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(解析版)广东省中山市2017-2018学年高二下学期期末统一考试数学(文)试卷

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中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A. 假设、、都是偶数B. 假设、、都不是偶数C. 假设、、至多有一个偶数D. 假设、、至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选A.2. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：：由于复数，，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.4. 已知，则,的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：平方后作差可得．详解：，∴，又，∴．故选D．点睛：实数比较大小一般用作差法，作差后因式分解然后与0比较大小，本题中由于是方根，因此可两者平方后再作差比较后，由结论可得．5. 已知椭圆的两个焦点，，是椭圆上一点，，则是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】分析：利用椭圆定义得出，结合已知可解得，然后可判断三角形的形状．详解：由题意，又，联立后可解得，又，∵，∴，∴是直角三角形．故选B．点睛：在椭圆中凡出现椭圆上点到两焦点距离时一般都要应用椭圆的定义得出点到两焦点的距离之和，然后利用此和式求解，可简化计算．6. 双曲线的两条近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“右”区域，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得双曲线的渐近线方程为，且“右”区域由不等式组确定，∵点(2,1)在“右”区域内，∴，即，∴，即双曲线离心率e的取值范围是．选B．7. 设计如图所示的程序框图，统计高三某班位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用表示），则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可知，该程序框图的功能为统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用表示），表示每个人的分数，当时跳出循环，故应填，故选B.8. 在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】A【解析】两次射击中至少有一次没有击中目标包括三个事件，第一次没有击中目标而第二次击中目标；第一次击中目标第二次没有击中目标；第一次和第二次都没有击中目标；三个事件统一表达为第一次没有击中或第二次没有击中，即为真命题.选.【点睛】简易逻辑问题要注意对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解，这里的为真命题，理解为“第一次未击中或第二次未击中”，也就是说包含三种情况，第一次未击中第二次击中，第一次击中而第二次未击中，第一次和第二次都未击中,即两次中至少有一次未击中.9. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A. 0.3B.C. 4D.【答案】D【解析】分析：两边取对数，可化为，结合线性回归方程，即可得出结论.详解：由两边取对数，可得，令，可得，，，故选D.点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程，其中理解回归方程的求解过程与熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.10. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．故选B．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．11. 已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由参数写出直线方程与抛物线方程联立后消去，再利用韦达定理可求得参数，从而得准线方程．详解：设，直线AB方程为，由得，∴，，∴准线方程为．故选B．点睛：设，是抛物线的过焦点的弦，则，．因此可用韦达定理得出，从而求得参数．12. 已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．详解：由得，由得，其中，设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴时，取极小值也是最小值．故选D．点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 给出下列演绎推理：“自然数是整数，，所以是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写__________．【答案】是自然数【解析】分析：直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.详解：由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，是整数”，故答案为是自然数.点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况.14. 随机询问中山市某中学的名学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男生女生总计爱吃零食不爱吃零食总计由算得.据此我们有__________以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”．附表：【答案】【解析】分析：计算出后，比较数据可得．详解：∵，∴有的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”．故答案为95%．点睛：本题考查独立性检验，此类问题关键是求出，然后只要与给出的数据比较就可得出是否有关以及有多少把握．15. 曲线在处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：求出导数得出切线斜率后可得切线方程．详解：，，又，所以切线方程为，即．故答案为．点睛：本题考查导数的几何意义．可导函数在点的切线方程为．16. 如下数表为一组等式：，，，，，……某同学根据上表猜测，老师确定该同学猜测是正确的，则__________．【答案】【解析】分析：把代入后解方程组可得．详解：由已知得，解得，∴．故答案为5．点睛：本题考查归纳推理．在已知结论形式时，可用待定系数法求解，象本题可令代入后解方程组求得参数值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知复数.（1）求；（2）若，求实数，的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）把化为形式，然后由模的定义求解；（2）代入，把等式化为，再由复数相等的定义求解．详解：（1），所以复数的模；（2），而，由此易得，可得.点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若，则，若，则．18. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：印刷册数（千册）单册成本（元）根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.①完成下表（计算结果精确到）：印刷册数（千册）单册成本（元）估计值模型甲残差估计值模型乙残差②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为千册，若印刷厂以每册元的价格将书籍出售给订货商，请按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本，请预测印刷厂二次印刷的千册能获得多少利润？【答案】（1）模型乙的拟合效果更好；（2）33360【解析】分析：（Ⅰ）利用所给公式和表格数据完成表格即可，再计算出两个模型的残差平方和，进而比较其模拟效果；（Ⅱ）利用模拟函数进行估计即可．