中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案

中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习及答案

一、反比例函数

1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．

（1）求出双曲线的解析式；

（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．

【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，

∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，

∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴△CEO∽△DEB

∴ = =3，

设D（10﹣m，m），其中m＞0，

∴C（3m，3m），

∵点C、D在双曲线上，

∴9m2=m（10﹣m），

解得：m=1或m=0（舍去）

∴C（3，3），

∴k=9，

∴双曲线y= （x＞0）

（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0）， ∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1， ∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB

= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，

∴四边形OCDB的面积是17

【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．

2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ ，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．

【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣ ，

∴反比例函数的解析式为y=﹣

（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B点坐标为（﹣1， ），

将x=﹣1代入y=﹣ 中，得y= ，

∴点B（﹣1， ）在反比例函数y=﹣ 的图象上

（3）解：由y=﹣ 得xy=﹣ ，

∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣ 的图象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣ ，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．

∵△OQM的面积是 ，

∴ OM•QM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ ，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是 ，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．

3．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．

（1）k的值是________；

（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=

图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．

【答案】（1）﹣2

（2）3

【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），

依题意得： ，

解得：k=﹣2．

故答案为：﹣2．

（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，

∴BO∥CE，

∴△AOB∽△AEC．

又∵ = ，

∴ = = ．

令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，

∴BO=b；

令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，

解得：x= ，即AO= ．

∵△AOB∽△AEC，且 = ，

∴ ．

∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．

∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，

解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．

故答案为：3 ．

【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；

（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

4．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．

【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）

∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）

∵顶点在直线y=x+3上，

∴﹣2+3=m﹣1，

得m=2；

（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，

∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为： a2+a+2， 即点N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，

∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2 ，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，

而NB2=（ a2+a+2）2 ，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4

∴NF2=NB2 ，

NF=NB

（3）解：连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA，

∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB，

∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，

∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°，

又∵∠FAB+∠MAF=90°，

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴ = ，PF2=PA×PB= ，

过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，

PG= = ，

∴PO=PG+GO= ， ∴P（﹣ ，0）

设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣ ，0）代入y=kx+b，

解得k= ，b= ，

∴直线PF：y= x+ ，

解方程 x2+x+2= x+ ，

得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），

当x=﹣3时，y= ，

∴M（﹣3， ）．

【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ， 即可得出到NF=NB。

（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。

5．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣ （x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣ （x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．

（1）求△APQ的面积；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；

（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．

【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：

∵点A的横坐标为m,且在函数 上，AP∥x轴,且点P在函数 上，

∴点A（m, ）,点P（－m, ）,

∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,

∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,

∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,

∴S△PQM＝S△PRQ ， S△ANQ＝S△ARQ,

∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4