C ．80D ．8512.已知一次函数y 1=ax +c 和反比例函数y 2=的图象如图所示，则二次函数y 3=ax 2+bx +c 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.如果互为,a b 相反数，,x y 互为倒数，则()20142015a b xy +-的值是__________。

浙浙江省2017自主招生数学模拟试卷(一)姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.一粒芝麻约有0.000002千克，0.000002用科学记数学法表示为（）千克．A．2×10﹣4B．0.2×10﹣5C．2×10﹣7D．2×10﹣62.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C． D．3.下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．3﹣2=﹣32C．（2ab）3=6a3b3D．﹣a5•a5=﹣a104.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（）A． B．C．D．5.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（）6.下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等; ②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行;③长度相等的弧是等弧; ④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个7.在今年的中招体育考试中，我校甲、乙、丙、丁四个班级的平均分完全一样，方差分别为：S甲2=8.5，S乙2=21.7，S丙2=15，S丁2=17.2，则四个班体考成绩最稳定的是（）A．甲班B．乙班C．丙班D．丁班8.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．59.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：其中正确的个数是( )．A．1个B．2个C．3个D．4个11.在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z依次对应1、2、3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号．按上述规定，将明码“bird”译成密码是（）A．bird B．nove C．sdri D．nevo12.已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.﹣1的相反数是__________，倒数是__________．14.若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是．15.某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人．16.已知在平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣1）、B （﹣2，﹣4）、C （﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC 缩小，位似比为1：2，则点B 的对应点的坐标为 ． 17.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A ．D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积__________________18.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F 处．若△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17，则FC 的长为__________．三 、解答题（本大题共8小题，共78分） 19.计算：60sin 32)2(201593⨯+-++20.先化简22522()443x x x x x x +++⨯+++，然后选择一个你喜欢的数代入求值.21.某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．22.小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）23.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面积．24.观察下表：我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DA B．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A．N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析一、选择题1．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 002=2×10﹣6；故选：D．2．分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C．3. 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘可得（a4）3=a12；根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得3﹣2=；根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可得（2ab）3=8a3b3，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得﹣a5•a5=﹣a10．解答：解：A．（a4）3=a12，故原题计算错误；B、3﹣2=，故原题计算错误；C、（2ab）3=8a3b3，故原题计算错误；D、﹣a5•a5=﹣a10，故原题计算正确；故选：D．4. 分析:首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，故选B．5. 分析:设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=﹣x+5，故选C．6. 分析:根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形．解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．故选A．7. 分析:直接根据方差的意义求解．解：∵S＞S＞S＞S，∴四个班体考成绩最稳定的是甲班．故选A．8. 分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．9. 分析：分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．10. 分析: ①由图可知，购买10千克种子需要50元，由此求出一次购买种子数量不超过10千克时的销售价格；②由图可知，超过10千克以后，超过的那部分种子的单价降低，而由购买50千克比购买10千克种子多付100元，求出超过10千克以后，超过的那部分种子的单价，再计算出一次购买30千克种子时的付款金额；③根据一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折数；④先求出一次购买40千克种子的付款金额为125元，再求出分两次购买且每次购买20千克种子的付款金额为150元，然后用150减去125，即可求出一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花的钱数．解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选D．11. 分析:根据明码与密码的对应关系，分别求出bird四个字母所对应的密码字母，即可得解．解：b对应2，y=+13=14，对应的密码是n，i对应9，y==5，对应的密码是e，r对应18，y=+13=22，对应的密码是v，d对应4，y=+13=15，对应的密码是o，所以，明码“bird”译成密码是nevo．故选D．12. 