数字通信复习题

1．消息、信息、信号的概念消息：语音、文字、图形、图像…信息：消息的有效内容不同消息可有相同内容信号：消息的载体通信系统中传输的是信号2．信息量定义，单位定义：消息中所含的信息量是该消息出现的概率P(x)的函数I = I [ P(x) ] I = log a [1/P(x)] = -log aP(x)单位：若对数以2为底（a=2）时单位是“比特”（bit — binary unit的缩写）；若以e为底时单位是“奈特”（nat—nature unit的缩写）；若以10为底时单位是“哈特”（Hart — Hartley的缩写）。

通常采用“比特”作为信息量的实用单位。

3．数字通信系统模型4．数字通信系统的主要性能指标衡量一个通信系统性能优劣的基本因素是有效性和可靠性，有效性是指信道传输信息的速度快慢；可靠性是指信道传输信息的准确程度。

（1）传输速率：码元速率（RB）：单位时间（s）内传输的码元数目－单位：波特(Baud)信息速率（Rb）：单位时间内传输的信息量－单位：比特/秒(b/s)对M进制：R b = R B log2 M消息速率（R M）：单位时间内传输的消息数目（2）错误率：（衡量可靠性的主要指标）误码率P e = 错误接收码元数/传输码元总数误比特率P b = 错误接收比特数/传输总比特数误字率P w = 错误接收字数/总传输字数误码率和误比特率的关系P b = E(n=错误比特数/传输总比特数)P e= P e x M / [2(M-1)] P e /2误字率和误比特率的关系：对于二进制，若一个字由k比特组成，则P w＝1 – (1 –P e)k （3）频带利用率：单位频带内能达到的信息速率，通常与所采用的调制及编码方式有关（4）能量利用率：传输每一比特所需能量1．某信源每天播报某地的天气预报，此地晴天、多云、阴、雨的概率分别为1/2、1/4、1/8、1/8 求：（1）晴、多云、阴、雨的各自所含信息量（2）信息串“晴-多云-阴-晴-晴-晴-多云-雨”所含的总信息量（3）此信源的每个消息的平均信息量（称为“信息熵”）2．3． 已知英文字母e 和z 出现的概率分别为0.105和0.001，求英文字母e 和z 的信息量。

解： e 的信息量 z 的信息量 4．某离散信源由0，1，2，3四种符号组成，其概率场为 求消息201 020 130 213 001 203 210 100 321 010 023 102 002 010 312 032 100 120 210的信息量。

解：此消息总长为N=57个符号，其中0出现23次(n1=23)，1出现14次(n2=14)，2出现13次(n3=13)，3出现7次(n4=17)。

求得此消息总的信息量5．求上例中消息的平均信息量。

解：每个符号的平均信息量(信源的熵)消息有N=57个符号，所以该消息所含总信息量为I =1.906N ≈108.64bit 6．已知二进制数字信号在2min 内共送了72000个码元。

(1)码元速率和信息速率各为多少？(2)如果码元宽度不变，但改为八进制数字信号，则其码元速率为多少?信息速率又为多少？)(121log )(log )1(22bit P I =-=-=晴晴)(381log )(log 22bit P I =-=-=阴阴)()(2)(4)( )2(雨阴天多云晴总I I I I I ++⨯+⨯=bit bit bit bit 332241++⨯+⨯=)(log )()(2i ii x p x p x H ∑-=)(241log )(log 22bit P I =-=-=多云多云)(381log )(log 22bit P I =-=-=雨雨)(14bit =)/(75.1814)3(符号符号数平均信息量总bit I I ===∴（即信2()log (0.105) 3.24I e bit =-=2()log (0.001)9.97I e bit=-=012331118448⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2222311123log 14log 13log 7log 844832.55282621107.55I bit =----=+++=311123log 14log 13log 7log844832.55282621107.55I bit =----=+++=31123log 14log 13log 84432.55282621107.55I bit =---=+++=222233111111log log log log 884444881.906H bit=----=33111111log log log log 884444881.906H bit =----=22(1)72000/(260)600()600(/)(2)B b B R B R R b s =⨯===解：码元宽度不变，指原来是二进制的码元宽度，现成为　八进制码元的宽度。