详解：（1）经计算，可得下表：印刷册数（千册）单册成本（元）估计值模型甲残差估计值模型乙残差②，，，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元），故印刷总成本为（元），印刷利润元.点睛：本题考查函数模型的应用、拟合效果等知识，意在考查学生的数学应用能力、数学建模能力以及复杂的运算能力．19. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求、的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上的一点，其横坐标为，抛物线在点处的切线交椭圆于、两点，求面积.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）由两个方程判断出点和是椭圆上的点，和是抛物线上的点，代入可求解；（2）求出P点坐标，得出P点处的切线方程，把切线方程与椭圆方程联立方程组后消去得的一元二次方程，由椭圆中的弦长公式求得弦长，再求出点C到直线AB的距离后可得面积．详解：（1）设椭圆：，因为点在椭圆上，则；因为点在椭圆上，所以，解得：，所以椭圆：.设抛物线：，因为点，点在抛物线上，则：.所以抛物线：. （2）设，，由题意设（），因为，，故直线的方程为：，即，由整理得：，则，，则，则到直线的距离，∴的面积，∵，∴.点睛：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：点是直线上两点，则．20. 已知椭圆：，其焦距为，若，则称椭圆为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是，，以,，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，.（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）“黄金双曲线“的离心率为的倒数）．（2）把椭圆结论中点与交换位置得双曲线的性质．详解：（1）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”.（2）在黄金双曲线的性质：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、.证明：直线的方程为，原点到该直线的距离，由及，得，将代入，得，又将代入，化简得，故直线与圆相切，同理可证直线、均与圆相切，即以、的直径的圆为菱形的内切圆，命题得证.点睛：本题考查类比推理．类比推理不是把类比对象的结论一字不改直接拿来，而是要根据具体情况具体分析，适当修改．如双曲线的离心率大于1，因此类比时可得“黄金双曲线”的离心率为黄金比的倒数即，又椭圆中，双曲线中，因此椭圆结论中焦点到顶点的位置在双曲线中要交换，才可能正确．当然解题方法可类似得出．21. 已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上没有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间为，减区间为.（2）【解析】分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）分离参数得，设，可选求出的值域．因此再求出，研究的正负，为此设，再通过可得出是增函数，从而有，那么的范围是．详解：（1）当时，，，∴，令，解得：，令，解得：，故的增区间为，减区间为.（2）令得，令得，再令，，则，故在上为减函数，于是，，∴在恒成立，即在递增，∴，若函数在内没零点，则.点睛：函数有某区间没有零点问题，即方程在此区间无解，因此可用分离参数法分离参数为，然后可求得在区间的值域，而的范围就是此值域在实数集R上的补集．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）直线与曲线交于，两点，求.【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数得出的普通方程，再利用转化为极坐标方程，然后把直线方程转化为极坐标方程；（Ⅱ）由极坐标方程联立方程组，利用韦达定理，即可求出的值.试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为,则的极坐标方程为,由于直线过原点,且倾斜角为,故其极坐标为 (或)（Ⅱ）由,得,故23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）若，求函数的值域；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据绝对值的定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数形式，然后分段求取值范围后再求并集．（2）根据绝对值的定义去掉绝对值符号，化绝对值不等式为不含绝对值的不等式，分段求解，再合并．详解：（1）当时，，当时，，∴函数值域为．（2）当时，不等式即.①当时，得，解得，所以；②当时，得，解得，所以；③当时，得，解得，所以无解；综上所述，原不等式的解集为.点睛：解含绝对值的函数值域与解含绝对值的不等式，一般都是用绝对值的定义分类去掉绝对值符号，化为不含绝对值的分段函数或不等式，再去求解．本题考查了转化与化归思想．。

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广东省中山市普通高中2017-2018学年下学期高二数学3月

广东省中山市普通高中2017-2018学年下学期高二数学3月

下学期高二数学3月月考试题03满分150分．时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 与函数[]sin (0,)y x x π=∈的图像相切于点A ，且//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极大值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC =( )A ．B ．C ．D ． 2【答案】B2．过点（0，13，2）处的切线垂直的直线的方程为( ) A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y x D ．022=+-y x【答案】A3．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A4．曲线32x x y -=在1-=x 处的切线方程为( )A ．02=++y xB ．02=-+y xC ．02=+-y xD ．02=--y x【答案】A 5（0x >）上横坐标为1的点的切线方程为( ) A ．310x y +-= B ． 350x y +-= C ．10x y -+= D ． 10x y --=【答案】B6，则()42f x dx -=⎰( )A ．42e e -B ．42e e +C ．422e e -++D ．422e e +-【答案】D7．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x x f =+，则函数()f x 的解析式为( )A ．2()8f x x x =+B ．2()8f x x x =-C ．2()2f x x x =+D ．2()2f x x x =- 【答案】B8．设函数[]x x x f -=)(，其中[]x 为取整记号，如[]22.1-=-，[]12.1=，[]11=．又函数在区间)2,0(上零点的个数记为m ，)(x f 与)(x g 图像交点的个数记为( )B C D 【答案】A9．曲线3x y =在点 (3,27) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是( ) A ．45 B ．35C ． 54D ． 53【答案】C10，则)(x f 的导数是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A11．曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．2-C D 【答案】A12．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的 单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A ．5米/秒 B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)1314．若点P 是曲线2ln y x x =-上一点，且在点P 处的切线与直线2y x =-平行，则点P 的横坐标为____________ 【答案】115．曲线422+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为 。

