2015-2016学年河北省石家庄二中高一(上)期末数学试卷含参考答案

2015-2016学年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．（5.00分）已知全集U={x∈N|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，3，4}D．{3，4}2．（5.00分）sin660°=（）A．﹣ B．C．﹣D．3．（5.00分）下列函数中与函数y=x为同一函数的是（）A．y=B．y=（）2C．y=D．y=lg10x4．（5.00分）函数f（x）=﹣log3x的零点所在的一个区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．26．（5.00分）已知a=ln0.2，b=20.3，c=0.30.2，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（5.00分）如图，圆C中，弦AB的长度为4，则•=（）A．12 B．8 C．4 D．28．（5.00分）若cos（）=﹣，则cos（）=（）A．B．﹣ C．D．9．（5.00分）把函数y=sin（4x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的一个可能值为（）A．B．C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，且f（0）=f（），则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（）=﹣2D．f（x）在[0，]上是增函数11．（5.00分）已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．12．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+3），当x∈（0，）时，f（x）=sin πx，且f（）=0，则函数f（x）在区间[﹣6，6]上的零点个数是（）A．18 B．17 C．8 D．9二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣24．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．16．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．67．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9% 10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．8011．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：A．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．4．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【解答】解：若“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0，则a≥x2，x∈[1，2]，∵y=x2，x∈[1，2]，∴1≤y≤4，即a≥4，即命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是a≥4，故选：A．5．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．1【解答】解：由题意得，f′（x）=+2x﹣b，∴在点（b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b）=，∵b＞0，∴f′（b）=≥，当且仅当时取等号，∴在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是，故选：A．6．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵，a2=2，∴2q•2q5=4•4q4∴q2=4，∴q=2．∵a2=2，∴a1=1，故选：B．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选：D．9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9%【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．80【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．【解答】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2﹣2×4a×2a×，∴e=．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：结合图象分析：当k＞0时，若y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=﹣1，则f（x）=a＜或f（x）=b∈（0，1）；对于f（x）=a，存在两个零点；对于f（x）=b，存在两个零点，综上所述，函数y=f[f（x）]+1的零点个数为4个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．【解答】解：由题意得，=3+6=9，=，=，∴cosθ===，故答案为：．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于﹣．【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第2号座位上．【解答】解：由互换规律知第四次互换座位后为1鼠2猴3兔4猫，与开始时的座位一致，故每经过4k（k∈N）次调换，座位都与开始时的座位相同，∴第202次互换座位后与第2次互换座位后座位一致．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵tanAtanC=+1．∴=，可得：﹣2cos（A+C）=1，∴cosB=﹣cos（A+C）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵•=b2，B=．∴accos=b2，解得：ac=b2①，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac②，∴由①②可得：a=c，结合B=，可得三角形为等边三角形．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．【解答】解：（1）设{}的公差为d，则，，∵a2=6，a5=12，∴，解得a1=4，d=2，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2．∵数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1，∴当n=1时，b1=S1，由，得，当n≥2时，∵，，∴S n﹣S n=（b n﹣1﹣b n），即，﹣1∴，∴{}是以为首项，为公比的等比数列，∴=．（2）∵=2•（）n，∴c n=c n====，∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣＜1，由已知得，∴m≥2014，∴最小正整数m=2014．…（12分）．