第十5章 傅里叶级数
1傅里叶级数
一、三角级数·正交函数系
概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω
2π.
常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1
k k y =∑=n
1
k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=
ω
2π.
若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞
=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，
当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1
n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞
=1
n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，
记A 0=
2
a 0
，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.
定理15.1：若级数
2
a 0+∑∞
=+1
n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数
2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.
概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰b
a φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.
注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；
2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰π
π-cosnx dx=⎰π
π-sinnx dx=0；⎰π
π-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；
⎰
π
π
-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰π
π
-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).
3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即
⎰
π
π
-2nx cos dx=⎰ππ
-2nx sin dx=π；⎰π
π
-21dx=2π.
二、以2π为周期的函数的傅里叶级数
定理15.2：若2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：
a n =
⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰π
π-f(x)sinnx π
1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，
∴⎰π
π-f(x )dx=2
a
⎰
π
π
-dx +∑⎰⎰∞
=1
n π
π
-n ππ
-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =
2
a 0
·2π=a 0π.
即a 0=⎰π
π-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )
b +cosnx (a
两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：
f(x)coskx=2a 0
coskx +∑∞
=1
n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有
coskx f(x )π
π
-⎰dx=2
a 0
⎰
π
π
-coskx dx +∑⎰⎰∞
=1
n π
π
-n ππ
-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.
由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分
kx cos a 2
π
π
-k ⎰
dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )π
π
-⎰dx= a k π，
即a k =⎰π
π-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )
b +cosnx (a
两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰π
π
-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).
概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里
叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数
系)的傅里叶级数，记作f(x)~
2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a .
注：若2a 0+∑∞
=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，
f(x)=2a 0+∑∞
=1
n n n sinnx )b +cosnx (a .
三、收敛定理
