(2011绵阳一诊)四川省绵阳市高2011届第一次诊断性考试数学文(含答案)

绵阳市高中2011级第三次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBAB DADD BBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．15 14．4615．2 16．①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．…………………… 3分17．解 （1）∵ m ·n =21)22cos(2sin 2sin 2cos 2cos -=+-=+-B A B A B A ， ……… 3分∴ 212cos =+B A ．注意到 220π<+<B A ，∴ 32π=+B A ，得 3π=C ． ……… 6分（2）由 c 2 = a 2 + b 2－2ab cos 3π，得 5 =（a －b ）2 + ab ，ab = 1， ……… 9分 因此△ABC 的面积43sin 21==∆C ab S ABC ． ………………… 12分 18．解 （1）设“一局比赛出现平局”为事件A ，则221122222112112113()()()()()()323323236P A C C =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=， ………………… 4分 所以23()1()36P A P A =-=，即一局比赛的结果不是平局的概率为2336． ……… 6分（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B ．因为ξ 可取0，1，2，3， ………………… 7分所以328(0)()327P ξ===，123124(1)()339P C ξ==⋅⋅=， 223122(2)()339P C ξ==⋅⋅=，311(3)()327P ξ===． ………………… 9分0=ξE 19．解 ∴ BE 又 ∵ ∴ ∠而 BE ∩（20），F （0，1，1），于是，FA =(1,－1,－1)，FB = (1,1,－1)，FE = (0,1,－1)．设相交两向量FA 、FB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1)，则由n 1⊥FA ，得 x 1－y 1－z 1 = 0；由n 1⊥FB ，得 x 1 + y 1－z 1 = 0．解得 y 1 = 0，x 1 = z 1，因此令 n 1 =（1，0，1）．事实上，由（1）知，平面BEF 的一个法向量为n 2 =（0，1，1）．所以 cos< n 1, n 2> =211111111001||||2121=+⋅+⨯+⨯+⨯=⋅⋅n n n n ，两法向量所成的角为3π， 从而图2中二面角A －BF －E 大小为32π．……………… 8分另法 如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角H －BF －E 的大小为3π，进而求得二面角A －BF －E 的大小为32π．（3）连结BD 、BG 将多面体ADG －BFE 分割成一个四棱锥B －EFDG 和一个三棱锥D －ABG ，则多面体的体积 = V B －EFDG + V D －ABG ．653121112213111)21(2131=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅． ……………… 12分 另法 补成直三棱柱或过F 作ADG 的平行截面FKM ，则多面体的体积 = V 柱－V F －BEH =65 或 = V 柱 + V F －BEMK =65．20．解 （1）由题意知3=c ，b 2 = a 2－3，由2212213a a +=- 得 2a 4－11a 2 + 12 = 0， 所以（a 2－4）（2a 2－3）= 0，得 a 2 = 4或2232a c =<（舍去），因此椭圆C 的方程为1422=+y x ． ……………… 4分（2）由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 所以4k 2 + 1＞0，0161664)1)(14(166422222>+-=-+-=∆m k m k m k ，得 4k 2 + 1＞m 2． ① ……………… 6分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x 0，y 0），则122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -⋅=+， 于是 02441km x k -=+，02244141km m y k m k k -=⋅+=++，224(,)4141km m M k k -∴++．设菱形一条对角线的方程为1(1)y x k =--，则有 x =－ky + 1．将点M 的坐标代入，得 22414141km km k k --=+++，所以2413k m k+=-． ② ……………… 9分将②代入①，得2222(41)419k k k ++>，所以9k 2＞4k 2 + 1，解得 k ∈),55()55,(+∞⋃--∞． ……………… 12分 F D GBEA H法2 11221212(1,)(1,)(2,)DA DB DQ x y x y x x y y +==-+-=+-+2228822(,)4141km k m k k ++=-++．直线l 的方向向量为（1，k ），则由菱形对角线互相垂直得2228822(1,)(,)04141km k m k k k ++⋅-=++，即228822041km k km k ---+=+，－3km = 4k 2+ 1，2413k m k+=-， 代入①即得． 