第二章谓词逻辑
在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。
例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。
设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。显然（p∧q）→r不是重言式。
因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。
2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体与谓词
我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。
定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。
谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。
个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。
例2.1-1⑪海水是咸的。
⑫张强与张亮是兄弟。
⑬无锡位于上海与南京之间。
⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。⑪中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。为方便起见，将命题称为零元谓词。
例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：
P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。
这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。
然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。例如谓词P(x)就不是一个命题。这是因为谓词P(x)中的个体x不是一个确定的个体，称其为个体变元。只有将个体变元代以用具体或者特定的个体时，才能构成命题，我们称其中具体或者特定的个体为个体常元。
例2.1-2设P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。a表示“海水”，b表示“张强”，c表示“张亮”，d表示“无锡”，e表示“上海”，f表示“南京”。
则例2.1-1中⑪可符号化表示为P(a)；
⑫可符号化表示为Q(b,c)；
⑬可符号化表示为R(d，e，f)。
需要指出，在谓词演算中，个体之间的顺序有时是无关紧要的，如例2.1-1⑫；但有时却是有要求的，如例2.1-1⑬，用例2.1-2中的谓词及个体的符号化含义，R(e，f，d)将变成“上海位于南京和无锡之间”。
定义2.1-2在谓词逻辑中，谓词函数中的个体变元x的取值范围称为该谓词的个体域(Domain of Individual)，谓词的个体域也就是谓词函数的定义域。
例2.1-3 将下列命题用零元谓词符号化。
⑪C++和Java都是计算机高级程序语言。
⑫如果奔腾Ⅱ比奔腾Ⅴ性能好，那么奔腾Ⅱ比奔腾Ⅵ性能好。
⑬If Zhangming is higher than Limin and Limin is higher than Zhaoliang,then Zhangming is higher than Zhaoling.
⑭那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚的《离散数学》参考书。
解⑪F(x)：x是计算机高级程序语言；a：C++；b：Java；
则命题符号化为：)
a
F
F∧。
)
(b
(
⑫L(x，y)：x比y性能好；a：奔腾Ⅱ；b：奔腾Ⅴ；c：奔腾Ⅵ；
则命题符号化为：L(a，b)→L(a，c)。
⑬H(x，y)：x is higher than y；a：Zhangming；b：Limin；c：Zhaoliang；
则命题符号化为：(H(a，b)∧H(b，c))→H(a，c)。
⑭F(x)：x是大学生；G(x)：x是用功的；H(x): x戴着眼镜；
I(y): y是参考书；J(y): y是《离散数学》；K(y): y是大的；L(y): y是厚的；
M(x，y): x在看y；a：那位；b：这本。
则命题可符号化为：)
I
b
b
a
K
L
b
H
b
J
a
∧
∧
∧。
∧
∧
G
F∧
∧
a
(
(
)
(
)
(
,
(
M
)
))
(
(b
a
(
)
(
(
))
)
2.1.2 量词
在谓词逻辑中仅有上述给出的个体和谓词是否足够呢？
例2.1-4符号化下面语句。
⑪所有的大学生都会说英语；
⑫有的大学生会说英语。
在这两个语句中，除了有个体词和谓词外，还有表示数量的词，为此，介绍两个量词，全称量词和存在量词。
定义2.1-4⑪全称量词(Universal Quantifier)：在自然语言中“所有的”、“一切”、“任意的”、“每一个”等表示数量的词，称为全称量词。它用于描述讨论范围中的全部个体，用符号“∀”表示。∀xF(x)表示个体域里的所有个体均有性质F；
⑫存在量词(Existential Quantifier)：用符号“∃”表示，对应自然语言中“存在一些”、“至少有一个”等表示数量的词。∃xF(x)表示个体域中存在个体具有性质F。
我们注意到，在量词的定义中都特别提到个体域的概念，这是很重要的。在符号化时，必须首先明确个体域。
例2.1-5在例2.1-3中考虑个体域Ｄ为所有大学生组成的集合；F(x)：x会说英语。则