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．【解答】（1）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，∴EB∥A′C又A′C⊂平面A′ACC′，且BE⊄平面A′ACC′，∴BE∥平面A′ACC′（2）解：∵AB=BC=，∠ABC=90°，∴AC=2，又A′A=2，∴AC=A′A=2，∵A′B′C′﹣ABC为直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，∴A′B′⊥B′C′，又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′B′⊥B′B，又B′C′∩BB′=B′，∴A′B′⊥平面BCC′B′．∴．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，a2=8，b=c所以=4，故椭圆的方程为；（II）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0）显然直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由直线代入椭圆方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．因为x0==﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即解得，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜．从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1﹣==∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4故a≤4即实数a的取值范围为（﹣∞，4]证明：（III）若则，由（I）得：lnx•x≥，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m′（x）=，∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．。

石家庄市20152016学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科）（时间120分钟，满分150分）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线28y x =的焦点坐标为A.()0,2B. ()0,4C.()2,0D.()4,02．若p q ∨为真命题，则下列结论不可能成立的是A. p 真q 真B. p 假q 真C. p 真q 假D. p 假q 假3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 124.已知命题:"0,1"xp x ∀>>总有2，总有28y x =，则p ⌝为A. 0,1xx ∀>≤总有2 B. 0,1xx ∀≤≤总有2 C. 000,1xx ∃≤≤使得2 D. 000,1xx ∃>≤使得2 5.设,x y R ∈，则"0"x y >>是"1"xy>的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件6.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>，则该双曲线的渐近线方程为A. 2y x =±B. 12y x =±C. 14y x =± D. 4y x =± 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先有计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1，,,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次投篮的 结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683 489 257 394 027 556 488 730 113 537 741根据以上数据，估计该运动员三次投篮恰好有两次命中的概率为 A. 0.20 B. 0.25 C. 0.30 D. 0.35 9.函数()ln f x x x =+的零点个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 010.已知函数[]2()2,1,6f x x x x =-+∈-，若在其定义域内任取一数0x 使得0()0f x ≤概率是 A.27 B. 37 C. 47 D. 5711. 已知12F ,F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得12PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围是A. 5⎫⎪⎪⎣⎭B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. 0,5⎛ ⎝⎦D. 0,2⎛ ⎝⎦12.半径不等的两定圆12O ,O 无公共点(12O ,O 是两个不同的点)，动圆O 与圆12O ,O 都内切，则圆心O 的轨迹是A.双曲线的一支或椭圆B.椭圆或圆C.双曲线的一支或椭圆或圆D.双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率是 .14. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001,0002,0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为. 15. 在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片（卡片大小形状均相同），今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为 . 16.抛物线214x y =上的点到直线45y x =-的距离的最小值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）求函数32()31f x x x =-+的单调区间.18.（本小题满分12分）已知(1,0),(3,0)A B -，圆C 以AB 为直径. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）求直线:3480l x y +-=被圆C 截得的弦长.19．（本小题满分12分）从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量 身高，得到频率分布直方图如图. （Ⅰ）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高.20. (本小题满分12分)2.5PM 是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与2.5PM（Ⅰ）根据上表数据求出y 与x 的线性回归直线方程y bx a =+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时 2.5PM 的浓度是多少？（保留整数）参考公式：1122211()()(),()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb y bx a x x xnx====---===+--∑∑∑∑21. ( 本小题满分12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线60x my --=与抛物线C 交于A 、B 两点，若90AFB ∠=，求实数m 的值.22.