广东省中山市普通高中2017_2018学年高二数学5月月考试题7201805300253

广东省中山市普通高中2017_2018学年高二数学5月月考试题7201805300253

下学期高二数学5月月考试题07一、选择题 （每题5分，共60分）1．集合{|1,}A y y x x R ==+∈，{|2,},xB y y x R ==∈则A B 为（ ） A ．{(0,1),(1,2)} B ．{0，1}C ．{1，2}D ．(0,)+∞2．i 是虚数单位，复数131ii--的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 3. 下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 4.若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1b a∠”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，2,6a b B π===，则A 等于（ ）A .4π B .4π或34π C .3π D . 34π6．下图给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图，其中 判断框内应填入的条件是 ( )A.i>10 D.i<207.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形1的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为（ ） Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．12 Ｄ．168．设函数321()252f x x x x =--+，若对于任意x ∈[0，2]都有()f x m <成立，则实数m的取值范围为（ ）A ． ()7+∞，B ． ()+∞8，C ． [7,)+∞D ． ()+∞9，. 9. 若α∈(0,π2)，且sin 2α+cos2α=14，则tan α的值等于 ( )A ． 2 2 B. 33C. 2D. 310, 函数f(x)在定义域R 内可导,若f(x)=f(2-x),且当x )1,(-∞∈时,0)()1('<-x f x , 设 a=f(0) ,b=f(21), c=f(3), 则 ( ) A a ﹤b ﹤c B c ﹤b ﹤a C c ﹤a ﹤b D b ﹤c ﹤a11．设等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为d 1、d 2、d 3，则有d 1＋d 2＋d 3为定值32a ；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为d 1、d 2、d 3、d 4，则有d 1＋d 2＋d 3＋d 4为定值 ( )．A ．BCD 12 设f(x)是定义在R 上的偶函数,对x R ∈,都有f(x+4)=f(x),且当x []0,2-∈时,f(x)=(1)21-x,若在区间(]6,2-内关于x 的方程f(x)—log )2(+x a =0(a>1)恰有3个不同的实数根, 则a 的取值范围是A.(1,2) B(2,+∞) C.(1,34) D.( 34,2 )二、填空题（每题5分，共20分） 13. 曲线C:1sin )(++=x e x f x 在0=x 处的切线方程为_________．14. 在ABC ∆中，222s i n s i n2s i n s i n s i n B C B C A ++，则内角A 的取值范围是 .15.已知一物体运动的位移S(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是120531)(23-+-=t t t t s ,则该物体运动过程中速度不超过4m/s 的时间是 .16. 若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数： ①,cos sin )(1x x x f += ②x x f sin )(2=， ③2sin 2)(3+=x x f ，④)cos (sin 2)(4x x x f +=，其中“同形”函数有 .（填序号）三、简答题（共6道小题，共70分）17、(本小题共10分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 5C =. （Ⅰ）求)4sin(π+C 的值；（Ⅱ）若1=⋅，a b +=c 的值及ABC ∆的面积.18、(本小题共12分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全 这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.19、(本小题共12分) 已知函数52)(---=x x x f (1) 证明:3)(3≤≤-x f (2) 求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集.第13题图20、(本小题共12分) ．已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．21、(本小题共12分) 在直角坐标系中,曲线C:116922=+y x ,以曲线C 的中心为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为12)sin 3cos 4(=-θθρ (1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点P 在曲线C 上,求P 点到直线l 的距离的最大值.22 本小题共12分) 设函数2)1()(ax e x x f x--= （1）若a=21,求)(x f 的单调区间； （2） 若当0≥x 时，0)(≥x f ,求a 的取值范围。

广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试卷含答案

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广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A ．42cm B ．4π2cm C ．2 2cm D ．1 2cm2.已知2sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3-B ．23-C ．3D ．233.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（ ） A ．()10,2e =，()20,1e =- B ．()12,1e =，()20,0e =C ．()13,1e =，255,3e ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()12,1e =-，()24,2e =4.如图所示，向量OA a =，OB b =，OC c =，A 、B 、C 在一条直线上，且4AC BC =，则（ ）A ．1322ca b =+ B ．3122c a b =- C ．2c a b =-+ D ．1433ca b =-+5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆1O ，2O ，3O ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．716B ．58C ．38D ．146.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输S 出的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕπ-<<）的部分图象如图所示，为了得到()2gx x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移23π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9.