2019-2020学年人教A版云南省昆明市三诊一模高三第一学期摸底文科数学试卷(解析版)

2019-2020学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U R =，集合{|10}A x x =-，集合{|23}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<C ．{|2}x x <D ．{|21}x x -<2．（5分）已知复数z 在复平面内对应的向量为OZ ，O 为坐标原点，则||z 为( )A ．1B ．2C ．3D ．23．（5分）已知矩形ABCD 中，||4AB =，||2BC =，则(AC BD = ) A ．20B ．12C ．12-D ．20-4．（5分）已知3(,),sin 25παπα∈=，则sin 2α等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-5．（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是( )A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%6．（5分）已知2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，且2F 在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若2||||OH F H =，则C 的渐近线方程为( ) A ．0x y ±=B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．20x y ±=7．（5分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()(9f n n 且*)n N ∈，已知f （1）1=，f （2）1=，且通过该规则可得()(1)2(2)1f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为( )A ．7B ．16C ．19D ．218．（5分）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A ．32B ．23C ．34D ．310．（5分）已知函数()x x f x e e -=-，则( ) A ．(2)f f <（e ）(5)f < B ．f （e ）(2)(5)f f << C ．(5)f f <（e ）(2)f <D ．(2)(5)f f f <<（e ）11．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．4612．（5分）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->在(0,2)π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是( ) A ．1(4，3]4B ．3(4，5]4C ．59(,]88D ．79(,]88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）能说明“若a b >，则22a b >”为假命题的一组a ，b 的值依次为 ． 14．（5分）若变量x ，y 满足20400x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2x y -的最大值为 ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B 、C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为 ． 16．（5分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-免征额-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见表：备注专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金．专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税 元． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉．为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连续5日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制成茎叶图如图，单位：扎(20支/扎）．（1）求甲、乙两户花农连续5日的日均销售量，并比较两户花农连续5日销售量的稳定性； （2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的概率．18．（12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =． （1）证明：平面1A BD ⊥面11BC D ；（2）求三棱锥11B A BD -与11D A BD -的体积比．19．（12分）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知111a b ==，464b =，2q d =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记212n n n c a b -=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是C 上的动点． （1）当||4PF =时，求直线PF 的方程；（2）过点P 作l 的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，直线OM 与C 的另一个交点为Q ，证明：直线PQ 经过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数()()x f x e ax a a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明120x x +>．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，直线l 的极坐标方程是cos()204πρθ-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(2,0)P ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11||||PM PN +的值． [选修4--5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|||22|f x x x =--． （1）求不等式()3f x -的解集； （2）若a R ∈，且0a ≠，证明：1|41||1|4()a f x a-++．2019-2020学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U R =，集合{|10}A x x =-，集合{|23}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<C ．{|2}x x <D ．{|21}x x -< 【分析】先求出集合A ，集合B ，图中阴影部分表示的集合为A B ，由此能求出结果．【解答】解：全集U R =，集合{|10}{|1}A x x x x =-=， 集合{|23}B x x =-<<，∴图中阴影部分表示的集合为{|21}AB x x =-<．故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、维恩图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知复数z 在复平面内对应的向量为OZ ，O 为坐标原点，则||z 为( )A ．1B 2C 3D ．2【分析】结合已知可先求出复数z ，进而可求复数的模长． 【解答】解：由题意可得(1,1)z =， 则||2Z =．【点评】本题主要考查了复数的概念及复数模的求解，属于基础试题． 3．（5分）已知矩形ABCD 中，||4AB =，||2BC =，则(AC BD = ) A ．20B ．12C ．12-D ．