浙江省杭州市余杭区联盟学校八年级数学上学期期中试题

浙教版八年级上学期数学期中考试试卷（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 1，1，2B. 2，3，7C. 1，4，6D. 3，4，52.如图所示BC//DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是（）A. 60°B. 33°C. 30°D. 23°3.下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ①②③4.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠C=80°，则∠D的度数为( )。

A. 50°B. 55°C. 70°D. 80°5.已知AB=AC=BD，则∠1与∠2的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1﹣∠2=180°6.如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE ∥ BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE= BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.放学以后，小明和小强从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小明和小强行走的速度都是40米/分，小明用15分钟到家，小强用20分钟到家，小明家和小强家的距离为（）A. 600米B. 800米C. 1000米D. 不能确定8.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（）A. 45°B. 30°C. 22.5°D. 37.5°9..如图，已知≌，A和B，C和D分别是对应顶点.如果AB=6cm，BD=7cm,AD=4cm,那么BC的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm10.下列说法中正确的是（）A. 两腰对应相等的两个等腰三角形全等B. 面积相等的两个等腰三角形全等C. 能够完全重合的两个三角形全等D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等11.有下列命题：（1）有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形；（2）两个无理数的和不一定是无理数；（3）各有一个角是100°，腰长为8cm的两个等腰三角形全等；（4）不论m为何值，关于x的方程x2+mx﹣m﹣1=0必定有实数根．其中真命题的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图所示，三角形ABC的面积为1cm2。

期中测试卷（A 卷）一、选择题(每小题3分，共30分)1.一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ）。

A.115°B.120°C.125°D.130°2.若等腰三角形的顶角为a ，则它一腰上的高与底边的夹角等于（ ）。

A.2∂ B.90°+2∂ C.90°-2∂ D.90°-α3.已知等腰三角形ABC 的底边BC=8cm ，且lAC -BCl=2cm ，那么腰AC 的长为（ ）。

A.10cm 或6cmB. 10 cmC. 6 cmD.8cm 或6cm4.下面的说法正确的是（ ）。

A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条C.三角形的高至少有一条在三角形内D.钝角三角形的三条高都在三角形外面5.如图在Rt△ABC 中，△ACB=90°，BC=6，正方形ABDE 的面积为100，则正方形ACFG 的面积为（ ）。

A.64B.36C.82D.496.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足(a -b)(b 2-2bc+c 2)(c -a)=0，那么△ABC 的形状是（ ）。

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.锐角三角形7.如图在Rt△ABC 中，△ACB=90，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若△F=30°，DE=1，则EF 的长是（ ）。

A.3B.2C.3D.18.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-<--x a x x x 234)2(3无解，则a 的取值范围是（ ）。

A.a<1B.a≤1C.a>1D.a≥19.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 两点为格点，如果C 也是图中的格点，则满足△ABC 为等腰三角形的点C 的个数为（ ）。

A.6个B.7个C.8个D.9个10.如图，△MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）。

上学期期中考试 八年级数学试卷（实验班）说明：考试时间90分钟，满分100分一选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）分） 1．在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是【的取值范围是【 ▲ 】A ．13x <B ．13x >C ．13x ¹-D ．13x ¹2．若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是【度数是【 ▲ 】A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°3．若234a b c ==，且0abc ¹，则2a bc b +-的值是【的值是【▲ 】 A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 4．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），）， （6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的 坐标不可能是【坐标不可能是【 ▲ 】A ．（6，0）B ．（6，3）C ．（6，5）D ．（4，2）5．二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是【的值是【 ▲ 】 A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 6．已知两个相似三角形的周长之和为24cm ，一组对应边分别为2.5cm 和3.5cm ，则较大三角形的周长为【角形的周长为【 ▲ 】A ．10 cm B ．12 cm C ．14 cm D ．16 cm 7．如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ， 则下列结论错误的是【则下列结论错误的是【 ▲ 】A ．OF=CF B ．AF=BF C ．AD BD = D ．∠DBC=90° 8．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是【的增大而增大的是【 ▲ 】 A ．1y x =-+ B ．21y x =- C ．1y x=D ．21y x =-+9．平面直角坐标中，平面直角坐标中，已知点已知点O （0，0），A （0，2），B （1，0），点P 是反比例函数1y x=-图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ．若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P 共有【共有【 ▲ 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第4题图题图第7题图题图ABCDOABCDEPO 10．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：① 直线y ＝0是抛物线214y x =的切线；的切线； ② 直线x ＝－2与抛物线214y x =相切于点（－2，1）；）；③ 直线y ＝x ＋b 与抛物线214y x =相切，则相切于点（2，1）；）；④ 若直线y ＝kx －2与抛物线214y x =相切，则实数k ＝2 ．其中正确命题的是【其中正确命题的是【 ▲ 】A ．①②④．①②④B ．①③．①③C ．②③．②③D ．①③④．①③④ 二、填空题（每小题4分，共24分）分）11．已知双曲线1k y x+=经过点（－1，2），那么k 的值等于的值等于 ▲ 。

