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概率论和数理统计习题五

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习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10【解】设iX表每次掷的点数，则41iiXX

22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iiEXEX



从而 22291735()()[()].6212iiiDXEXEX 又X1,X2,X3,X4独立同分布.

从而44117()()()414,2iiiiEXEXEX 44113535()()()4.123iiiiDXDXDX

所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4PXPX 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？

【解】令1,,0,iiX若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得

1{0.760.84}0.9.niiXPn

即 10.80.760.80.840.8{}0.90.80.20.80.20.80.2niiXnnnnnPnnn



由中心极限定理得 0.840.80.760.80.9,0.160.16nnnnnn



 2

整理得0.95,10n查表1.64,10n n≥268.96, 故取n=269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

()140,()42,EXDX

1400.95{0}().42mPXmPXm





查表知 1401.64,42m ,m=151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，

且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=201kkV，求P{V＞105}的近似值.

【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 201205205~(0,1).10010020201212kkVVZN



近似的

于是205105205{105}1010020201212VPVP 1000.3871(0.387)0.348,102012VP







即有 P{V>105}≈0.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 3

【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2） 从而

301000.2{30}1{30}11000.20.8PXPX





1(2.5)10.99380.0062. 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

【解】1,,1,2,,100.0,.iiXi第人治愈其他

令1001.iiXX (1) X~B(100,0.8)， 1001751000.8{75}1{75}11000.80.2iiPXPX





1(1.25)(1.25)0.8944. (2) X~B(100,0.7)， 1001751000.7{75}1{75}11000.70.3iiPXPX





51()1(1.09)0.1379.21

7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率. 【解】令1000件中废品数X，则 p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)， E(X)=50，D(X)=47.5. 故

12050130{20}6.8956.89547.547.5PX







61304.510.6.8956.895



8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数 4

分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.

【解】11()10,0.1iET 21()100,iDT

()1030300,ET ()3000.DT 故 3503005{350}111(0.913)0.1814.300030PT





9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n，D(T)=100n.

从而1{3068}0.95,niiPT即3068100.05.10nn 故 102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn





所以需272a元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？ （2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为 Xi 0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.

而400iiXX,由中心极限定理得

4004001.14001.1~(0,1).4000.19419iiXXN



近似地

于是4504001.1{450}1{450}1419PXPX 1(1.147)0.1357. (2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得 5

3404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2PY





11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P{X≤5000}. 由中心极限定理有

5000100000.515{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485PX





12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中： （1）至少有多少个人能够进入？ （2）至多有多少人能够进入？ 【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）. 令 Sn=X1+X2+…+X1000. (1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件

90010000.9{}.10000.90.190nnSmmS







由中心极限定理知： 10000.9{}1{}10.95.10000.90.1nnmPmSPSm





从而 9000.05,90m

故 9001.65,90m 所以 m=900-15.65=884.35≈884人 (2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.

900{}0.95.90nMPSM





查表知90090M=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大； （2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

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概率论与数理统计习题5答案

概率论与数理统计习题5答案

2 / 5
AJ Lin
2013.12
5. 一本书共有 100 万个印刷符号， 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001， 校对时每个排版错误
被改正的概率为 0.9，求校对后错误不多于 15 个的概率。 1, 第n个印刷符号校对后仍印错 解：设随机变量 X n , 0, 其它. 则 X n , n 1 是独立同分布随机变量序列，有 p P{xn 1} 0.0001 0.1 10 5 。 作 Yn X k ， (n 106 ) ， Yn 为校对后错误总数。 按中心极限定理，有 Y np 15 np 3 5 5 P{Yn 15} P n (5 / [10 10 (1 10 )]) (1.58) 0.9495 . npq npq
AJ Lin
2013.12
习题 5 答案
1. 一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学 期望为 2mm，均方差为 0.05mm，规定总长度为（ 20 0.1 ）mm 时产品合格，试求产品合格的 概率。 （其中 (0.63) 0.7357 ， (1.63) 0.9484 ） 解：令 X i 表示第 i 部分的长度， i 1, 2, ,10 ，据题意知， X 1 , X 2 , , X 10 相互独立同分布，且 E ( X i ) 2 ， D ( X i ) 0.052 ，故产品合格的概率为
300 X k 300 1.29 400 300 1.29 1 P k 1 300 0.0489 300 0.0489
300 X k 300 1.29 1 P k 1 3.39 1 3.39 1 0.9997 0.0003 . 300 0.0489 (2)设 Y 表示这天售出价格为 1.2 元的蛋糕个数，则 Y ~ B 300, 0.2 ，又 np 300 0.2 60, np (1 p ) 60 0.8 48 ， Y ~ N 60, 48 ，所求概率为 Y 60 60 60 P Y 60 1 P Y 60 1 P 1 (0) 0.5 . 48 48 8. (1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1，
吴赣昌第五版经管类概率论与数理统计课后习题完整版

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随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.现习题91.2 随机事件的概率1.3 古典概型现习题3现习题4现习题5 现习题6现习题7现习题8现习题9现习题101.4 条件概率习题3空现习题41.5 事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3. 证明下列等式：习题4.现习题5习题6.习题7 习题8习题9 习题10习题11 现习题12习题14 习题15习题17习题19 习题20习题21 习题22现习题23现习题24第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X的分布律.习题4(空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X 10 20 30 40pi 0.15 0.25 0.45 0.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ断头的概率为0.005,在τ这段时间断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3 随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7 (空) 习题8习题9习题10习题112.5 随机变量函数的分布习题1习题2习题3习题4习题5习题6总习题二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶5、6、8、9、。