20-【分析】根据条件知，||4AB =，||2AD =，并可得出()()AC BD AB AD AD AB =+-，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：如图， ||4AB =，||||2BC AD ==，∴()()AC BD AB AD BA BC =++()()AB AD AD AB =+-22AD AB =- 416=-12=-．故选：C ．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知3(,),sin 25παπα∈=，则sin 2α等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【分析】先利用同角三角函数基本关系式计算cos α的值，再利用二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα=代入求值即可【解答】解：3(,),sin 25παπα∈=，24cos 1sin 5αα∴=--=-3424sin 22sin cos 25525ααα∴==-⨯⨯=-【点评】本题考察了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式的应用，解题时注意角的范围5．（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是( )A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60% 【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可【解答】解：根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况， 同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A 、B 对； 而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C 错； 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%54.7%60%+>，故D 对， 故选：C ．【点评】本题考查信息读取能力，考查根据所给信息进行判断和推理，属于基础题．6．（5分）已知2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，且2F 在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若2||||OH F H =，则C 的渐近线方程为( ) A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．20x y ±=【分析】由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，则答案可求．【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，若2||||OH F H =，可得在直角三角形2OHF 中，245HOF ∠=︒，可得C 的渐近线方程为0x y ±=． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 7．（5分）如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()(9f n n 且*)n N ∈，已知f （1）1=，f （2）1=，且通过该规则可得()(1)2(2)1f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为( )A ．7B ．16C ．19D ．21【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值．【解答】解：f （3）f =（2）2f +（1）11214+=++=；f （4）f =（3）2f +（2）14217+=++=； f （5）f =（4）2f +（3）78116=++=．故选：B ．【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】利用导函数的图象得到函数()f x 的单调性，观察选项即可得到答案．【解答】解：由()y f x '=的图象可知，函数()f x 的增区间为(3,1)--，(0,1)；减区间为(1,0)-，(1,3)；观察选项可知，只有D 选项符合题意； 故选：D ．【点评】本题主要考查原函数与导函数之间的关系，考查数形结合思想，属于基础题． 9．（5分）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( )A 3B ．23C 3D 3【分析】由已知利用正弦定理可求b 的值，由余弦定理进而可求2230a a +-=，解方程可得a 的值，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：120B =︒，21sin C ，2c =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得sin 7sin c Bb C==，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得217422()2a a =+-⨯⨯⨯-，可得2230a a +-=，解得1a =，或3-（舍去），11213sin 172272ABC S ab C ∆∴==⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题． 10．（5分）已知函数()x x f x e e -=-，则( ) A ．(2)f f <（e ）(5)f < B ．f （e ）(2)(5)f f << C ．(5)f f <（e ）(2)f <D ．(2)(5)f f f <<（e ）【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得()f x 在R 上为增函数，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()x x f x e e -=-，其定义域为R ， 有()0x x f x e e -'=+>，即函数()f x 在R 上为增函数， 又由25e <<，则有(2)(5)f f f <<（e ）； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性的判断和应用，注意分析函数单调性，属于基础题． 11．（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．46【分析】由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径． 【解答】解：作出截面图如图，则23OA =由截面圆的周长为4π，得24AB ππ=，则2AB =．∴2222(23)24OA AB ++=．故选：B ．【点评】本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 12．（5分）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->在(0,2)π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是( ) A ．1(4，3]4B ．3(4，5]4C ．59(,]88D ．79(,]88【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用，建立不等量关系，进一步求出结果． 【解答】解：数()sin()(0)4f x x πωω=->，由于(0,2)x π∈， 所以(,2)444x πππωωπ-∈--， 由于在该区间上有且仅有两个零点，所以24224πωπππωππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得5988ω<．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）能说明“若a b >，则22a b >”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，1- ． 【分析】由题意可取1a =，1b =-，即有22a b <．【解答】解：“若a b >，则22a b >”，能说明该命题为假命题， 此题答案不唯一，可取1a =，1b =-，即有22a b <，故答案为：1，1-．