2014年春季新版新人教版八年级数学下学期18.1.2、平行四边形的判定同步练习5

探究新知 素养考点 1 利用平行四边形的判定定理3判断平行四边形
例3 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点
，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， A
D
∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ，
E
OF
B
C
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
A 1O
D
∠AOD=∠COB
2
OB=OD
B
C
∴△ADO ≌△CBO
∴ ∠1=∠2
∴AD∥BC 同理 AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
探究新知Biblioteka 平行四边形的判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
D
O
几何语言：
∵OA=OC OB=OD
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，又∵∠D＝∠B＝55°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°. ∴四边形ABCD是平行四边形．
巩固练习
2.判断下列四边形是否为平行四边形：
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如何证明这 个结论呢？
探究新知
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 你能用平行
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
四边形的定 义来证明吗？
证明： 连接AC， 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知)，

新课导入
情境引入
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之 一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么 铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
那这是为什么呢？ 会不会跟我们学 过的平行四边形
有关呢？
只要使互相平行的 夹在铁轨之间的枕 木长相等就可以了
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
讲授新课
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
D
证明思路
B
C
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
证明：连接AC.
∵AB∥CD，∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中, AB=CD，
∠1=∠2，
AC=CA， ∴△ABC≌△CDA(SAS)， ∴BC=DA .
A 1
B
又∵AB=CD,
八年级 数学
课件全新制作
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
18.1.2.2 平行四边形的判定（2）
目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
学习目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定方法.（重点）
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难 点）
例4 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落 到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接 BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA， ∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′.