法3 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x 0，y 0），则142121=+y x ，142222=+y x ，于是，两式相减可得 1422212221=-+-y y x x ，即 x 0 + 4ky 0 = 0． ① 因为 QD ⊥AB ，所以 1100-=-=x y k k QD ． ②由①②可解得 340=x ，031y k -=，表明点M 的轨迹为线段340=x （35||0<<y ）．当350<<y ，k ∈（35，+∞）；当035<<-y ，k ∈（－∞,35）．综上，k 的取值范围是k ∈),55()55,(+∞⋃--∞． 21．解 （1）∵ nx x x f 2ln )(+=，∴ n x x f 211)(+='， 结合)(11n n a f a '=+，可得11211+=+n n n a a ，11112n n n a a +∴-=， ……………… 3分因此 )11()11()11()11(1112232111a a a a a a a a a a n n n n n -+-++-+-=---- =1221)21(121212121----=++++n n n ， 所以 1)21(21--=n n a ，即1221-=-nn n a ，n ∈N *． ……………… 6分 （2）111(21)(2)(21)()2n n n b n n a -=-⋅-=-⋅，211111135()(21)()222n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，12n S =21111113()(23)()(21)()2222n n n n -⨯+⨯++-⋅+-⋅，211111112[()()](21)()22222n n n S n -∴=++++--⋅， ……………… 9分 113111[1()]1112224(21)()6()(21)()122212n n n n n S n n -----=+⋅--=---⋅-=12326-+-n n ，∴ 6)246(lim )(lim 1=-=+-∞→∞→n n n n n b S ． ……………… 12分 22．解 （1）∵ a ＞0，ax e ax a x x f )12()(2+-=， ∴ ax ax e a a x a x e a x x f ⋅⋅+-+-=')12()22()(2=axax e a a ax e x ax a x )2()1222(22-+=+-+-， ……………… 2分于是a f 1)0(=，aa f 2)0(-='，所以曲线y = f （x ）在点A （0，f （0））处的切线方程为)0(21--=-x aa a y ，即（a －2）x －ay + 1 = 0． ……………… 4分（2）∵ a ＞0，e ax ＞0，∴ 只需讨论aa ax 22-+的符号． ……………… 5分ⅰ）当a ＞2时，aa ax 22-+＞0，这时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当a = 2时，f ′（x ）= 2x 2e 2x ≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数．……………… 6分ⅲ）当0＜a ＜2时，令f ′（x ）= 0，解得aax --=21，aax -=22．∴ f （x ）在)2,(a a ---∞，),2(+∞-a a 为增函数，f （x ）在)2,2(aaa a ---为减函数． ……………… 9分（3）当a ∈（1，2）时，aa -2∈（0，1）．由（2）知f （x ）在)2,0(a a-上是减函数，在)1,2(aa-上是增函数，故当x ∈（0，1）时，ae a aa a f x f ---=-=22min )21(2)2()(，所以22)(a x f >当x ∈（0，1）时恒成立，等价于1)21(2>---ae a 恒成立．当a ∈（1，2）时，)1,0(2∈-a ，设)1,0(,)1()(∈-=t e t t g t ，则0)(<-=--='t t t t te te e e t g ，表明g (t ) 在（0，1）上单调递减，于是可得)1,0()(∈t g ，即a ∈（1，2）时1)21(2<---a e a 恒成立，因此，符合条件的实数a 不存在． ……………… 14分。

绵阳市高2011级第三次诊断性考试数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题5分，共50分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C 提示：第10题：由a +b +c =2，有a +b =2-c ．由a 2+b 2+c 2=12知，(a +b )2-2ab +c 2=12，代入可得(2-c )2-2ab +c 2=12，整理得ab =c 2-2c -4．于是a ，b 可以看成是关于x 的方程x 2-(2-c )x + c 2-2c -4=0的两根，∴Δ=(2-c )2-4(c 2-2c -4)≥0，解得-2≤c ≤103，于是最大值与最小值之差为163． 二、填空题：每小题5分，共25分．11．88012．313．1214．1 15．1或2三、解答题：共75分．16．解：（Ⅰ）由S 3，S 9，S 6成等差数列，可得2 S 9=S 3+S 6．当q =1时，即得1111836a a a ≠+，不成立．…………………………………………3分当1q ≠时，即得9361112(1)(1)(1)111a q a q a q q q q---=+---，整理得：63210q q --=，即3232()10q q --=，解得：1q =（舍去），或2q =-7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3612q q +=，∴ 4325111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵ 78122a a q =，∴ 2582a a a +=，即a 2，a 8，a 5成等差数列． ……………………………………12分 17．