《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“------”当作数字“1”，把阴爻“--- ---”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15 10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角），若3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1212x x y y +的值为（ ）A ．5 B ．10 C ．10- D ．10-11.过点()3,0P -作直线()20ax a b y b +++=（a ，b 不同时为0）的垂线，垂足为M ，点()2,3N，则MN 的取值范围是（ ）A ．5⎡-+⎣B ．)5⎡-⎣C ．(5,5+D ．(0,5+12.已知函数()()f x x ωϕ=+（其中0ω>，ϕ为常数）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可能取数值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设向量()1,2a =，()1,b x =-，若a 与b 垂直，则x 的值为 ．14.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．15.当曲线1y=与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 ．16.平面四边形ABCD 中，AC BD ⊥且2AC =，3BD =，则AC CD 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点()3,1M，圆()()22124x y -+-=.（1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值.18.已知4a =，3b =，()()23261a b a b -+=.（1）求向量a 与b 向量的夹角； （2）求a b +.19.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[)10,20，[)20,30，…，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示.（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）； （3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在[)40,60中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖的概率.20.设函数()2cos 22cos 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度后得到函数()gx 的图像，求函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 21.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y （1,2,,6i =），如表所示：（1）求的值q ；（2）已知变量x ，y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程y bx a =+，可供选择的数据613050i i i x y ==∑，621271i i x ==∑.（3）用y 表示（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销售数据(),i i x y （1,2,,6i =）对应的残差的绝对值1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”，试求这6组销售数据中的“好数据”.参考数据：线性回归方程中b ，a 的最小二乘法估计公式分别是1221ni ii ni i x y nx yb x nx ==-=-∑∑，a y bx =-.22.定义非零向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），向量(),OMa b=称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）已知()()cos 2cos 6hx x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭（R α∈），求证：()h x R ∈，并求函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（2）已知点(),OM a b =（0b ≠）满足(()2211a b +-=，向量OM 的 “相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5 ABDDA 6-10 CBBBD 11、12：AA 二、填空题 13.12 14. 1415. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦16. 134- 三、解答题17. 解：（1）由圆的方程得到圆心()1,2，半径2r =，当直线斜率不存在时，方程3x =与圆相切，当直线斜率存在时，设方程为()13y k x -=-，即130kx y k -+-=，2=，解得34k =， ∴ 方程为()3134y x -=-，即3450x y --=， 则过点的切线方程为3x =或3450x y --=. （2）∵ 圆心到直线40ax y -+=的距离为d=，∴2242⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：34a =-. 18. 解：（1）∵ ()()23261a b a b -+=，∴ 2244361a a b b --=， ∴ 224443361a b ⨯--⨯=， ∴ 6a b =-，∴61cos ,432a b a b a b-===-⨯，由于[]0,θπ∈，∴ 向量a 与向量b 的夹角为23π. （2）∵222a b a a b b +=++22142433132⎛⎫=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，∴13a b +=.19. 解：（1）()0.50.015100.02510300.035-⨯+⨯+100303335=+≈（岁）.（3）样本年龄在[)40,50中的有24人，在[)50,60中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在[)40,50中有245430⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，在[)50,60中的有65130⨯=人，记为b ， 从已抽取的5人中任选2人的所有可能为()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()1,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()2,a b ，()34,a a ，()3,a b ，()4,a b ，共10种，记“年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A ，则事件A 包括()1,a b ，()2,a b ，()3,a b ，()4,a b 共4种，故年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人的概率为()42105P A ==.20. 解：（1）()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos221cos222x x x =--++1cos22122x x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 函数()f x 的最小正周期为π，由2223k x k ππππ≤+≤+解得63k x k ππππ-≤≤+，∴,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()cos 21cos 21333gx x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤， ∴1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴1cos 21223x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21. 