浙教版八年级上学期期中测试卷（一）数学（时间：90分钟；满分：120分）班级___________姓名__________学号________________分数____________一．选择题（共12小题）1．（2020·广东省恩平市黄冈实验中学月考）如图，AD是△ABC的中线，那么下列结论中错误的是（）A．BD=CD B．BC=2BD=2CD C．S△ABD=S△ACD D．△ABD≌△ACD 2．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4∆沿边BC所在直线向右平移得到DEF，则下列结3．（2020·山西阳城期末）如图，ABC论错误的是（）≅B．AC＝DF C．BE＝CF D．EC＝FC A．ABC DEF4．（2020·山东青州期中）如图，∠BAC=100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°6．（2020·辽宁西区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分AFC的面积是（）A．8 B．10 C．20 D．32 7．（2020·河南洛宁期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（）A．20°B．25°C．22.5°D．30°8．（2020·浙江上城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE ＝BE，则∠C的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°9．（2020·北京八中月考）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my 10．（2020·偃师市实验中学月考）如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．B．C．D．11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，下列结论错误的是（）．A．AF⊥AQ B．AF=AQ C．AF=AD D．F BAQ∠=∠12．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学三模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．15 2二．填空题（共6小题）13．（2019·河北泊头期中）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC ＝________．14．（2020·四川雅安期末）如图，在ABC 中，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，若△ADE ≌△BDE ≌△BDC ，则DBC ∠的度数为______．15．（2020·全国）如图所示，将长方形纸片ABCD 折一下，折痕为MN ，再折，使M B 、MC 与MN 叠合，折痕分别为ME 、MF ，则EMF ∠的度数为_______．16．（2020·上海市静安区实验中学）等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．17．（2020·江苏宿豫期中）如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，MN 过点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．则△AMN 的周长为_______．18．（2020·山东东平期末）如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．三．解析题（共6小题）19．（2019·湖北武汉期中）如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P(1) 求∠CPD 的度数(2) 若AE ＝3，CD ＝7，求线段AC 的长.20．（2020·湖南岳阳期末）如图，在Rt ABC 中，90,C AD ∠=︒平分CAB ∠交BC 于点,D DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点.（1）求B 的度数.（2）若5DE =，求BC 的长.21．（2020·江苏宿豫期中）已知：如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，AD 与BE 相交于点P ，AD 与BC 相交于点M ，BE 与CD 相交于点N ． 求证：()1APB 60∠=︒；()2CM CN =．22．（2020·陕西城固期末）如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P 点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．23．（2020·河南南召期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．AB CD点F在CB的延长线上，24．（2020·河北霸州期末）如图1，在四边形ABCD中，//,∠+∠=ABF D︒180AD BC；（1）求证：//（2）将四边形ABCD沿DE折叠，点C与点'C重合．①如图2，若点'C 落在AD 上，250︒∠=，则C ∠=②如图3，若点'C 落在AD 上方，115,250︒︒∠=∠=，求C ∠的度数．参考答案与解析二． 选择题（共12小题）1．（2020·广东省恩平市黄冈实验中学月考）如图，AD 是△ABC 的中线，那么下列结论中错误的是（ ）A ．BD=CDB ．BC=2BD=2CDC ．S △ABD =S △ACD D ．△ABD ≌△ACD【答案】D【解析】 解：∵AD 是△ABC 的中线，∴AD 平分BC ，∴BD =DC ，BC =2BD=2CD, S △ABD =S △ACD故A 、B 、C 选项正确，D 选项错误故答案为D2．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①应该是连接直线为一点与直线上的所有线段，垂线段最短，所以错误；②如果两个都是直角则可判断“互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角”错误；③根据平行线的判定定理可判断同旁内角相等，两直线平行正确；④因为没说明两直线平行，所以不能得出，故错误.∆沿边BC所在直线向右平移得到DEF，则下列结3．（2020·山西阳城期末）如图，ABC论错误的是（）≅B．AC＝DF C．BE＝CF D．EC＝FC A．ABC DEF【答案】D【解析】A、△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；B、因为△ABC≌△DEF，所以AC＝DF成立，故正确；C、因为△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即：BE＝CF，故正确；D、EC＝CF不能成立，故错误．故选：D．4．