【点评】本题考查命题的真假判断，考查不等式的性质，运算能力和推理能力，属于基础题．14．（5分）若变量x，y满足2040x yx yy-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2x y-的最大值为4．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y=-表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足2040x yx yy-⎧⎪+-⎨⎪⎩的可行域如图，目标函数2z x y=-，画出图形：由4yx y=⎧⎨+=⎩，解得点(4,0)A，z在点A处有最大值：4204z=-⨯=，故答案为：4．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且45OAB∠=︒，则椭圆M的离心率为6．【分析】根据题意，利用B，C关于椭圆的对称轴对称，B，C的横坐标互为相反数，又BC a =，故C 的横坐标为2a x =，代入椭圆方程M 得，32y b =，故(2aB -，3)2b ，由3BC a b ==，再结合椭圆的性质，求出e 即可．【解答】解：AO 是与x 轴重合的，且四边形OABC 为平行四边形，//BC OA ∴，则B 、C 两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B 、C 的横坐标互为相反数，B ∴、C 两点是关于y 轴对称的．由题知：OA a =四边形OABC 为平行四边形，则BC OA a ==， 故C 的横坐标为2a x =，代入椭圆方程M 得，32y b =，故(2aB -，3)2b ， 由3BC a b ==， 所以222c a b b =-=， 故2633c e a ===， 故答案为：63．【点评】考查椭圆的对称轴，椭圆求离心率，中档题．16．（5分）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-免征额-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见表：级数全年应纳税所得额所税率(%)速算扣除数备注专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金．专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所得个税1880元．【分析】先求出这个人有应纳税所得额，由此能求出他全年应缴纳综合所得个税．【解答】解：由题意知这个人全年应缴纳综合所得个税为：⨯+--⨯+++--⨯= 360003%[16000024000160000(8%2%1%9%)6000036000]10%1880（元)．故答案为：1880．【点评】本题考查他全年应缴纳综合所得个税的求法，考查函数性质在生产生活中的实际运用等基础知识，考查运用求解能力和应用意识，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉．为进一步了解鲜花品种的销售情况，现随机抽取甲、乙两户斗南花农，对其连续5日的玫瑰花日销售情况进行跟踪调查，将日销售量作为样本绘制成茎叶图如图，单位：扎(20支/扎）．（1）求甲、乙两户花农连续5日的日均销售量，并比较两户花农连续5日销售量的稳定性； （2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个，求甲的销售量比乙的销售量高的概率．【分析】（1）由茎叶图能求出甲、乙连续5日的日平均销售量，由茎叶图可知乙的数据比较集中，说明乙的销售量比较稳定．（2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个，利用列举法能求出甲的销售量比乙的销售量高的概率．【解答】解：（1）记甲、乙连续5日的日平均销售量分别是x 甲，x 乙， 则()11825273040285x =++++=甲， ()12528303136305x =++++=乙， 由茎叶图可知乙的数据比较集中，说明乙的销售量比较稳定．（2）从两户花农连续5日的销售量中各随机抽取一个，总的基本事件为25个，分别为： {18，25}，{18，28}，{18，30}，{18，31}，{18，36}， {25，25}，{25，28}，{25，30}，{25，31}，{25，36}， {27，25}，{27，28}，{27，30}，{27，31}，{27，36}， {30，25}，{30，28}，{30，30}，{30，31}，{30，36}， {40，25}，{40，28}，{40，30}，{40，31}，{40，36}，其中甲高于乙的有8个基本事件，分别为：{27，25}，{30，25}，{30，28}，{40，25}，{40，28}，{40，30}，{40，31}，{40，36}，∴甲的销售量比乙的销售量高的概率825p =． 【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查茎叶图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =． （1）证明：平面1A BD ⊥面11BC D ；（2）求三棱锥11B A BD -与11D A BD -的体积比．【分析】（1）要证明面面垂直，只需要证明先与另一个面内的相交直线垂直即可， （2）由题意知两个三棱锥的底面积相同，又证明11//B D 面1A BD ，所以两个三棱锥的高也相同，所以体积之比为1:1．【解答】证明：（1）连接1AD ，因为1AD AA =，所以11A D AD ⊥， 因为11//AD BC ，所以11A D BC ⊥， 又111A D C D ⊥，1111BC C D C =，1A D ∴⊥平面11BC D ，又1A D 真包含于面1A BD 所以平面1A BD ⊥平面11BC D ． （2）连接11B D ，因为11//B D BD 所以11//B D 平面1A BD ，所以1B ，1D 到面1A BD 的距离相等，胡三棱锥11B A BD - 与11D A BD - 体积之比为1:1．【点评】考查线面垂直的证明，及三棱锥的体积的算法．属于中档题．19．（12分）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知111a b ==，464b =，2q d =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记212n n n c a b -=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【分析】本题第（1）题根据等差数列和等比数列的通项公式代入即可求出公差d 和公比q ，即可得到数列{}n a ，{}n b 的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结论求出数列{}n c 的通项公式，在求数列{}n c 的前n 项和n S 时采用分组求和法利用等差数列和等比数列求和公式分别求和再相加即可得到结果．【解答】解：（1）由题意，334164b b q q ===，解得4q =． 2q d =，2d ∴=．∴数列{}n a 的通项公式为1(1)221n a n n =+-⨯=-，数列{}n b 的通项公式为1114n n n b b q --==．（2）由（1），知21212122(21)14434n n n n n c a b n n ---=+=--+=-+． 故12n n S c c c =++⋯+1321(14)(54)(434)n n -=++++⋯+-+ 1321(1543)(444)n n -=++⋯+-+++⋯+22(143)4(14)214n n n +--=+- 21244215n n n +-=-+． 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查了方程思想和分组求和法的应用．本题属中档题．