高中数学人教A版选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质

1．不等式的基本性质

1．实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．

(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.

(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．

2．不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.

(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.

(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.

(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

(5)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

(6)如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n≥2)．

3．对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．

(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．

(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．

实数大小的比较

数学 选修4－5 不等式选讲配人教A版

已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，试比较m和n的大小． 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较 判断正负，得出大小

第一讲 不等式和绝对值不等式

不等式和绝对值不等式

1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；

(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；

(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c， |ax＋b|≥c， |x－c|＋|x－b|≥a.,

在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．

适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．

1．1 不 等 式

1．1.1 不等式的基本性质

1．回顾和复习不等式的基本性质．

2．灵活应用比较法比较两个数的大小．

3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．

1．实数的运算性质与大小顺序的关系．

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：

a＞b⇔a－b________；

a＝b⇔a－b________；

a＜b⇔a－b________．

答案: ＞0 ＝0 ＜0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．

思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.

答案: ＞

2.不等式的基本性质． (1)对称性：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.

(2)传递性：如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)加法：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b⇒a＋c＞b＋c.

推论：如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.即a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(4)乘法：如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc.

(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n＞1)．

word - 1 - / 4 1.1.1 不等式的基本性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()

A．m>0>nB．n>m>0

C．m

解析：1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)>0⇔mn(m－n)<0.

答案：D

2．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：由a－c>b－d，c>d⇒a>b；

而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足a>b，c>d，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．

答案：B

3．已知实数a，b，c满足c

A．ab>acB．c(b－a)<0

C．ab2>cb2D．a(a－c)<0

解析：由题意，知a>0，c<0，b的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．

答案：A

4．设a，b为正实数，则“a

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：若a0，b>0， word

- 2 - / 4 则1a>1b⇒－1a<－1b，

所以a－1a

若a－1a

且a>0，b>0⇒a2b－b

答案：C

5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()

A.1x－1y＞0 B．sin x－sin y＞0

C.12x－12y＜0 D．ln x＋ln y＞0

解析：函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，所以当x＞y＞0时，12x＜12y，即12x－12y＜0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，所以由x＞y＞0⇒1x＜1y⇒1x－1y＜0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x＞y＞0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x＞y＞0xy＞1 ln(xy)＞0 ln x＋ln y＞0，故D错误．

2019年

1.不等式的基本性质

课后篇巩固探究

A组

1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是( )

A.ac>bc B.ac>bc

C.loga(a-c)>logb(b-c) D.

解析∵c<0,∴-c>0.

又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac

故>0.

即.

答案D

2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是( )

A.a·lg x>b·lg x B.ax2>bx2

C.a2>b2 D.a·2x>b·2x

解析由a>b,当lg x≤0时,a·lg x>b·lg x不成立,故A错误.

当x=0时,ax2=bx2,故B错误.

若a=0,b=-1,则a2

∵2x>0,∴a·2x>b·2x,故D正确.

答案D 2019年

3.若角α,β满足-

A.(-2π,2π) B.(-2π,0) C.(-π,0) D.(-π,π)

解析因为-

又α-β=α+(-β),且α

答案B

4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是( )

A. B.>1

C.a2>b2 D.ab

解析由a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab

答案D

5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是( )

A.[-6,14] B.[-2,14] C.[-6,10] D.[-2,10]

解析令3a-2b=m(a+b)+n(a-b),

则所以

因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,

所以(a+b)≤,-(a-b)≤,

故-2≤3a-2b≤10. 2019年

答案D

6.已知0

解析∵a-<0,∴a<.

又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2

答案a2

7.已知-3

解析由题意可知0

答案(0,8)

8.设a>b>c>0,若x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是 .(从小到大)

解析因为x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x