18.1.2 平行四边形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容三角形中位线定理．2．内容解析三角形中位线定理是三角形的重要定理．它揭示了连接三角形任意两边中点的线段与第三边的位置关系和倍分关系，与相似等内容有着密切的联系．三角形中位线定理的证明以平行四边形的有关性质和判定为依据，是平行四边形知识的综合应用．研究平行四边形时，常常把它转化成三角形，应用三角形有关知识研究它．本节利用平行四边形研究三角形中的有关问题．三角形中位线定理的探索和证明，可以完整地体现“运用合情推理提出猜想、运用演绎推理证明猜想”的过程，发展推理能力．基于以上分析，本节课的教学重点是：探索并证明三角形中位线定理．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容．(2)经历探索、猜想、证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力．2．目标解析目标(1)的具体要求是：明确三角形中位线与中线的区别，明确三角形中位线定理的条件与结论，能灵活运用三角形中位线定理解决相关问题．目标(2)的具体要求是：理解在定理发现和证明过程中运用的归纳、类比、转化等思想方法．三、教学问题诊断分析三角形中位线定理的证明需要添加辅助线，利用平行四边形的判定和性质进行证明．虽然学生已经有了平行四边形、三角形的知识，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线问题接触不多，因此教师需要适当引导，帮助学生自己寻找添加辅助线的方法．教学中，教师需要重点分析添加辅助线的思考过程．让学生理解证明的结论既有平行关系，又有数量关系．联想学过的知识，可通过添加辅助线，构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等证明结论成立．基于以上分析，本节课的教学难点是：三角形中位线定理证明的思路分析，以及如何添加适当的辅助线，构造平行四边形．四、教学过程设计(一)提出问题，观察猜想问题1我们研究平行四边形时，经常采用把平行四边形转化为三角形的问题．现在我们考虑，能否用平行四边形研究三角形的有关问题？请看下面问题：如图18.1.2(3)-1，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？师生活动：教师直接提出问题，让学生思考问题，测量DE的长度，作出初步猜想：DE∥BC，DE＝BC．设计意图：提出问题，发现结论，提出猜想．(二)分析问题，证明猜想问题 2 要确定猜想正确，必须进行证明．这首先要对照图形，写出已知、求证．你能写出来吗？师生活动：学生画出具体图形并写出已知、求证．设计意图：把命题的题设和结论具体化．追问1：怎样分析证明思路？师生活动：教师引导学生分析，判定两条直线是否平行，可以用平行线的判定，也可以用平行四边形的性质．由于已知条件是线段相等关系(中点)，而从线段相等出发证明线段平行，应该用平行四边形的判定．但是图中没有平行四边形，因此需要构造平行四边形．让学生构造不同的平行四边形，如图18.1.2(3)-2(1)-(5)．图18.1.2(3)-2设计意图：让学生运用把三角形问题转为平行四边形问题的思想，构造出不同的平行四边形，形成不同的证明方案．追问2：上面的五种方案是否可行？如可行，请说出辅助线的画法；如不可行，请说明原因．师生活动：学生在独立思考的基础上分小组讨论，教师进行必要的启发．设计意图：在上述方案中，方案(1)(2)(3)无法实施，因为根据现有的知识无法判定平行四边形．而方案(4)(5)可行．让学生经历从失败到成功的过程，体会数学问题的解决过程伴随着挫折，需要持之以恒地理性思考．问题3 请用适当的方法证明猜想．师生活动1：教师引导学生针对方案(4)(5)进行证明．方案(4)有以下两种证明方法，方案(5)证明方法与方案4类似．方法1：如图18.1.2(3)-3，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接CF ．由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD ＝FC ，因此有BD ∥FC ，BD ＝FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF ＝BC ．因为DE ＝DF ，所以DE ∥BC ，且DE ＝BC ．(也可以过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ，证明方法与上面类似)方法2：如图18.1.2(3)-4，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接CF ，CD 和AF ．又AE ＝EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD ＝FC ．所以BD ∥FC ．又AD ＝BD ，所以BD ＝FC ．所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF ＝BC ．因为DE ＝DF ，所以DE ∥BC ，且DE ＝BC ．设计意图：用演绎推理证明猜想，发展推理能力．问题4 请用自己的语言说出得到的结论．师生活动：教师引导学生用自然语言和几何语言描述定理内容：(1)三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)结合图形给出定理的几何语言表达形式：在△AB C 中，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以 DE ∥BC ，且DE ＝BC ．设计意图：把陈述性知识转化为推理程序．(三)应用新知，练习巩固如图18.1.2(3)-5，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，CB ＝6；D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，则Rt △ABC 的中位线分别是_______________；四边形AEDF 的周长为____________．设计意图：辨析三角形中位线与中线，勾股定理，三角形中位线定理的应用．(直角三角形斜边上的中线出现的太早，在矩形中出现) F A B CD E 图18.1.2(3)-3(四)综合应用，发展能力例1在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．师生活动：教师引导学生分析，因为E，F，G，H分别是线段的中点，我们应用三角形中位线定理．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以通过添加辅助线——连接AC或BD，构造“三角形中位线”．证明：如图18.1.2(3)-6，连接AC ．△DAC 中，因为AH ＝HD ，CG ＝GD ，所以HG ∥AC ，HG ＝AC ．同理EF ∥AC ，EF ＝AC ．∴HG ∥EF ，且HG ＝EF ．∴四边形EFGH 是平行四边形．设计意图：通过添加辅助线，把四边形分为两个三角形，运用三角形中位线定理和平行四边的判定定理，证明平行四边形．由此题，我们可以得出一般结论：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形．(五)反思小结，深化提高问题5 通过本节课的研究，你感悟到什么？还有什么疑惑？师生活动：让学生回顾课堂中学到的知识，畅谈由此受到的启发．教师在倾听学生的回答时，注意适时的归纳总结．设计意图：学生自主小结，提高学生的数学概括表达能力，增强学生学习过程中的反思意识．有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化．作业：教科书49页练习第1，2，3题；习题18.1第11，12题．五、目标检测设计1．如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ．如果测得MN ＝20 m ，那么A ，B 两点的距离是 ，理由是 ．设计意图：考查三角形中位线定理的应用．2．一个三角形的周长是135，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线组成的三角形的周长是 ．设计意图：考查学生作图能力，以及三角形中位线定理的应用．3．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点．(1)若EF ＝5，则AB ＝ ；若BC ＝9，则DE ＝ ；(2)中线AF 与中位线DE 有什么特殊的关系？证明你的猜想．设计意图：综合考查三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．4．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． (第1题)(第4题)设计意图：综合考查三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．参考答案与提示：1．40，三角形中位线定理．2．270．3．(1)10，4.5；(2)互相平分，可证四边形DAEF为平行四边形．4．连接AC，证EF∥＝AC，GH ∥＝AC．。

∴四边形BCFD是平行四边形. ∴DF / / BC ．
又∵ DE 1 DF ，
∴
2
DE∥BC，DE
1 2
BC
.
探究新知
18.1 平行四边形/
A
D
E
B
C
F
如图，D ， E ， F分别是△ABC的 三边的中点，那么，DE ， DF ， EF都 是△ABC的中位线.
DE∥BC且DE= BC;
同理:DF∥AC且DF= AC;
巩固练习
18.1 平行四边形/
如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°,
则∠AMN = 61°.
5cm
A
M
N
B
C
如图， △ABC中,D , E分别是AB , AC的中点，
A ∠A=50°, ∠B=7060° °,则∠AED= 60°.
DE
B
C
连接中考
18.1 平行四边形/
1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边
探究新知
18.1 平行四边形/
素养考点 1 利用中位线定理求线段
例1 如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分 ∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.
解：∵D,E分别为AC,BC的中点， ∴DE∥AB，∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2. ∴AD＝DF＝3. ∴AC＝2AD＝2DF＝6.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= 50°；
（2）已知三边AB ， BC ， AC分别为12 ， 10 ， 8， 则△DEF
的周长为 15 .
A
D
F
B