整数环上的不可约多项式

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

不可约多项式和互素的区别在数学领域中，不可约多项式和互素是两个非常基础而重要的概念。

这两个概念分别描述了多项式之间的不同特征，下面将详细讲述不可约多项式和互素的区别。

一、不可约多项式在代数学中，不可约多项式指的是不能分解成两个或更多多项式乘积的多项式。

不可约多项式是有理数系或实数系或复数系上的多项式。

它们的系数是有理数或实数或复数。

这样的多项式具有区别于次数为一次或零次多项式的性质，因为它们不能完全分解成一次或零次多项式的乘积。

不可约多项式的重要性在于它们是多项式环上的基本元素，而且能够用来描述一些数域的性质，比如代数数的阶。

不可约多项式的定义是不可分解的，因此它的因子只能是常数和自身，而不能分解成其他单项式。

不可约多项式的一个重要性质是，它必须是多项式环上的主理想的生成元。

二、互素互素指的是在整数环上，若两个整数的最大公约数为1，则这两个整数互质。

推广到多项式环上可以得到，若两个多项式的最大公因式为1，则这两个多项式互素。

比如，f(x) = x^2+1, g(x) = x+1。

这两个多项式不可约，但它们不互素，因为它们的最大公因式为1，即f(x)和g(x)没有公共因子。

互素的概念可以用于求解线性代数和数学分析中的问题。

比如，假设有两个多项式f(x)和g(x)，它们互素，如何求得f(x)和g(x)的乘积的系数。

可以利用互素的特性，将f(x)和g(x)展开成两个整数m和n的积，再通过展开式转换，求得系数。

这个方法广泛应用于线性代数和数学分析中。

三、不可约多项式和互素的区别虽然不可约多项式和互素都是多项式理论中的基本概念，但它们之间存在着一定的区别。

主要表现在以下几个方面：1、定义不同：不可约多项式指的是不能再分解的多项式，互素指的是最大公因式为1的多项式。

2、性质不同：不可约多项式通常满足一些数学公理，比如它们是多项式环上的主理想的生成元等。

而互素无此性质。

3、用途不同：不可约多项式主要用于表示一些数域的性质，比如代数数的阶。

不同域上的不可约多项式不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。

关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。

所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。

本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。

§1.5 因式分解定理不可约多项式因式分解及唯一性定理标准分解小结作业12问题把一个多项式多项式不能再分?在有理数域Q 上:分解为不能再分的因式的乘积?44−x )2)(2(4224+−=−x x x 不能再分.在数域:)2Q(上)2)(2)(2(424++−=−x x x x 不能再分.在复数域C 上:)2)(2)(2)(2(44i x i x x x x +−+−=−不能再分.由此可见,必须明确系数域后,不能再分才有明确的含义.3定义7数域P 上次数≥1的多项式p (x )多项式,是否是不可约的?问题为什么?注1一次多项式两个次数比p (x )低的多项称为P 上不可约若p (x )不能表成P 上式的乘积.对次数≥1的多项式p (x ).注3则p (x )不可约⇔p (x )的因式只有非零常数或非零常数倍.22+x 一个多项式是否不可约是依赖于系数域.注2总是不可约多项式.是否是不可约的?4注4则对任一多项式f (x ),p (x )|f (x ),有则d (x )=1或者d (x )=cp (x )(c ≠0).当d (x )=cp (x )时,就有p (x )|f (x ).事实上, 若p (x )为不可约多项式,或者(p (x ),f (x ))=1.若(p (x ),f (x ))=d (x ),5定理5若p (x )是不可约多项式, 则结论已经成立.可得则对任意两多项式由p (x )|f (x )g (x ),证明f (x ),g (x ), 则由上注知由定理4得p (x )|g (x ).p (x )|f (x ),或p (x )|g (x ).若p (x )|f (x ),现设p (x )不整除f (x ),(p (x ),f (x ))=1.定理4若(f (x ),g (x ))=1, 且f (x )|g (x )h (x ), f (x )|h (x ).则6定理6 (因式分解及唯一性定理)都可唯一地分解唯一性指: 且适当排列因式次序后有证明则必有s =t , (其中c i 为非零常数),先证分解式的存在性.数域P 上每个次数≥1的多项式f (x )成数域P 上一些不可约多项式的乘积. 若有两分解式)()()()(21x p x p x p x f s L =)()(x q c x p i i i =.,,2,1s i L =对f (x )的次数n 作数学归纳法.)