分析：y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y=在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；y=，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．故选：C．二、填空题13. 分析：根据相反数与倒数的概念解答即可．解：∵﹣1的相反数是1，∵﹣1=﹣，∴﹣1倒数是﹣．故答案为：1，﹣．14. 分析:先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．解：∵x＜2，∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；∴+|3﹣x|=﹣（x﹣2）+（3﹣x）=﹣x+2+3﹣x=5﹣2x．15.分析：先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案．解答：解：根据题意得：1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人；故答案为：240．16. 分析:根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．17. 分析:过点F作FE⊥AD于点E，则AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面积，再根据S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出结论．解：如图所示，过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．∴S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF=﹣×1×=﹣，∴S阴影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．18. 分析:根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB +BC =11，此为解题的关键性结论；运用△FCB 的周长为17，求出FC 的长，即可解决问题． 解：如图，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD =BC ，AB =DC ； 由题意得：AE =FE ，AB =BF ；∵△FDE 的周长为5，△FCB 的周长为17， ∴DE +DF +EF =5，CF +BC +BF =17， ∴（DE +EA ）+（DF +CF ）+BC +AB =22， 即2（AB +BC ）=22，∴AB +BC =11，即BF +BC =11； ∴FC =17﹣11=6， 故答案为6．三 、解答题19. 分析：根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答 解：原式=3+1﹣8+2×=﹣1． 20.解：原式2522[]2(3)(2)x x x x x x ++=+⨯+++225222(3)(3)(2)x x x x x x x x x +++=⨯+⨯++++2(2)5(3)(2)(3)(2)x x x x x x x x ++=+++++ 3(3)(3)(2)x x x x +=++3(2)x x =+ 当1x =时，原式311(12)==⨯+(x 不能取0，，21.解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。

数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．如下面的四幅简笔画是从杭州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是2．如图，图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根长度相等木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要要添加螺栓A 、 1个B 、 2个C 、3个D 、4个3．已知((10120162x -⎛⎛⎫=⨯----- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则有 A 、45x << B 、56x << C 、78x << D 、89x <<4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．当四边形DBFE 是菱形时，则△ABC 满足的条件是A 、等腰三角形B 、AC=BC C 、AB=ACD 、AB=BC第2题图 第4题图 第7题图5．若反比例函数20167a y x-=的图象与正比例函数9(2016)y a x =+的图象没有公共点，则化简20162016y a a =-++的结果为A 、2016B 、4032C 、 2aD 、-40326．已知1x ，2x 是方程220160x x --=的两实数根，则代数式31220172016x x +-的值为A 、2017B 、2016C 、 2015D 、10087．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列五个结论： ①20c b ->； ②42a c b +<； ③320b c +<； ④30a c +<⑤()m am b b a ++> (1)m ≠-，其中正确结论的是A 、③④⑤B ．①③④C 、①②③④D 、①③④⑤8．如图，弦CD 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，E 是CD 的中点，CP ⊥AB ，垂足为点P ，若AB=4.则sin CPE ∠值．A 、3B 、8C 、4D 、无法确定 二、填空题（共6小题，24分）9.用 “＜”连接6的立方根和平方根. ▲ 第8题图10.如图，点P 为正六边形ABCDEF 內部一点，若△PBC 、△PEF 的面积分別为3.5与14.5，则正六边形ABCDEF 的面积是 ▲ 。

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WORD格式.资料.2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,cZB．A1500,asinA csinC2asinC bsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点专业.整理.WORD 格式.资料 .【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在 (1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕3一定相离A ．以线段AB 为直径的圆与直线x2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB| 4a22，最小值为4AB中点到准线的距离的 2倍去得到最小值；．也可将|AB|转化为4a 2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．2225．F 1,F 2是椭圆C:x 2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有a b〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2 900的点P 有两个B ．a2b 时，满足F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2D ． PF 1F 2的面积小于等于2专业.整理.WORD格式.资料.【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周|PF1||PF2|sinF1PF21|PF1|2长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF2|1a2．2222 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.【解析】必要性：由于sinB sinC sinB sin(B)sinB cosB1，2类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x 5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3B．tan tan tan tan tan tan3专业.整理.WORD格式.资料.C．tan tan tan3tan tan tanD．