( 本小题满分12分)已知函数()ln 2xf x a x =-在2x =处取得极值. （Ⅰ）求a 实数的值； （Ⅱ）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围.石家庄市2015-2016学年第一学期期末考试答案高二数学（文）一、选择题：1-5CDBDA 6-10BACCA 11-12BA 二、填空题13．1 14．0055 15．16 16 三、解答题17.解：由32()31f x x x =-+得2()363(2)f x x x x x '=-=------------------4分 当0x <或2x >,()0f x '>；当02x <<，()0f x '< .………………………8分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()(),0,2,-∞+∞---------10分18. 解（Ⅰ）依题意圆心(1,0),半径为2,………………………………………………3分 ∴圆C 方程为(x -1)²+y ²=4． ………………………………………………6分 （Ⅱ）圆心(1,0)到直线0843:=-+y x l 的距离d =1，……………………………9分∴直线l 被圆C 截得的弦长为321222222=-=-d r ……………………12分19. 解（Ⅰ）前三组的频率为5(0.0080.0160.04)0.32⨯++=，………………………………………………4分 则高一年级100名学生身高低于170厘米的人数为3232.0100=⨯（人） ………………………………………………6分（Ⅱ）2.05.1722.05.16708.05.16204.05.157⨯+⨯+⨯+⨯3.05.177⨯++ 1.17404.05.19206.05.18708.05.182=⨯+⨯+⨯ （cm ）根据频率分布直方图估计出这800名学生平均身高约174.1cm. ……………………12分20.解（Ⅰ）5051545758545x ++++==Q ，6970747879745y ++++==， ………………………………………………2分51()()4534344564iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 5222221()(4)(3)3450ii x x =-=-+-++=∑，51521()()641.2850()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑$，………………………………………………4分 74 1.2854 4.88a y bx =-=-⨯=$，………………………………………………6分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ 1.28 4.88yx =+. ………………………………8分 （Ⅱ）当25x =时， 1.2825 4.8836.8837y =⨯+=≈所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37. ………………………………………12分21.（Ⅰ）由已知及抛物线定义可得抛物线上横坐标为21的点到抛物线顶点O 的距离与其到焦点F 的距离相等．故OF 中点横坐标为21，可得焦点F 坐标()1,0，………………2分 所以抛物线的方程为：x y 42=．………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎩⎨⎧+==642my x xy 可得，02442=--my y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎩⎨⎧-==+2442121y y my y ，………………………………………………7分因为090AFB ∠=，即0=⋅FB FA可得：0)1)(1(2121=+--y y x x ………………………………………………9分∴25)(5)1()1)(1(212122121++++=+--y y m y y m y y x x 02520)1(2422=+++-=m m ，解得:21±=m ，………………………………………………12分22. 解：（Ⅰ）∵2ln )(x x a x f -=， ∴21)(-='x a x f ． ∵函数)(x f 在2=x 处取得极值∴0)2(='f ………………2分 解得1=a ，经检验满足题意 4分 （Ⅱ）得当1x >时，6分，则()1ln g x x x '=--． 令()1ln h x x x =--，则当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=． ……………8分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，…………10分因此，当1x >时， ∴ k 的取值范围是 12分。

2023-2024学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，B＝{1，3，5}U（A∩B）＝（）A．∅B．{0}C．{0，2，4}D．{0，2，4，5}2．函数的定义域是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．[﹣2，﹣1）3．已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．4．方程log2x＝﹣x+2的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞0，m＞0，则6．化简sin200°sin230°﹣cos160°sin40°，得（）A．B．sin200°C．cos200°D．7．已知命题“∃x∈R，使（m﹣2）x2+（m﹣2）x+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（）A．m＞6B．2＜m＜6C．2≤m＜6D．m≤28．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（b）（a＜b）（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．10．已知函数，下面说法正确的有（）A．f（x）的图像关于原点对称B．f（x）的图像关于y轴对称C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．∀x1，x2∈R，且11．对于函数f（x）＝，下列四个结论正确的是（）A．f（x）是以π为周期的函数B．当且仅当x＝π+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值﹣1C．f（x）图象的对称轴为直线D．当且仅当时，12．已为函数，g（x）＝x﹣k，求数g（f（x），x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值可能为（）A．B．7C．D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）x a（a∈R）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的值为．14．已知扇形OAB的圆心角为4rad，其面积是2cm2，则该扇形的周长是cm．15．设函数f（x）＝10x+x﹣6的零点为m，函数g（x）＝lgx+x﹣6的零点为n，则m+n＝．