()()(21x q x q x q t L =7对f (x )的次数n 作数学归纳法.所以n =1时结论成立.并设对次数低于n 的多项式结论成立.都可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积, 由归纳法知结论普遍成立.因为一次多项式总是不可约的,设∂(f (x )) = n , 若f (x )是不可约多项式,结论显然.不妨设f (x )不是不可约多项式,即有 f (x ) = f 1(x ) f 2(x )其中f 1(x ), f 2(x )的次数都低于n , 由归纳假定f 1(x ), f 2(x )把这两分解式合起来可得f (x )的一个分解式.8再证唯一性.对s 作归纳法.现设不可约因式的个数为s –1时设f (x )可分解成不可约多项式的乘积f (x ) = p 1(x )p 2(x )L p s (x ).若f (x )还有另一个不可约分解式f (x ) = q 1(x )q 2(x )L q t (x ).于是, f (x ) = p 1(x )p 2(x )L p s (x )当n =1时,必有s = t = 1, f (x )是不可约多项式,由定义且f (x ) = p 1(x ) = q 1(x ).唯一性已证.= q 1(x )q 2(x )L q t (x ) (1)9由(1)式,且适当排序后有综合(2), (3), (4)即证得唯一性.p 1(x ) | q 1(x )q 2(x )L q t (x ),(1)式两边消去q 1(x ),p 2(x )L p s (x ) = c 1-1q 2(x )L q t (x ).有由归纳法假定,p 2(x ) = c 1’c 1-1q 2(x ),因式分解定理因此,p 1(x )必能除尽其中的一个,不妨设p 1(x ) | q 1(x ).因q 1(x )也是不可约的.故p 1(x ) = c 1q 1(x ) (2)p 1p 2(x )L p s (x ) = q 1(x )q 2(x )L q t (x ) (1)c 1q 1(x )有s -1= t -1,即s = t (3)p i (x ) = c i q i(x )(i = 3, L , s ) (4)c 210定理6 (因式分解及唯一性定理)都可唯一地分解唯一性指: 且适当排序后有则必有s =t , (0 ≠c i ∈P ),数域P 上每个次数≥1的多项式f (x )成数域P 上一些不可约多项式的乘积. 若有两分解式)()()()(21x p x p x p x f s L =)()(x q c x p i i i =)()()(21x q x q x q t L =因式分解定理能分解但未给出具体方法.,,2,1s i L =普遍可行的分解方法不存在!11注:是正整数. 是这种分解称为标准分解式.任意多项式f (x )可分解为其中c 是f (x ) 的首项系数, )()()()(2121x p x p x p c x f s r sr r L =)(,),(),(21x p x p x p s L 互异首1不可约多项式.而s r r r ,,,21L 注:若),()()()(2121x p x p x p c x f s r s r r L =).()()()(2121x p x p x p d x g t l tl l L =则(f (x ), g (x ))),()()(2121x p x p x p m k mk k L =},,min{t s m =}.,min{i i i l r k =12整数环Z和整我们知道, 在整数环Z 中,对取定的非零整数7,有25=3×7+4,此时我们称3是7除25所得的商,4是7除25所得的余数.而21=3×7,此时我们称3整除也称3是21的一个因数(因式),21是3的一个倍数数25,21,(或倍式).13定义1’(1)对a , b ∈Z ),0(≠a 若∃c ∈Z,使b =ac , 则称记为a |b ,此时也称a 是b 的因数(或因式),b 是a 的倍数(2)在Z 中, 若a |b , 且b |a , 则称a , b 为相伴数.(易知:a , b 是相伴数).b a ±=(3)对整数a , 总有a ±±,1为a 的因数,称它们为a 的平凡因数.如果且a 没有非平凡因数,1±≠a 则称a 为素数.a 整除b ,(或倍式).当且仅当14定义2’(I) (1)对a , b ∈Z,若c ∈Z,使得c |a , 则称c 为a , b 的公因数(或公因式).(2)对a , b ∈Z, 若d ∈Z 满足:d 为a , b 的公因式,则d 称为a , b 的最那么有c |d , (3)对a , b ∈Z, 若则称a , b 互素.若c ∈Z,使得a |c , 则称c 为且c |b , 又若c 也是a , b 的公因式,大公因数(式),非负的最大公因数记为).,(b a d =,1),(=b a (II) (1)对a , b ∈Z,且b |c , a , b 的公倍数(式).(2)对a , b ∈Z,d ∈Z 满足:d 为a , b 的公倍数,又若c 也是a , b 的公倍数,那么有d |c , 则称d 为的a , b 最小公倍数(式),非负的最小公倍数记为].,[b a d =15例对12, 18∈Z,3∈Z 为12, 18 的公因数.