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐． ………………………………6分（Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ， 从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：ABC ，Aab ，Bab ，Cab ，ABa ，ACa ，BCa ，ABb ，ACb ，BCb ，共10个． ……8分 其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：Aab ，Bab ，Cab ，ABa ，ACa ，BCa ，ABb ，ACb ，BCb ，共9个， ……………10分∴ 910P =．……………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有12cos cos()3x x παα==+，， ……………………2分∵cos()()362πππαα+=∈，， ∴sin()3πα+=， ………………………………………………………………4分 ∴ 1cos cos ()cos()cos sin()sin 333333x ππππππαααα⎡⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦，∴1x =． …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ 1sin y α=，则11111cos sin sin 224S x y ααα===．5()()62326πππππαα∈+∈由，，得，，∴2221112cos()sin()sin(2)223343S x y πππααα=-=-++=-+， ………………8分12112()sin 2sin(2)44331sin 22(2cos 2)88422)6f S S παααααααπα∴=+=-+=-=-=-，5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262ππα-=于是当，即max ()3f παα=，12分 19．（Ⅰ）证明：取AB 的中点G ，连结CG ．由底面ABCD 是梯形，知DC //AG ．又∵ DC =21AB =AG=a ， ∴ 四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ，∴ CG =12AB ． ∴ AC ⊥BC ．又∵ 二面角E -AC -B 是直二面角，即平面ACEF ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥平面ACEF ．∴ BC ⊥AF ．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH //BC ，ABCD FEGH∴ DH ⊥面ACEF ．即BC 、DH 分别是四棱锥B -ACEF 、D -ACEF 的高．在Rt △ACB 中，AC ，EF a ． 由EF //2AC //CH ，且∠ACE =90º，知四边形HCEF 是矩形， ∴ FH //EC ，于是FH ⊥AH ．在Rt △F AH 中，12CE FH a ===．∴ 211())22228ACEFa S EF AC CE a =+⋅=⋅=四边形，∴ D ACEF B ACEFV V V --=+11332a a =+3=．………12分 20．解：（Ⅰ）由已知有1()2f x ax x'=--， ∵ (1，f (1))是f (x )的一个极值点，∴(1)120f a '=--=，解得a =-1．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由题意知x >0，且1()2f x ax x '=--≥-1恒成立，即a ≤211x x-. 令g (x )=211x x -，于是323212()x g x x x x--'=+=，∴ 当x ≥2时，()g x '≥0，即g (x )是[2+)∞，上的增函数，当0<x <2时，()g x '<0，即g (x )是(0，2)上的减函数，∴ 当x =2时，g (x )取最小值g (2)=14-，∴ a ≤14-，即a 的最大值为14-．…………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 1()2f x ax x'=-+=221ax x x --+，设2()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，， ① 当a >0时，()x ϕ对称轴为10x a=-<，过点(0，1)开口向下，有一个正根x =则f (x )在(0上是增函数，在)+∞上是减函数． 当a <0时，()x ϕ对称轴为10x a=->，过点(0，1)开口向上， i ）若a ≤-1，()f x '≥0，则f (x )在(0)+∞，上是增函数．ii ）若10a -<<，当x∈(0时，()f x '≥0；当x∈时，()f x '≤0；当x∈)+∞时，()f x '≥0； ∴ f (x )在(0上是增函数，在上是减函数，在)+∞上是增函数． ∴ 综上所述，①当a ≤-1时， f (x )在(0)+∞，上是增函数； ② 当10a -<<时，f (x )在(0上是增函数，在上是减函数，在1()a+∞，上是增函数； ③当a >0时，f (x )在(0上是增函数，在)+∞上是减函数． ……………………………………………………13分21．解：（Ⅰ）设圆的标准方程为(x -r )2+y 2=r 2(r >0)，由已知有F (2p ，0)，即|EF |=r -2p． ∵ l∴，整理得2344p rp -=，①又∵2=∴2p =p =1． 代入①，解得r =1．