tan tan tan3tan tan tan【答案】BD【解析】令x tan,y tan,z tan，那么yx z y x z3，所以1xy1yz1zxyz3(1xy),z y3(1yz),x z3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),113(11),113(11)，以上三式相加，即有x y xy y z yz z x zx111x y z3．答案BD．xy yz zx xyz12．实数a,b,c满足a bc 1，那么4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A．(11,12)B．(12,13)C．(13,14)D．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f/(x)2，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x14x13处的切线y221(x1)21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1，如图，于是可得4x14x1221(x1)21，左侧等号当x1或77777334x3右侧等号当x121，当a b1时取得；最小值为时取得；时取得．因此原式的最大值为c2337，当a b1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．42专业.整理. WORD 格式.资料 .13．, ,z,yz1, x 2 y 221，那么以下结论正确的有〔 〕x y Rx zA ．xyz 的最大值为B ．xyz 的最大值为427C ．z 的最大值为2D ．z 的最小值为133【答案】ABD14．数列{a n }满足a 11,a 2 2,a n26a n1 a n (nN*)，对任意正整数n ，以下说法中正确的有〔〕A ．a n 2 1a n2a n 为定值B．a n1(mod9) 或a n 2(mod9)C ．4a n1a n 7为完全平方数D．8a n1a n 7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3a n1a n22(6an2a n 1)an1a n226a n2an1a n 2 1a n 2(an26a n 1)a n 2 1 a n 21a n2a n ，选项A 正确；由于a 311，故a n 2 1 a n2a n a n 2 1 (6a n1a n )a na n 2 16a n 1a n a n 27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n 7(a n1a n )2,8a n1a n7(a n1a n )2，应选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：假设数列{a n }满足a n 2 pa n 1a n ，那么a n 21a n2a n 为定值．15．假设复数z 满足z11，那么z 可以取到的值有〔 〕zA ．1B ． 1C ．51 D ．512222【答案】CD专业.整理.WORD格式.资料.【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．17．椭圆x2y21(a b0)与直线l1:y1x,l2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，a2b222a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x,y)，可得111111，成心M(x0y0,x0y0),N(x0y0,x0y0)00224242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为ya1M,N，使得|MN| kx，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有I n种，那么〔〕A．I22B．I312C．I496D．I5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得I n C n1A n n 1Cnn1n!n1．答案：AB．2n2(n1)!C2n1关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利?．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5 0.3 0.5 0.8)．21．在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．那么limy．x3【答案】2【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．2专业.整理. WORD 格式.资料 .22．如图，正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，中心为O,BF1BC,A 1E 1A 1A ，那么四面体OEBF2 4的体积为 ．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF1V GEBF1V EGBF11V EBCC 1B 1 1 ．2 22 16 962sin 2nx)dx23．(x )2n1(1．【答案】02)2n 1(1 sin 2nx)dxx2n1(1 sin 2nx)dx 0．【解析】根据题意，有 (x24．实数x,y 满足(x 2 y 2)3 4x 2y 2，那么x 2 y 2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x 2y 2)34x 2y 2(x 2 y 2)2，于是x 2y 2 1，等号当x 2y 21 时取得，2因此所求最大值为 1．25．x,y,z 均为非负实数，满足(x 1)2 (t 1)2 (z 3)227 ，那么xy z 的最大值与最小值分别22 4为．【答案】22 32【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)(1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22专业.整理. WORD 格式.资料 .x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x yz)y,解得xy z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,223)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2 ，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 299 ．327．复数zcos2isin2，那么z 3z 2z 2 2．33z1 3【答案】2i2【解析】根据题意，有z3z 2z 221 z 2zcos5isin51 3i ．z3 32228．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】2001003 3003x y1,R)，由于401,【解析】设zxyi(x,y 40z ，于是 10 1040y如图，弓形面积为z|z|2 40x1, 1,x 2y 2 x 2 y 21202(sin 6)100 100，四边形ABCD 的面积为21(10 3 10)101003100.2632专业.整理.WORD 格式.资料 .于是所示求面积为2(100100)(1003100)200 1003300.333，那么sin4xsin2xsinxsinx 29．假设tan4xcos4xcos2xcos2xcosx．3cos8xcos4x cosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2x cos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取 3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，那么A中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2, ,a k }，其中kN *,1 k 14．不妨假设a 1 a 2a k ．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 5 7．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．专业.整理。