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是C 上的动点． （1）当||4PF =时，求直线PF 的方程；（2）过点P 作l 的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，直线OM 与C 的另一个交点为Q ，证明：直线PQ 经过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）设点0(P x ，0)y ，由||4PF =可解得P 的坐标，进而求得PF 的方程； （2）表示出直线OM 方程并与抛物线方程联立得到Q 点坐标，进而可求出直线PQ 的方程，得到恒过的点坐标【解答】解：（1）设点0(P x ，0)y ，由||4PF =得014x +=，解得03x =，所以0y =±PF k ==所以直线PF的方程为：y =y =（2）证明：设20(4y P ，00)(0)y y ≠，则0(1,)M y -，直线OM 的方程为：0y y x =-，联立024y y x y x=-⎧⎨=⎩，整理得2240y x x -=，解得204(Q y ，04)y -， ①当02y =±时，直线PQ 的方程为1x =；②当02y ≠±时，直线PQ 的方程为2000204()44y y y y x y -=--， 化简得：0204(1)4y y x y =--， 综上，直线PQ 恒过点(1,0)．【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查直线恒过点问题，属于中档题． 21．（12分）已知函数()()x f x e ax a a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明120x x +>． 【分析】（1）求导后，分0a 及0a >讨论即可； （2）先求得1a >，设211(1)1x t t x +=>+，通过变形可得只需证2(1)1t lnt t ->+，再构造函数证明即可．【解答】解：（1）由题意，得()x f x e a '=-，①当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=，得x lna =，当x lna <时，()0f x '<，()f x 在(,)lna -∞上单调递减；当x lna >时，()0f x '<，()f x 在(,)lna +∞上单调递增．（2）证明：由于()f x 有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <， 由（1）可知，当0a 时，()f x 在R 上单调递增，不符合题意；当0a >时，()()(1)0min f x f lna a a lna alna ==-+=-<，即0lna >，解得1a >； 此时有1(1),(0)10f f a e-==-<，故存在1(1,0)x ∈-，使得1()0f x =，由于1(1)x y e x lnx x =--->，所以11x y e x'=--在(1,)+∞上单调递增， ∴当1x >时，20y e '>->，故函数1(1)x y e x lnx x =--->单调递增， ∴当1x >时，120x y e x lnx e =--->->，()(1)(1)0a lna a f a lna e a a lna a e a lna +∴+=-++=--->，∴存在2(,)x lna a lna ∈+，使得2()0f x =，综上，当1a >时，()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：由于1212(1),(1)x x e a x e a x =+=+，且1210x lna x -<<<<，则12011x x <+<+， 11(1)x lna ln x ∴=++，22(1)x lna ln x =++，∴221111x x x lnx +-=+， 设211(1)1x t t x +=>+，则212111x t x x x lnt+⎧=⎪+⎨⎪-=⎩，则121111lnt x t tlnt x t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪-⎩， 要证120x x +>，只需证(1)201t lnt t +->-，即证2(1)1t lnt t ->+， 设2(1)()(1)1t h t lnt t t -=->+，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，∴当1t >时，()0h t >，即2(1)1t lnt t ->+，故120x x +>． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查转化思想，构造函数思想以及推理论证，运算求解能力，有一定的难度．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，直线l的极坐标方程是cos()04πρθ-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(2,0)P ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11||||PM PN +的值． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【解答】解：（1）线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，整理得：222(sin )6ρρθ+=，转换为直角坐标方程为：22162x y +=．直线l的极坐标方程是cos()04πρθ-=．转换为直角坐标方程为：20x y +-=．（2）由于点(2,0)P 在直线l 上，所以可设直线的参数方程为32cos 4(3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），即2(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线C的直角坐标方程为221143622t t -++⨯=，化简得：210t -=．所以12t t +=121t t =-，故：121212121111||||||||||t t PM PN t t t t -+=+===． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|||22|f x x x =--． （1）求不等式()3f x -的解集； （2）若a R ∈，且0a ≠，证明：1|41||1|4()a f x a-++． 【分析】（1）运用零点分段讨论法求解；（2）易知函数()f x 的最大值为1，再利用绝对值不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）不等式()3f x -等价于0223x x x <⎧⎨-+--⎩或01223x x x <⎧⎨+--⎩或1223x x x ⎧⎨-+-⎩， 解得10x -<或01x <或15x ， 所以不等式的解集为{|15}x x -；（2）证明：由（1）知函数()f x 的最大值是f （1）1=，即()1f x 恒成立， 因为1111|41||1||411||4||4|4||a a a a aa a a -++-++=+=+，当且仅当12a =±时等号成立，1|41||1|4()a f x a∴-++，即得证． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法及性质的运用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．。

秘密★启用前【考试时间：1月3日 15：00一17：oo 】昆明市2 020届高三“三诊一模”摸底诊断测试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号·、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。

‘写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