解：（1）根据题意，计算()184837568806yq =++++=，解得90q =. （2）计算()1456789 6.56x =⨯+++++=， ∴ 23050680 6.542716 6.5b -⨯⨯==--⨯，()804 6.5106a =--⨯=， ∴y 关于x 的回归方程是4106y x =-+.（3）∵ 回归方程为4106y x =-+，∴114106y x =-+1190909001y y =-=-=<，∴ ()()11,4,90x y =是好数据；2222410686y x y y =-+=-868421=-=>，∴ ()()22,5,84x y =不是好数据； 3333410682y x y y =-+=-828311-==，∴ ()()33,6,83x y =是好数据； 4444410678y x y y =-+=-788021-=>，∴ ()()44,7,80x y =不是好数据； 5555410674y x y y =-+=-747511-==，∴ ()()55,8,75x y =是好数据； 6666410670y x y y =-+=-706821-=>，∴ ()()66,9,68x y =不是好数据；∴ 好数据为()4,90，()6,68，()8,75.22. 解：（1）()()cos 2cos 6h x x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin sin 2cos cos 22x x αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ ()h x的相伴向量12sin ,2cos 22OM αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴ ()h x R ∈， ∵ 2sin OM⎛= =， ∵R α∈，∴ []sin 1,13πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ []1,3OM ∈.（2）OM 的相伴函数()sin cos f x a x b x =+()x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=，当22x k πϕπ+=+，k Z ∈即022x k ππϕ=+-，k Z ∈时()f x 取得最大值，∴0tan tan 2cot 2a x k b ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，∴ 002022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a b b ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，ab 为直线OM 的斜率，又满足(()2211a b +-=，∴ a b⎡∈⎣，∴ ,3b a a b ⎛⋅∈-∞ ⎝⎦， ∴())0tan 2,03,x ⎡∈-∞+∞⎣.。

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广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A ．42cm B ．4π2cm C ．2 2cm D ．1 2cm2.已知2sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3-B ．23-C ．3D ．233.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（ ） A ．()10,2e =，()20,1e =- B ．()12,1e =，()20,0e =C ．()13,1e =，255,3e ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()12,1e =-，()24,2e =4.如图所示，向量OA a =，OB b =，OC c =，A 、B 、C 在一条直线上，且4AC BC =，则（ ）A ．1322ca b =+ B ．3122c a b =- C ．2c a b =-+ D ．1433ca b =-+5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆1O ，2O ，3O ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．716B ．58C ．38D ．146.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输S 出的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕπ-<<）的部分图象如图所示，为了得到()2gx x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移23π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9.《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“------”当作数字“1”，把阴爻“--- ---”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15 10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角），若3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1212x x y y +的值为（ ）A ．5 B ．10 C ．10- D ．10-11.过点()3,0P -作直线()20ax a b y b +++=（a ，b 不同时为0）的垂线，垂足为M ，点()2,3N，则MN 的取值范围是（ ）A．5⎡-+⎣B．)5⎡-⎣ C．(5,5+ D．(0,5+12.已知函数()()f x x ωϕ=+（其中0ω>，ϕ为常数）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可能取数值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设向量()1,2a =，()1,b x =-，若a 与b 垂直，则x 的值为 ．14.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．15.当曲线1y=与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 ．16.平面四边形ABCD 中，AC BD ⊥且2AC =，3BD =，则AC CD 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点()3,1M，圆()()22124x y -+-=.（1）求过点M 的圆的切线方程； （2）若直线40ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值.18.已知4a =，3b =，()()23261a b a b -+=.（1）求向量a 与b 向量的夹角； （2）求a b +.19.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[)10,20，[)20,30，…，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示.（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）； （3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在[)40,60中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖的概率.20.设函数()2cos 22cos 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度后得到函数()gx 的图像，求函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 21.