∴ 抛物线的方程为y 2=2x ，圆的方程为(x -1)2+y 2=1．………………………………6分 （Ⅱ）设P (x 0，y 0)，M (0，b )，N (0，c )，不妨设b >c ， PM 的方程为：00y by b x x --=，整理得：000()0y b x x y x b --+=． 又直线PM 与圆(x -1)2+y 2=1相切， ∴1=，化简得22200002()x x b y b x b =-+．按题意，x 0>2，上式化简得，2000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分 同理，由直线PC 与圆(x -1)2+y 2=1相切，可得2000(2)20x c y c x -+-=．………9分 ∴ 由根与系数的关系知，0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，从而22200020448()(2)x y x b c x +--=-，……………………………………………………11分∵ P (x 0，y 0)是抛物线上的点， ∴ y 02=2x 0，∴ 220204()(2)x b c x -=-，即0022x b c x -=-． 故S △PMN =00000014()(2)4222x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--≥+4 =8，当且仅当20(2)4x -=时，上式取等号，此时x 0=4，y 0=±∴ S △PMN 的最小值为8．………………………………………………………………14分。

绵阳市高中2020级第一次诊断性考试文科数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．己知集合，则（）A. B. {-1，0，1} C. {-1，0，1，2} D.2．若命题:“”是真命题，则实数的取值范围是（）A. ≤-1B. <-1C. ≥1D. >13．若，则一定有（）A. B. C. D.4．设，则的值是（）A.2B.3C.D. 65．已知是等差数列的前项和，若，则（）A. 3B.4C. 6D.86．在△ABC中，点M为边AB上一点，，若，则（）A.3B.2C. 1D.-17．函数的图象大致为（）A B C D8.己知曲线在点处的切线方程为，则（）A.2B. eC.3D.2e9．若存在实数，使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（）A. B. C. D.10．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的倍，那么第年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约()年.(参考数据: )（）A.4B. 5C. 6D. 811．已知（）A. 10°B. 20°C.30°D.70°12．若函数的定义域为R，且为偶函数，关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为2B.C.的一条对称轴为D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正方形ABCD中，，则正方形ABCD的边长为___________14.若等比数列的各项均为正数，且，则=____.15.函数则满足不等式的的取值范围为.16.某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米.假设从小军在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点.则第10分钟小军离地面的高度为____米.三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3.考试结束后，将答题卡收回。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
3.某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为
A.8
B.6
C.4
D.3
4.已知命题 ，下列 的取值能使“ ”命题是真命题的是
A. B. C. D.
5.执行如右图所示的程序框图，如输入 ，则输出的值为
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．88012．313． 14．115．1或2
三、解答题：共75分．
16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．
当q=1时，即得 ，不成立．…………………………………………3分
当 时，即得 ，
整理得： ，即 ，
解得： （舍去），或 ．…………………………………………………7分
A.5
B.
C.9
D.
6.点 在边长为1的正方形 内运动，则动点 到顶点 的距离 的概率为
A. B. C. D.
7.函数 的零点个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
8.已知函数 的一段图像如图所示，△ 的顶点 与坐标原点 重
合， 是 的图像上一个最低点， 在 轴上，若内角 所对边长为 ，
且△ 的面积 满足 ，将 右移一个单位得到 ，则
（Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A，B，C，
乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a，b，
从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：
ABC，Aab，Bab，Cab，ABa，ACa，BCa，ABb，ACb，BCb，共10个．……8分