16．设函数的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，且f（x+k）＞f（x），则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x），且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣2a（x）为R上的“2022型增函数”，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式．（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（2）求使f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＜0成立的实数m的取值范围．19．（12分）从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，B＝{x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m∈R}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求正实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin2ωx﹣cos2ωx+m（0＜ω＜1）的图象关于点对称．（1）求ω，m的值；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数g（x），求g（x）在[0 21．（12分）2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0≤x≤4时，，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的消毒剂，试求a的最小值．（精确到0.1，参考数据：取1.4）22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（x）在[m，n]内是单调函数，n]时，f（x）的值域也是[m，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（Ⅰ）求证：[0，2]是函数的一个“优美区间”；（Ⅱ）已知函数有“优美区间”[m，n]，求出n﹣m的最大值．2023-2024学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3，B＝{1，3，5}U（A∩B）＝（）A．∅B．{0}C．{0，2，4}D．{0，2，4，5}解：∵A＝{1，2，3，4}，3，7}，∴A∩B＝{1，3}，又∵全集U＝{5，1，2，7，4，5}，∴∁U（A∩B）＝{8，2，4，5}．故选：D．2．函数的定义域是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．[﹣2，﹣1）解：由题意可得，解得﹣2≤x＜﹣8或x＞﹣1．即函数的定义域为[﹣2，﹣4）∪（﹣1，+∞）故选：B．3．已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．解：由题意可得x＝4、y＝﹣3，∴sinα＝，cosα＝＝，∴sinα+cosα＝，故选：A．4．方程log2x＝﹣x+2的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由log2x＝﹣x+2，得log7x+x﹣2＝0，令f（x）＝log3x+x﹣2，该函数是（0，又f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝1＞3，∴函数f（x）＝log2x+x﹣2的零点所在区间为（7，2），即方程log2x＝﹣x+5的解所在的区间是（1，2）．故选：B．5．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞0，m＞0，则解：对于A，当c＝0时2＞bc4不成立，因此本选项说法不正确；对于B，1＜b＜2⇒﹣2＜﹣b＜﹣1，所以有﹣4＜a﹣b＜5；对于C，当a＝﹣2，c＝﹣4，显然满足a＞b，但是ac＞bd不成立；对于D，由，而m＞0，即，因此本选项说法正确，故选：D．6．化简sin200°sin230°﹣cos160°sin40°，得（）A．B．sin200°C．cos200°D．解：sin200°sin230°﹣cos160°sin40°＝sin（180°+20°）sin（180°+50°）﹣cos（180°﹣20°）sin（90°﹣50°）＝sin20°sin50°+cos20°cos50°＝cos30°＝．故选：A．7．已知命题“∃x∈R，使（m﹣2）x2+（m﹣2）x+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（）A．m＞6B．2＜m＜6C．2≤m＜6D．m≤2解：由题意知，“∀x∈R2+（m﹣2）x+6＞0”是真命题，当m﹣2＝8，即m＝2时，符合题意；当m﹣2≠5，即m≠2时，有，综上，实数m的取值范围为7≤m＜6．故选：C．8．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（b）（a＜b）（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）在上递减，6]上递增，且f（a）＝f（b）（a＜b），所以，1≤b≤3，且，令，则5＜k≤4，所以，b＝log2k，所以，设函数，x∈（2，因为g（x）在（7，4]上单调递增，所以g（2）＜g（x）≤g（4），即，所以b﹣a的取值范围是（0，]．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．解：对于A，函数为偶函数，+∞）上单调递增；对于B，函数为奇函数；对于C，函数为偶函数，+∞）上单调递增；对于D，函数为偶函数，+∞）上单调递减．故选：AC．10．已知函数，下面说法正确的有（）A．f（x）的图像关于原点对称B．f（x）的图像关于y轴对称C．f（x）的值域为（﹣1，1）D．∀x1，x2∈R，且解：因为的定义域为R，则，所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，选项B不正确；因为，又因为2x＞4，所以2x+1＞4，所以，，所以，可得f（x）的值域为（﹣1，故选项C正确；设任意的x7＜x2，则，因为，，，所以，即f（x1）﹣f（x2）＜6，所以．故选：ACD．11．对于函数f（x）＝，下列四个结论正确的是（）A．f（x）是以π为周期的函数B．当且仅当x＝π+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值﹣1C．f（x）图象的对称轴为直线D．当且仅当时，解：函数f（x）＝，所以函数的图象为：故：函数的最小正周期为2π，故选项A错误．对于选项B：当x＝2kπ+π，函数取得最小值﹣7．对于选项C：根据函数f（x）图象，得到对称轴为直线．对于选项D：根据函数f（x）图象，得到当且仅当时，．故选：CD．12．已为函数，g（x）＝x﹣k，求数g（f（x），x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值可能为（）A．B．7C．D．解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，函数g（f（x））有4个不同的零点，即f（x）＝k有3个不同的根；根据题意，作出f（x）的图像明显地，根据二次函数和对数函数的性质1+x2＝﹣2，x3x4＝7，因为x4＞x3＞6，故x3+x4＞6＝7，令|log6x|＝1，得x＝，故x3+x4＜4+，又因为x3+x2+x3+x5＝﹣2+x3+x6∈（0，﹣2+7+，），故x1+x2+x4+x4的取值范围为：（0，）．