概率论与数理统计海南大学五六章习题详解

概率论与数理统计海南大学五六章习题详解

习题五1 .已知()1E X =，()4D X =，利用切比雪夫不等式估计概率{}1 2.5P X -<.解： 据切比雪夫不等式{}221P X σμεε-<≥-{}241 2.51 2.5P X -<≥-925= . 2．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方程2()D X σ=，利用切比雪夫不等式估计{}||3P X μσ-≥.解：令3εσ=，则由切比雪夫不等式{}2()||3D X P X μσε-≥≤， 有{}221||3(3)9P X σμσσ-≥≤=. 3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率.解： 设X 为6颗骰子所出现的点数之和；i X 为第i 颗骰子出现的点数，1,2,,6i = ，则61i i X X ==∑，且126,,...,X X X 独立同分布，分布律为：126111666⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，于是6117()62i k E X k ==⋅=∑6221191()66ik E X k ==⋅=∑所以22()()()i i i D X E X E X =-914964=- 3512= ，1,2,,6i = 因此 617()()6212i i E X E X ===⨯=∑6135()()612i i D X D X ===⨯∑352= 故由切比雪夫不等式得：{}{}|5271428P X P X ≤≤=<<{}7217P X =-<-< {}|()|7P X E X =-<2()17D X ≥-13559114921414=-⨯=-=.{}1|()|7P X E X =--≥即6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率大于等于914.4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。

炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.解： 以i X 表示第i 次炮击击中的颗数(1,2,,1000)i =有()0.4i E X = ，() 3.6i D X =据 定理：则10001380420i i P X =⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∑≈Φ-Φ11(()33=Φ-Φ-12()13=Φ-20.62931=⨯- 0.2586= .5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g ，标准差是10g . 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.解： 设i X 为第i 个螺丝钉的重量，1,2,,100i = ，且它们之间独立同分布，于是一盒螺丝钉的重量1001i i X X ==∑，且由()100i E X =10=知()100()10000i E X E X =⨯=100=，由中心极限定理有：100001020010000(10200)10100X P X P --⎧⎫>=>⎨⎬⎩⎭100002100X P -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 1000012100X P -⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)≈-Φ10.977250.02275=-= .6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布. （1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.解： 设i X 为第i 个加数的取整舍入误差， 则{}i X 为相互独立的随机变量序列， 且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布，则0.50.5()0i E X xdx μ-===⎰0.5220.51()12i D X x dx σ-===⎰（1） 因1200n =很大，由独立同分布中心极限定理对该误差总和12001i i X =∑，1200115i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑P ⎫⎪=12 1.5i i P X =⎫⎪=>⎬⎪⎭ 2(1(1.5))=-Φ0.1336= .即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .(2) 依题意，设最多可有n 个数相加，则应求出最大的n ，使得1100.9n k k P X =⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭∑由中心极限定理：1110n ni i i P X P X ==⎧⎧⎫⎪<=<⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩∑∑2(10.9≈Φ-≥ .即(0.95Φ≥查正态分布得 1.64≥ 即21012(446.161.64n ≤≈ 取446n =，最多可有446个数相加 .7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.解 以X 表示1年死亡的人数 依题意，(3000,0.001)X B注意到{}{}200030000P P X =>保险公司亏本其概率为{}1530000.001151P X >≈-Φ1(6.932)=-Φ0≈ .即保险公司亏本的概率几乎为0 .8. 假设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，已知{}15P X =>()k i k E X α= (1,2,3,4;1,2,,)k i n == .证明：当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布.证明：由于12,,...,n X X X 独立同分布，则22212,,...,n X X X 也独立同分布由()k i k E X α= (1,2,3,4;1,2,,)k i n ==有22()i E X α=，2242()((iiiD XE X E X ⎡⎤=-⎣⎦242αα=-2211()()nn i i E Z E X n α==⋅=∑2242211()()()n n i i D Z D X n n αα==⋅=-∑因此，根据中心极限定理：(0,1)n Z U N即当n 充分大时，n Z 近似服从2242(,())N n ααα- .9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.解 （1）(100,0.2)X B ，所以{}1001000.20.80,1,2,,100k k kP X k C k -===()20E X np== ，()(1)16D X np p=⋅-=（2）{}|430P X≤≤1420203020XP---=(2.5)(1.5)=Φ-Φ-(2.5)(1.5)1=Φ+Φ--0.9940.93310.927=+-= .10 .某厂生产的产品次品率为0.1p=，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？解：设每盒中装n只产品，合格品数 ~(,0.9)X B n，()0.9E X n=，()0.09D X n=则{}{}1001100P X P X>=-≤10.95=-Φ=1.65=-解得117n=，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。

概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案

概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案


答；收入至少400元的概率几乎为0.
(2)设出售1.2元的蛋糕数量为Y，则Y ~ B(300, 0.2), E(Y ) = 60, D(Y ) = 48.
P{Y

60}
=
Y P{
− 60

0}
=
(0)
=
0.5
48
答：售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率0.5.
28
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
x} = (x)
n→
n
n
Xi −n
(C) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
Xi −
(D) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
二、填空题：
224
1．对于随机变量 X，仅知其 E( X ) = 3，D( X ) = 1 ，则可知 P{| X − 3 | 3} 225
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
系
专业
班 姓名
学号
第五章 大数定律与中心极限定理
1．设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
的

0
均有
lim
P

n
−
p



n→ n

[A ]
(A) = 0
(B) = 1
(C) 0
(D) 不存在
系
专业
班 姓名
学号
第六章 数理统计的基本知识
§6.1 总体、样本与统计量、§6.2 抽样分布
1．设 X1, X 2 , X 3 是取自总 X 体的样本，a 是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]