专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

.专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a n S 1 S n Sn1 等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 12 ， s n n 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式 n 1及 n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法： 利用恒等式 a n a 1a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1 a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 12 +3n2 n 2评注此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a na 1 a2a 3a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n 1an 1 g n a n 的递推数列的方法 数列 g n 可求前 n 项积..例 3已知数列 { a n } 中 s n 1 na n，求数列 { a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

常用的转化途径有：⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式a n 1 qa n d （ q,d为常数， q 0,q1 ）通过凑配变成an 1 da nd a n2a n1q a n a n = qq 1，或消常数项转化为1q 1例 4、已知数列{ a n} 中， a11， a 2a 1 n 2 ，求数列{ a n} 的通项公式n n 1点评：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列（）倒数变换——如将一阶分式递推公式aca n（ c,d 为非零常数）取倒数得1 d 1 1 n 12d a n 1 c a n ca n例 5已知数列 { a n } 中，a11， a n 1a n，求数列 { a n} 的通项公式2a n 1点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。

⑶对数变换——如将一阶分式递推公式 a n 1ca n p a n0,c 0, p 0, p 1 取对数..可得lg a n 1p lg a n lg c例 6已知数列 { a n} 中， a110 ， a n0 ，且 a n 110a n2，求数列 { a n } 的通项公式点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于a n的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换⑷换元变换——如将一阶分式递推公式a n 1 qa n d n（ q,d 为非零常数， q≠ 1， d≠ 1）a n 1 q an 1 an变换成d d n d，令 bn d n，则转化为一阶线性递推公式d n 1例 7 在数列{ a n} 中， a1 1 ， a n 13a n +2 n n N *，求数列 { a n } 的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式5、待定系数法递推公式为a n 2 pa n 1qa n（其中 p，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为a n 2 sa n 1t( a n 1 sa n )st p其中 s， t 满足，再应用前面转化法（ 4）类型的方法求解。

st q例 8 .已知数列a n 中， a1 1, a2 2 ,a n 22 1 ，求a n。

a n 1 an3 3..7、叠代法例 9 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 S n 2a n ( 1) n, n 1 ．求数列 a n 的通项公式。

8、归纳法 ：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法。

例 10 数列 { a n } 满足 s n 2n a n n N *,求数列 { a n } 的通项公式四、实战演练a52＝ a10,2(an ＋ an ＋ 2)＝ 5an ＋ 1，则数列 { an} 的通项公 1、 [2012 辽·宁卷 ] 已知等比数列 { an} 为递增数列，且 式为 a n ＝ ________.2、 在数列 { a n } 中， a 1 3 1 ，求通项公式 a n ., a n 1a nn(n 1)3、设数列 { a n } 是首项为 2 2 1 的正项数列，且 (n 1) an 1nana n 1a n 0 （ n=1,2,3 ⋯），则它的通 项公式是 a n =▁▁▁.4、已知数列 { a n } ，其中 a11, a2 2 ，且当 n≥ 3 时， a n 2a n 1a n 2 1 ，求通项公式a n。

5、设正数列a0， a1， a n⋯， a n，⋯满足a n a n 2a n 1 a n 2 = 2a n 1( n 2) 且 a0a11，求 { a n } 的通项公式 .五、能力提升（逆推法）已知数列a n的前 n 项和 S n与 a n满足： a n ,S n ,S n1 (n 2) 成等比数列，且 a11 ，求数列2a n的前 n 项和 S n点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列a n的前 n 项和 S n的递推公式，是一种最佳解法.由递推关系求数列的通项公式答案例 1 解：当n 2 由 a n s n2s n 1 = n2 +2- n 1 +2 = 2n 1当 n 1 时 a1s1 3 不满足故 a n3,n 12n 1,n 2例 2 解：由 a a + 1可知 a an21 1 13n 2 n 1 n 2n 1 n n2 +3n 2 n 1 na n a1a2a1+......+n a n a 1= 1 +1111...... 1n1 = n n 22 2334n 1 n 1当 n 1 时也成立。