故选：AB．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）x a（a∈R）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的值为3．解：由题意可知，，解得a＝4．故答案为：3．14．已知扇形OAB的圆心角为4rad，其面积是2cm2，则该扇形的周长是6cm．解：设扇形的半径为r，弧长为l，依题意可得，，解得，所以扇形的周长为2r+l＝2+6＝6cm．故答案为：6．15．设函数f（x）＝10x+x﹣6的零点为m，函数g（x）＝lgx+x﹣6的零点为n，则m+n＝6．解：令f（x）＝10x+x﹣6＝0得10x＝8﹣x，则f（x）的零点m为y＝10x与y＝6﹣x图象的交点之横坐标，同理函数g（x）＝lgx+x﹣6的零点n为y＝lgx与y＝3﹣x的交点之横坐标，又y＝10x与y＝lgx互为反函数，即它们的图象关于y＝x对称，所以y＝10x和y＝lgx与y＝6﹣x的交点也关于y＝x对称，由解得交点为（2，所以m+n＝6．故答案为：6．16．设函数的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意的x∈D，且f（x+k）＞f（x），则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x），且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣2a（x）为R上的“2022型增函数”，则实数a的取值范围是（﹣∞，337）．解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，由a≤0，当x＞2时，由函数为奇函数此时f（x+2022）的图像始终在f（x）图像的上方，故a≤0符合题意；由a＞0，当6＜x＜a时，x＞a时，由函数为奇函数要使f（x+2022）＞f（x）恒成立，由图象可得，解得6＜a＜337，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，故答案为：（﹣∞，337）．四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式．（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ）原式＝2lg5+×3lg4+﹣3＝﹣；（Ⅱ）[（）2﹣＝＝1．18．（12分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（2）求使f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＜0成立的实数m的取值范围．解：（1）因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，所以a＝7，当a＝0时，，满足，在[﹣1，5]上是增函数，证明如下：设∀x1，x2∈[﹣3，1]1＜x4，则，因为∀x1，x3∈[﹣1，1]且x4＜x2，所以x2﹣x3＞0，x1x7﹣1＜0，，所以f（x1）﹣f（x2）＜4，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[﹣2，1]上是增函数．（2）由f（m﹣1）﹣f（3﹣2m）＜0，得f（m﹣6）＜f（1﹣2m），由（1）知，f（x）在[﹣5．所以，解得．所以实数m的取值范围是．19．（12分）从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，B＝{x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m∈R}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求正实数m的取值范围．解：（1）依题意，2﹣2≤8x≤25，解得﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，当m＝5时，解不等式x2﹣4x﹣8≤0得：﹣1≤x≤7，即B＝[﹣1，所以A∪B＝[﹣2，8]．（2）选①，由（1）知，5]，解不等式x2﹣3x+4﹣m2≤3得：2﹣m≤x≤2+m，即B＝[4﹣m，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A⊆B，于是得或，解得m＞2或m≥4，所以正实数m的取值范围是{m|m≥4}．选②，由（1）知，4]，解不等式x2﹣4x+7﹣m2≤0得：7﹣m≤x≤2+m，即B＝[2﹣m，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⊆A，于是得﹣4＜2﹣m＜2+m≤8或﹣2≤2﹣m＜7+m＜5，解得0＜m≤5或0＜m＜3，所以正实数m的取值范围是{m|5＜m≤3}．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin2ωx﹣cos2ωx+m（0＜ω＜1）的图象关于点对称．（1）求ω，m的值；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数g（x），求g（x）在[0（1）f（x）＝1﹣cos2ωx﹣cos5ωx+m＝m+1﹣2cos6ωx，依题意可得m+1＝2，，k∈Z（3＜ω＜1），则m＝1，．（2）由（1）知f（x）＝2﹣6cos x，则．当x∈[0，6π]时，，则，故g（x）在[0，7π]上的值域为．21．（12分）2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0≤x≤4时，，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的消毒剂，试求a的最小值．（精确到0.1，参考数据：取1.4）解：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为，当5≤x≤4时，，解得x≥0，当3＜x≤10时，20﹣2x≥4，此时5＜x≤8，综上0≤x≤2，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经x（3≤x≤10）小时后，其浓度为＝，因为14﹣x∈[5，8]，4]，所以，当且仅当，即时，等号成立；所以其最小值为，由，解得，所以a的最小值为．22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（x）在[m，n]内是单调函数，n]时，f（x）的值域也是[m，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（Ⅰ）求证：[0，2]是函数的一个“优美区间”；（Ⅱ）已知函数有“优美区间”[m，n]，求出n﹣m的最大值．解：（1）∵在区间[0．又∵f（0）＝0，f（2）＝3，2]，∴区间[0，8]是f（x）＝x2的一个“优美区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，3）或[m，+∞），∴函数在[m．若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则，∴m、n是方程2x2﹣（a4+a）x+1＝0的两个同号且不等的实数根．∵，∴m，n同号3（a+3）（a﹣1）＞4，即a＞1或a＜﹣3，∵＝＝，∴当a＝3时，n﹣m取最大值．。