对3, 5∈Z,有即3, 5 互素.72∈Z 为12, 18 的公倍数.12, 18 的非负最大公因数为6,.6)18,12(=,1)5,3(=对12, 18∈Z,即.36]18,12[=-6, 6∈Z 都是12, 18 的最大公因数.即-36, 36∈Z 都是12, 18 的最小公倍数.12, 18 的非负的最小公倍数为36,16注在Z 中有Euclid 带余除法:),0(≠b 对任给整数a , b 则存在唯一的整数q 和r 满足:(|b |表示整数b 的绝对值).由Euclid 算法我们可以证得:(I)对整数a , b 的最大公因式(a , b ),存在s , t ∈Z,(II)若p 是素数且p |ab , 则必有p |a ,r bq a +=||0b r <≤使得.),(bt as b a +=或p |b .17注(III)算术基本定理),1(±≠a (1)对任意0≠a ∈Z 存在素数使得(2)若诸则必有m =n , 均为素数,n p p p ,,,21L n p p p a L 21=Z,∈(分解的存在性).mn q q q p p p a L L 2121==),,,1(n i p i L =),,1(m j q j L =且适当排列后可得对任意i ,有n i q p i i ,,1,L =±=(分解的唯一性).例,1)8,5(=即5与8互素,且,28)3(51×+−×=,2)8,6(=且).2(8362−×+×=732284×××=为84的素分解.例18,8=f ,5=g 851332=2r 1q =2=1r 112q =13q =设=f =g 11r g q f +=212r r q g +=3231r r q r +=342r q r =),(g f 1=5=3r 4q =220=4r 2131×−=3152×−=)31(513×−×−=5132×−×=5183×−=515)18(2×−×−×=5382×−×=小结1. 不可约多项式.2. 多项式是否不可约依赖于数域P .3.因式分解及唯一性定理.4.整数集上的带余除法.5.整数集上的因式分解及唯一性定理.19作业p4510. 14.20§1.6 重因式重因式单因式微商小结作业2122定义8不可约多项式p (x )如果则p (x )不是f (x )的因式;规定其微商:多项式微商基本公式:若k = 0,设有多项式称为多项式f (x )的k 重因式,),(|)(x f x p k则p (x )称为f (x )的重因式.若k ＞1,,)(0111a x a x a x a x f n n nn ++++=−−L 1211)1()(a x a n x na x f n n n n ++−+=′−−−L )()())()((x g x f x g x f ′+′=′+)())((x f c x f c ′=′)()()()())()((x g x f x g x f x g x f ′+′=′)()())((1x f x f m x f m m ′=′−23注:是单因式. 分别是f (x )的r 1重,L , r s 重的那些不可约因式若f (x )的标准分解为则)()()()(2121x p x p x p c x f s r sr r L =)(,),(),(21x p x p x p s L 因式.指数r i =1的那些不可约因式因式分解定理指数r i >1 是重因式.同样可定义高阶微商的概念.微商f ’(x)称为f (x)的一阶微商,f (x)的k 阶微商记为f (k)(x).等等.它的n +1阶微商是0.它的n 阶微商是一个常数;2425定理7若不可约多项式p (x )则p (x )是f ’(x )的这表明故因此不整除f ’(x ).是多项式f (x )的)(x p k其中p (x )由假设f (x )可分解为证明),()()(x g x p x f k=不整除g (x ).)()()()()()(1x g x p x g x p x p k x f kk ′+′=′−).(|)(1x f x pk ′−))()()()()((1x g x p x g x p k x p k ′+′=−)()()()()(x g x p x g x p k x h ′+′=即p (x )是f ’(x )的k -1重因式.推论1若不可约多项式p(x)则p(x)是f (x), f ’(x),L, f (k-1)(x)的证明不可约多项式p(x)是f (x)的k重因式根据定理7,证明推论22627注:是标准分解.有且若f (x )的标准分解为则由定理7,)()()()(2121x p x p x p c x f s r sr r L =).()()(21x p x p x p c s L =)()()(1121121x p x p x p s r sr r −−−=L (f (x ), f ’(x ))))(),(()(x f x f x f 这是一个去掉重因式的有效方法.小结1. 微商.2.重因式.3.重因式的判定方法.28作业p4515. 16.1)29。