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y （1,2,,6i =），如表所示：（1）求的值q ；（2）已知变量x ，y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程y bx a =+，可供选择的数据613050i i i x y ==∑，621271i i x ==∑.（3）用y 表示（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销售数据(),i i x y （1,2,,6i =）对应的残差的绝对值1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”，试求这6组销售数据中的“好数据”.参考数据：线性回归方程中b ，a 的最小二乘法估计公式分别是1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.22.定义非零向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），向量(),OMa b =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）已知()()cos 2cos 6h x x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭（R α∈），求证：()h x R ∈，并求函数()hx 的“相伴向量”模的取值范围；（2）已知点(),OMa b =（0b ≠）满足(()2211a b -+-=，向量OM 的 “相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5 ABDDA 6-10 CBBBD 11、12：AA 二、填空题 13.12 14. 1415. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦16. 134- 三、解答题17. 解：（1）由圆的方程得到圆心()1,2，半径2r =，当直线斜率不存在时，方程3x =与圆相切，当直线斜率存在时，设方程为()13y k x -=-，即130kx y k -+-=，2=，解得34k =， ∴ 方程为()3134y x -=-，即3450x y --=， 则过点的切线方程为3x =或3450x y --=. （2）∵ 圆心到直线40ax y -+=的距离为d =，∴2242⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：34a =-. 18. 解：（1）∵ ()()23261a b a b -+=，∴ 2244361a a b b --=， ∴ 224443361a b ⨯--⨯=， ∴6a b =-，∴ 61cos ,432a b a b a b-===-⨯，由于[]0,θπ∈， ∴ 向量a 与向量b 的夹角为23π. （2）∵ 222a b a a b b +=++22142433132⎛⎫=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，∴13a b +=.19. 解：（1）()0.50.015100.02510300.035-⨯+⨯+100303335=+≈（岁）. （3）样本年龄在[)40,50中的有24人，在[)50,60中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在[)40,50中有245430⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，在[)50,60中的有65130⨯=人，记为b ， 从已抽取的5人中任选2人的所有可能为()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()1,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()2,a b ，()34,a a ，()3,a b ，()4,a b ，共10种，记“年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A ，则事件A 包括()1,a b ，()2,a b ，()3,a b ，()4,a b 共4种，故年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人的概率为()42105P A ==.20. 解：（1）()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos221cos222x x x =--++1cos22122x x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 函数()f x 的最小正周期为π，由2223k x k ππππ≤+≤+解得63k x k ππππ-≤≤+，∴,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()cos 21cos 21333gx x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤， ∴1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴1cos 21223x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21. 解：（1）根据题意，计算()184837568806yq =++++=，解得90q =. （2）计算()1456789 6.56x =⨯+++++=， ∴ 23050680 6.542716 6.5b -⨯⨯==--⨯，()804 6.5106a =--⨯=， ∴y 关于x 的回归方程是4106y x =-+.（3）∵ 回归方程为4106y x =-+，∴114106y x =-+1190909001y y =-=-=<，∴ ()()11,4,90x y =是好数据；2222410686y x y y =-+=-868421=-=>，∴ ()()22,5,84x y =不是好数据； 3333410682y x y y =-+=-828311-==，∴ ()()33,6,83x y =是好数据； 4444410678y x y y =-+=-788021-=>，∴ ()()44,7,80x y =不是好数据； 5555410674y x y y =-+=-747511-==，∴ ()()55,8,75x y =是好数据； 6666410670y x y y =-+=-706821-=>，∴ ()()66,9,68x y =不是好数据；∴ 好数据为()4,90，()6,68，()8,75.22. 解：（1）()()cos 2cos 6h x x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin sin 2cos cos 2x x αα⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ ()h x的相伴向量12sin ,2cos 22OM αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴ ()h x R ∈， ∵ 2sin OM⎛= =， ∵R α∈，∴ []sin 1,13πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ []1,3OM ∈.（2）OM 的相伴函数()sin cos f x a x b x =+()x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=，当22x k πϕπ+=+，k Z ∈即022x k ππϕ=+-，k Z ∈时()f x 取得最大值，∴0tan tan 2cot 2a x k b ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，∴ 002022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a b b ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，ab 为直线OM 的斜率，又满足(()2211a b +-=，∴ a b⎡∈⎣，∴ ,3b a a b ⎛⋅∈-∞ ⎝⎦， ∴())0tan 2,03,x ⎡∈-∞+∞⎣.。