华东师大版数学九年级上月考知识点小结
第21章 二次根式
1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。
2、最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）；
③分母不含根式。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
4、二次根式的主要性质
（1）双重非负性：)0(0≥≥a a
（2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。
＊（3）绝对性：⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a
5、二次根式的运算
（1）因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
（2）有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（3）二次根式的加、减法
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并
（4）二次根式的乘、除法
二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。
0,0).a b ⋅=≥≥
= (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
附：1、根式
)0,0(>≥a b a b 的化简方法 （1）把a b 化为,a
b 然后分母有理化为.a ab （2）把a b 化为a a a b ⨯⨯，然后化为.a
ab 2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：
(1)根据（a ）a =2)0(≥a 可知a
(2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是y b x a
第22章 一元二次方程：
1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02
=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这
样的方程叫一元二次方程．．．．．．
。 2、把02
=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
3、解一元二次方程的方法：
①直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，可用直接开平方的方法. ②配方法 ：将一元二次方程20
(0)ax bx c a ++=≠变为2
()(0)+=≥x m n n 的形式。 配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项；把常数项移到方程的右边；
（2）化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． ③公式法 ：a
ac b b x 242-±-= （注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式） ④因式分解法 ： 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
4、 根的判别式：2
4b ac ∆=-
当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b 2-4ac<0时，方程无实数根。
5、根与系数的关系：如果一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根分别为x 1、x 2，则有： a
c x x a b
x x =⋅-=+2121。 6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：
①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②
2
1212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-
④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+ （3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x
（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根
7、一元二次方程实际应用问题归纳
“连续变化”问题 （平均增长率问题）
特征:始量a 经过两次连续增加（或降低 ）且百分率是相同（x ）.
（第一阶段）→ 开始量a
（第二阶段）→ 变化第一次为：a ±a. x 或a(1±x )
（第三阶段）→ 变化第二次为：a(1±x )+a(1±x ).x 或a(1±x )2
.
如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x )2=b
面积问题：在一个图形中切除另外一个图形
注意平移思想的使用
利润问题：每件的利润⨯数量=总利润，每件的利润=售价-进价
注意：
①有关涨价和降价应用问题方程一般根据变化情况设未知数；解这类方程先缩小倍