德莫弗定理德莫弗定理的内容比较复杂，需要一些基础的数论知识才能理解。

在这篇文章中，我将详细介绍德莫弗定理的内容和证明过程，让读者能够更好地理解这个定理的意义和应用。

首先，让我们来了解一下德莫弗定理的内容。

德莫弗定理主要是关于不可约整系数多项式的研究问题。

在代数数论中，不可约整系数多项式是一种重要的数学对象，它们可以用来表示整数环中的元素，并且在许多数论问题中起着重要的作用。

德莫弗定理的内容可以简单地概括为：对于任意一个不可约整系数多项式P(x)和一个整数n，如果P(x)模n的所有根都是简单的，那么P(x)在整数环上也是不可约的。

换句话说，如果一个不可约整系数多项式在模n的情况下所有根都是简单的，那么它在整数环上也是不可约的。

接下来，让我们来详细介绍一下德莫弗定理的证明过程。

证明德莫弗定理的关键在于构造一个特殊的整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除，但是在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。

通过构造这样一个多项式Q(x)，我们可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。

首先，我们需要先构造一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。

我们可以通过分解P(x)为不可约整系数多项式的乘积来构造Q(x)。

具体地，假设P(x)=f_1(x)f_2(x)...f_k(x)，其中f_i(x)都是不可约整系数多项式。

我们可以令Q(x)=f_1(x)f_2(x^2)...f_k(x^k)，这样我们就构造出了一个整系数多项式Q(x)，使得Q(x)在整数环上可以被P(x)整除。

接下来，我们需要证明在模n的情况下Q(x)的所有根都是简单的。

假设Q(x)在模n的情况下有一个重根r，即Q(r)≡0(mod n)且Q'(r)≡0(mod n)。

我们可以利用整系数多项式的性质来推导出矛盾，从而证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的。

通过构造一个特殊的整系数多项式Q(x)并证明Q(x)在模n的情况下所有根都是简单的，我们就可以利用整数环的性质来证明德莫弗定理。

整系数不可约多项式的两个判别法
在高等代数中，有这样一个问题：一个有理系数的多项式，如何判断它在Q上是否可约？由于一个有理系数的多项式总是与某个整系数多项式相伴（它的本原多项式），同时，若一个整系数多项式在Q上可约，则它可以分解成两个低次的整系数多项式的乘积，所以，我们只要研究整系数多项式在Z[x]上的约化即可（其中Z是整数环）。

对于次数低一些的多项式（比如2次、3次），我们可以找它的根，如果有根，则有一次因式。

或者，另一个很常用的方法就是Eisenstein判别法。

Eisenstein判别法的定理条件并不是天上掉下来的，而是通过一些观察和探索得到的。

我们经常研究首一的多项式，因为它们比较简单，经过大量的观察，我们发现这种多项式是不可约的：
f(x)=x4+5x3+5x2+10x+10
它有一个特点是，首项以外的系数有公共的素因子（即5）。

所以我们可以探索一下，具有这种特点的多项式，假如可约，会得到什么结论？由此即可得到Eisenstein判别法：
类似于Eisenstein判别法的一个结果
这个结果可以用于判断以下形式的多项式是不可约的：
f(x)=x5+2x4+2x3+4x2+4x+4。