2228(1)72000/(260)600()600(/)(2)72000/(260)600()B b B B R B R R b s R B =⨯====⨯=解：码元宽度不变，指原来是二进制的码元宽度，现成为　八进制码元的宽度。

228882(1)72000/(260)600()600(/)(2)72000/(260)600()log 81800(/)B b B B b B R B R R b s R B R R b s =⨯====⨯===解：码元宽度不变，指原来是二进制的码元宽度，现成为　八进制码元的宽度。

228(1)72000/(260)600()600(/)(2)72000/(260)600()B b B B R B R R b s R B =⨯====⨯=解：码元宽度不变，指原来是二进制的码元宽度，现成为　八进制码元的宽度。

228882(1)72000/(260)600()600(/)(2)72000/(260)600()log 81800(/)Bb B B b B R B R R b s R B R R b s =⨯====⨯===解：码元宽度不变，指原来是二进制的码　八进制码元的宽度。

228882(1)72000/(260)600()600(/)(2)72000/(260)600()log 81800(/)B b B B b B R B R R b s R B R R b s =⨯====⨯===解：码元宽度不变，指原来是二进制的码元宽度，现成为　八进制码元的宽度。

7．已知某八进制数字通信系统的信息速率为12000b/s ，在收端半小时内共测得出现了216个错误码元，求系统的误码率。

解：8．某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。

试求该信息源中每个符号的信息量。

解：bA P A P I A 241log )(log )(1log 222=-=-== b I B 415.2163log 2=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.1165log 2=-= 9．设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为96log 961*4832log 321*16)(log )()(log )()(22264121+=-=-=∑∑==i i i i M i i x P x P x P x P X H =5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH ===10．设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。

试求码元速率和信息速率。

解：B 6B 118000 Bd 125*10R T -=== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===第二章1．信号的类型按取值方式不同可以分为模拟信号和数字信号 按信号确定性分确知信号和随机信号 按信号强度分为能量信号和功率信号 2．随机变量的数字特征 （1）数学期望 定义：对于连续随机变量 性质：若X 和Y 互相独立，且E (X )和E (Y )存在。

（2）方差8882-512000(/)/log 84000()216/(40003060)310b B b e R b s R R B P ====⨯⨯=⨯⎰∞∞-=dx x xp X E X )()(CC E =)()()()(Y E X E Y X E +=+)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ )()(X E C X C E +=+)()()(Y E X E XY E =CE(X)E(CX)=882-512000(/)/log 84000()216/(40003060)310b B b e R b s R R B P ====⨯⨯=⨯定义： 式中， 方差的改写： 对于离散随机变量， 对于连续随机变量， 性质：D ( C ) = 0D (X +C )=D (X )，D (CX )=C 2D (X ) D (X +Y )=D (X )+D (Y )D (X 1 + X 2 + … + Xn )=D (X 1) + D (X 2) + … + D (Xn )（3）矩 定义：随机变量X 的k 阶矩为 k 阶原点矩：a = 0时的矩： k 阶中心矩： 时的矩： 性质：一阶原点矩为数学期望： 二阶中心矩为方差： 3． 稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的。

一阶原点矩mX = E[X(t)] － 是信号的直流分量；一阶原点矩的平方mX 2 － 是信号直流分量的归一化功率； 二阶原点矩E [X 2( t )] － 是信号归一化平均功率；二阶原点矩的平方根{E [X 2(t)]}1/2 － 是信号电流或电压的 均方根值（有效值）； 二阶中心矩σX2 － 是信号交流分量的归一化平均功率; 若mX = mX 2 = 0，则σX2 = E [X 2( t )] ； 标准偏差σX － 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则σX 就是信号的均方根值 。

4． 自相关函数的性质5．功率频谱密度的性质)(f P X 和R (τ )是一对傅里叶变换：PX(f )的性质：PX (f ) ≥ 0, 并且PX (f )是实函数。

PX (f ) ＝PX (-f )，即PX (f )是偶函数 6．白噪声白噪声是指具有均匀功率谱密度Pn ( f )的噪声，即Pn ( f ) ＝ n 0/2式中，n 0为单边功率谱密度（W/Hz ）白噪声的任何两个相邻时间（即τ ≠ 0时）的抽样值都是不相关的。