L 设全集U ＝R ，·集合A ＝｛x ｜x －1≤0｝，集合B ＝｛x ｜一2＜x ＜3｝，则图中阴影部分表示的 集合为A ．｛x ｜x ＜3｝B ．｛x ｜－3＜x ≤1｝C ．｛x ｜x ＜2｝D 、｛x ｜－2＜x ≤1｝2．已知复数z 在复平面内对应的向量为OZ ，O 为坐标原点，则｜z ｜为A 、1B 、2C 、3D 、23、己知矩形ABCD 中，｜AB ｜＝4，｜BC ｜＝2，则AC BD ＝A ．20B ．12C ．一12D ．－204．己知α∈（,2ππ），sin α＝35，则sin2α＝ A ．一2425 B ．2425 C ．－725 D ．725 5．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，I 、·II 类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是IV 类水质D ．2018年I 、II 类水质的占比超过60％6．己知F 2为欢曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影 为点H ，O 为坐标原点，若｜OH ｜＝｜F 2H ｜，则C 的渐近线方程为A 、x ±y ＝0B 、3x ±y ＝0C 、x ±3y ＝0D 、x ±2y ＝07．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个 圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的 另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种 规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数 记为f （n ）（n ≤9且n ∈N*），己知f （1）＝l ，f （2）＝l ，且通过该规则可得f （n ）＝f （n 一l ）十2f （n 一2）＋1，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为A 、7B 、16C 、19D 、218．设'()f x 是函数f （x ）的导函数，y ＝'()f x 的图象如图所示，则y ＝f （x ）的图象可能是。

云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』1z i =+，∴z 对应的点为(1,1)， ∴点位于第一象限，故选：A.『点睛』本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）．A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A.1-B. 1C. 12-D.12『答案』A『解析』因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-又tan()3αβ-=，tan 2β=， 故5tan -116α==-. 故选：A.5.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.3B.C.2D.4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C.D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V=⨯⨯⨯=．故选：B．7.执行如图所示的程序框图，若输出65S=，则输入的N可以是（）A. 3B. 4C. 5D. 6『答案』B『解析』依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：1,1k S ==，第一次循环： 112,1S =+=1N >不成立，第二次循环：112k =+=，111,22S =+=，、2N >不成立； 第三次循环：213k =+=，114,133S =+=3N >不成立；第四次循环：314k =+=，311,44S =+=4N >不成立；第五次循环：415k =+=， 116,155S =+=5N >成立输出65S =.据此可得：4N =. 故选：B.8.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『答案』C『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.9.已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. b c a >>D. b a c >>『答案』D 『解析』ln31b =>，433log 31,log 12a c =<=<， ∴b 最大，343,32a c ==，∴2142323a c a c -=⋅⇒=， 考察函数2xy =与3xy =图象，可得2110c a c a a <-⇒-<-<，∴a c >， ∴b a c >>，故选：D.的10.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDCC. PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A11.设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』B『解析』①()()f x f x -=是偶函数，①正确；②()f x π-|sin()|cos()x x ππ=-+-|sin |cos x x =-()f x ≠, 故()f x 的图象不关于直线2x π=对称，②错误；③去绝对值，则sin cos ,[2,2]()sin cos ,[2,22]x x x k k f x x x x k k πππππππ+∈+⎧=⎨-+∈++⎩)cos ,[2,2]4()),(2,22]4x x x k k f x x x k k πππππππππ++∈+=⎨⎪-∈++⎪⎩故[2,2]x k k πππ∈+，则()[f x ∈-，(2,22x k k ππππ∈++，则()(f x ∈-，综合得()[f x ∈-，即()f x 的最小值为1-，③错误；④由x ∈(,0)π-，化简()|sin |cos f x x x =+sin cos x x =-+)4x π=-，令4t x π=-，则5sin ,(,)44y t t ππ=∈--， 此时sin y t =有且仅有一个极小值点，故()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点. ④正确. 故选：B12.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A.B. C. 3D.32『答案』C『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ,准线l 与x 轴交于点E ，如图：在Rt FED 和Rt FEC ∆中，由勾股定理得：222222112DF EF ED p y p px =+=+=+， 222222222CF EF EC p y p px =+=+=+，又因为DF =，所以2211222222322DF p px p x p px p x CF++===++. 由抛物线定义知，11222x p p FA x +=+=，22222x p p FB x +=+=， 所以12232FA x pFBx p+==+.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=______．『答案』1『解析』如图所示：12AE AB AD =+，DB AB AD =-，所以()22111222⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪⎝⎭AE DB AB AD AB AD AB AD AB AD ， 因为AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=，又2AB =，1AD =，所以2AB =，1AD =， 代入数据可得14112⋅==⨯-=AE DB . 故答案为：114.已知ABC 内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且a =b =4B π=，则c =_____．『答案』3『解析』因为a =b =4B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-可得2522c =+-⨯， 化简可得223=0c c --，解得3c =或-1c =（舍）. 故答案为：3.15.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从两个条件：①3nn n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q 或3q =-（舍去），故2q ，由321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点．（2）连接,,DE NE PO ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥，因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点，PO AD ⊥ 所以PO ⊥平面ABCD ．