反证法证明多项式不可约在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．例1已知P（x）是一个大于零次的多项式，如果对于任意两个多项式f（x）和g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多项目类型证明假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．例2如果阶数大于1的整系数多项式f（x）的函数值是任意整数的素数f(x)为有理数域q上的不可约多项式．证明了f（x）不是有理数域Q上的不可约多项式，因为？（f（x））？1，所以f（x）在整数环Z上也是可约的，也就是说，有整系数多项式F1（x）和F2（x），所以f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．根据已知条件，如果a是整数，那么f（a）是素数，也就是f（a）？F1（a）和F2（a）是素数，那么F1（a）呢？？1或F2（a）？？1.从a的无穷远，知道F1（a）吗？1，f1（a）？？1或f2(a)?1，f2(a)??1四个式子中至少有一个式子对无限个a成立，即f1(x)与f2(x)中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．例3设置f（x）？anxn？一1xn？1.A0是一个整系数多项式，如果有素数P，那么（1）p?|an；（2）潘？1，一个？2.a0（3）p2?|a0，那么f（x）在有理数域中是不可约的证明假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即f（x）？（blxl？bl？1xl？1？？？b0）（cmxm？cm？1xm？1？？？c0）（l？n，m？n，l？m？n）因此an?blcm，a0?b0c0．因为p | a0，p可以除以B0或C0。

不可约多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。

多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。

概念不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。

有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。

相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。

“不可约”的意义随系数范围而不同。

X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。

一种重要的多项式。

它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。

对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。

这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。

其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。

设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。

一个多项式是否可约，与其基域有关。

例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。

数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：1。

若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。

2。

若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。

3。

若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。

不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。

一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。

在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。

不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。

二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。

而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。

对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。

通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。

四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。

在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。

2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。

通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。

五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。

在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。

戴维宁定理的内容戴维宁定理的内容引言：戴维宁定理是数学中一个重要的定理，它被广泛应用于几何、代数和数论等领域。

该定理由英国数学家戴维宁于1917年提出，是一条关于有限域上多项式的性质的定理。

本文将详细介绍戴维宁定理的内容、证明过程和应用。

一、定义与基本概念1. 有限域有限域是指元素个数有限的域。

一个有限域GF(q)包含q个元素，其中q为素数幂，即q=p^n，其中p为素数，n为正整数。

2. 多项式环多项式环是指以一个或多个变量为自变量的所有次数不超过某个固定次数的多项式所组成的集合。

例如，F[x]表示在F上以x为变量构成的多项式集合。

3. 不可约多项式不可约多项式是指不能分解成两个或更多次数小于它自身次数的多项式之积形式的多项式。

例如，在GF(2)上不可约多项式包括x+1、x^2+x+1等。

二、戴维宁定理1. 定义设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则F[x]/(f(x))是一个n维向量空间，其中加法与减法的定义如同多项式运算一样，乘法则根据f(x)模掉后的余数来确定。

2. 定理内容设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则有限域GF(q)中任意一元多项式g(x)均可唯一地表示成以下形式：g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}其中a_i∈GF(q)，且q=p^n。

即任意一元多项式可以表示成不超过n-1次幂的线性组合形式。

三、证明过程1. 引理设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则F[x]/(f(x))中存在元素α，使得α^n=1且α^i≠1(i=1,2,...,n-1)。

证明：由于f(x)是不可约多项式，故它在F上没有根。

因此，在扩域E=F(α)中，f(x)仍然是不可约的。

由于E中存在元素α使得α^n=1且α^i≠1(i=1,2,...,n-1)，因此E中的元素可以表示成以下形式：a_0+a_1α+a_2α^2+...+a_{n-1}α^{n-1}其中a_i∈F。

论文题目目录1、前言 (1)2、因式分解定理及唯一性定理 (1)3、复系数多项式 (1)4、实系数多项式 (2)5、有理系数多项式 (2)5.1 艾森斯坦（Eisenstein）判别法 (2)5.2艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式 (3)5.3艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理 (4)5.4多项式的复根与其不可约性 (5)5.5n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性 (7)6、有限域上的不可约多项式 (7)6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法 (8)q阶有限域上的不可约多项式 (9)6.2致谢 (10)参考文献 (11)不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。

关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。