故有 a n =n1n例 3解：当 n=1 时由a1s1 1 a1可得 a112由 a n 1s n 1 s n = 1 n 1 a n 1 1 na n可得a n 1na n n 2a na1a2 a3a n = 1 1 2 3n 2 n 1 =1a1 a2an1 2345 n n 1 n n 1当 n=1 时也成立。

故有 a n=11n n例4解法一凑配变换：由 a n2a n 1 1 可得 a 1 2 a 1 ，又 a 1 2 ，故数列a 1 是首项n n1 1 n为 2，公比为2 的等比数列，a n 1 2 2n1，即 a n2n 1解法二（消项变换）a n2a n 1 1 ①a n 1 2a n1②② - ①得a n 1 a n 2 a n a n 1 n 2 ，故数列a n1a n是首项为a2a1 2 公比为2 的等比数列即 a n 1 a n2n，再用累加法得a n2n1例5解 :由 a n1a n可得11 2 即1 1 22a n 1 a n 1 a n a n 1 a n数列1是以 1 为首项2 为公差的等差数列。

1=1+2 （ n-1）,即a n11a n a n2n例6解：由 a n0 ，且 a n 110a n2可得 lg a n 1 1 2lg a n，即lg an 1 1 2lg a n1..数列 lga n1 是以 lg a 1 12 为首项以 2 为公比的等比数列lg a n 1 = 2n即 a n 102n1例 7 解：由 a n 3a n +2 n an 1 3 a n 1 an1 3 a n1) 令 b na n 11 可得2 n 1 2 2 n 2 即 n1 1(2 n 2 n 2 2 3b n nbn1 数列 b n 是以 3 为首项以 3为公比的等比数列即b n 3 22 2 2a n3 nb n 1= 即 a n 3n2n2n2例8解：由2 1 可转化为 asa t (a sa ) an 2 an 1 a n n 2 n 1 n 1 n 3 3s t 2 s 1 s 13 即 a n 2 ( s t) a n1 sta n 1 或 3st 1 t t 13 3s1s1这里不妨选用1（当然也可选用 3，大家可以试一试），则t3 t1an 2 an 1 1 a n ) an 1 a n 是 以 首 项 为 a 2 a 1 1，公比为 1 的等比数列,所以(a n 1 3 3an 1 a n ( 1 )n1 ,应用类型 1 的方法，分别令 n 1,2,3, ,( n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累加之， 3 ( 1) n 11 01 1 1 1即 a n a 1 ( ( ( n 2 3 ) ) ) 13 3 3 1 3又 a 1 1 ，所以 a n 7 3 ( 1) n 1。

4 4 3 例 9 解：由 a 1 S 12a 11 a 1 1当 n 2 时，有 a n S n S n 1 2( a n a n1 )2 ( 1)n, a n2a n 1 2 ( 1)n 1,an 1 2a n 2 2 ( 1) n 2 ,⋯⋯， a22a 1 2.a n 2n 1a 1 2n 1 ( 1) 2n 2( 1)22 ( 1)n 12n 1 ( 1)n[( 2)n 1 ( 2)n 2( 2)] n1 ( 1)n 2[1 ( 2)n 1] 2 32[ 2n 2 ( 1)n 1]. 3..经验证 a1 1也满足上式，所以 a n 2 [ 2n 2 ( 1)n 1 ]2 ( 1)n 1 , 3a n an 1 a n 2an 1 2 方法二、 a n 2a n 1 2 2 2(( 1)n ( 1)n 1 ( 1)n3( 1)n 1)3 构造数列 ( a n 2 公比为 -2 首项为 1 的等比数列（以下略）1)n3 3例 10 解：易求a 1 1,a 2 3 7, a 4 152n1 1，a 3 4 ，由此可猜想 a n 2 n 1 下面用数学归纳法证明： ①当n2 8时，左边 = a 1 211 =1，猜想成立；1，右边 = 2 1 1②假设 n=k 时命题成立，即ak2k1 ，那么由已知 s k 2ka k①2k1s k 1 2( k 1) a k 1 ②由② - ①可得 a k 1 2ak 1 a k a k1 ak = 1 2k1 2k 11 2k 11，即当 n k 1 时命题也成立。