设AB x =，则363P ABCD V x -==，解得2x =，则PO 1ON =，所以111232D ONE N ODE V V --==⨯⨯⨯=，设D 到平面OEN 的距离为d ，12112OENS=⨯⨯=，所以13d =d =即点D 到平面α 19.经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =． （1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）22:12x C y +=∴椭圆:C 长轴长2a =，半焦距1c =．点M 在C 上，∴122MF MF a +==1||MF MP =，∴2212||r PF MP MF MF MF ==+=+=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 根据题意画出图象：如图A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥∴22121110AF AF x y ⋅=+-=，又221112x y +=， 解得10x =，11y =±，若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得224,313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若11y =-，同理可求得2ABF 的面积：43S =． 综上所述，2ABF 的面积为：43． 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．①求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； ②以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率； （2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大． 解：（1）①当天的销售量12n ≥时，利润12(500300)2400y =⨯-=；当天的销售量12n <且n N ∈时，利润500123005003600y n n =-⨯=-； 所以当天的利润y 关于销售量n 的函数解析式为5003600,12,()2400,12,n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩．②记“当天的利润不低于1900元”为事件A ，由50036001900n -≥，解得11n ≥， 所以事件A 等价于当天的销售量不低于11箱； 所以263022181053()15075P A ++++==，即当天的利润不低于1900元的概率为5375． （2）若当天的进货量为11箱时，日销售量为8箱的利润为700元，日销售量为9箱的利润为1200元，日销售量为10箱的利润为1700元，日销售量不低于11箱的利润为2200元则日平均利润为：11[700101200141700202200(2630221810)]1940150y =⨯+⨯+⨯+⨯++++=（元）若当天的进货量为12箱时，日销售量为8箱的利润为400元，日销售量为9箱的利润为900元，日销售量为10箱的利润为1400元，日销售量为11箱的利润为1900元，日销售量不低于12箱的利润为2400元，则日平均利润为：215720[40010900141400201900262400(30221810)]1503y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++=（元）由于12y y >，所以小李今后应当每天购进11箱基围虾． 21.已知1()22xf x e x =--． （1）证明：()0f x >；（2）对任意1x ≥，sin 21ln 0x e x ax x +--->，求整数a 的最大值． （参考数据：sin10.8,ln20.7≈≈）解：（1）1()22xf x e x =--，则()2x f x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =， 当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增． 所以min 13()(ln 2)22ln 22ln 2022f x f ==--=->，所以()0f x >． （2）由sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >， 由ln 2sin10.812333e e =<<<=，得整数2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明对任意1x ≥，sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立即可． 由（1）知122xe x >+，则有sin 12sin 2xex >+， 由此可得：sin 2221121ln 2sin 21ln 2sin 2ln 22x e x x x x x x x x x x x +--->++---=+---， 令212sin 2)l (n 2x x x x x g =+---，则1()2cos 22g x x x x'=+--， 又21()22sin 0g x x x''=+->，所以()g x '单调递增， 当1x >时，()(1)2cos112cos103g x g π''>=->-=，()g x 在(1)+∞上单调递增．故当1x ≥时，3()(1)2sin102g x g ≥=->，所以sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立， 综上所述：整数a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4—4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=，由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4—5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->.当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x > 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞.因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式. 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A ．B ．C ．3D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=u u u r u u u r ______．14．已知ABC V 内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且a =，b =4B π=，则c =_____．15．若“0x R ∃∈，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是______．16．某校同时提供A B 、两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_____分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共_____分．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从两个条件：①3n n n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD V 为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 19．（12分） 经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF V 的面积．20．（12分）近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．（i ）求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； （ii ）以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率；（2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大．。