（2020·山东青州期中）如图，∠BAC=100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】A【解析】解：∵MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC∴BP=PA ，CQ=QA ，∴∠BAP=∠B ， ∠CAQ=∠C ，∴()2180B BAP PAQ CAQ C PAQ BAP CAQ ∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒又∠BAC=100°,∴100BAP CAQ PAQ ∠+∠=︒-∠ 设∠PAQ=x°，则有：x+2(100-x)=180,解之得：x=20∴∠PAQ=20°故选A ．5．（2020·山东博山二模）已知∠AOB ＝60°，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P ，以OP 为边作∠POC ＝15°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．15°B ．45°C ．15°或30°D ．15°或45° 【答案】D【解析】解：（1）以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以点M ，N 为圆心， 以大于12MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P ，则OP 为∠AOB 的平分线，∴AOP BOA 30∠∠==︒（2）两弧在∠AOB 内交于点P ，以OP 为边作∠POC ＝15°，则∠BOC ＝15°或45°， 故选：D ．6．（2020·辽宁西区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D′处，则重叠部分AFC 的面积是（ ）A．8 B．10 C．20 D．32【答案】B【解析】解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，矩形的面积是32，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△ACD′由△ACD翻折而成，∴∠ACD＝∠ACD′，∴∠ACD′＝∠CAB，∴AF＝CF，∵BF＝AB﹣AF＝8﹣AF，∴CF2＝BF2+BC2∴AF2＝（8﹣AF）2+42∴AF＝5，BF＝3∴S△AFC＝S△ABC﹣S△BFC＝10．故选：B．7．（2020·河南洛宁期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（）A．20°B．25°C．22.5°D．30°【答案】C【解析】∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠DBA，∵∠CBD：∠DBA=2：1，∴在△ABC中，∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°，解得∠A=22.5°．故选C．8．（2020·浙江上城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE ＝BE，则∠C的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】C【解析】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵D是AB的中点，∴DE＝12AB＝BD＝AD，∵DE＝BE，∴DE＝BE＝BD，∴△BDE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠C＝12×（180°﹣30°）＝75°，故选：C．9．（2020·北京八中月考）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【解析】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．10．（2020·偃师市实验中学月考）如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D．11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠【答案】C【解析】 如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．12．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学三模）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F ，AC ＝13，AD ＝12，BC ＝14，则AE 的长等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．152【答案】D【解析】 如图，过点E 作EG ⊥AB 于G ，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝12，AC＝13，∴DC5，∵BC＝14，∴BD＝14﹣5＝9，由勾股定理得：AB＝15，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵EG ED BE BE=⎧⎨=⎩，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝9，∴AG＝15﹣9＝6，设AE＝x，则ED＝12﹣x，∴EG＝12﹣x，Rt△AGE中，x2＝62+（12﹣x）2，x＝152，∴AE＝152．故选：D．三．填空题（共6小题）13．（2019·河北泊头期中）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC＝________．【答案】60°【解析】在△BOC和△AOD中，∵OA=OB，∠O=∠O，OC=OD，∴△BOC≌△AOD，∴∠C=∠D=35°．∵∠DAC=∠O+∠D=50°+35°=85°，∴∠AEC=180°﹣∠DAC﹣∠C=180°﹣85°﹣35°=60°．故答案为60°．14．（2020·四川雅安期末）如图，在ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE的度数为______．≌△BDE≌△BDC，则DBC【答案】30【解析】解：∵ADE≌BDE∴∠A=∠DBE，∠DEA=∠DEB∵∠DEA+∠DEB=180°∴∠DEA=∠DEB=90°∵BDE≌△BDC∴∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠C=90°∴∠A=∠DBE=∠DBC∴∠DBC=90°÷3=30°故答案为：30°．15．（2020·全国）如图所示，将长方形纸片ABCD折一下，折痕为MN，再折，使M B、MC与MN 叠合，折痕分别为ME 、MF ，则EMF ∠的度数为_______．【答案】90︒【解析】由折叠的性质得：,BME NME CMF NMF ∠=∠∠=∠，NME NMF BME CMF ∴∠+∠=∠+∠，又180NME NMF BME CMF ∠+∠+∠+∠=︒，1180902NME NMF ∴⨯∠=︒=+∠︒， 90NME NM EMF F ∴∠=∠=+∠︒，故答案为：90︒． 16．（2020·上海市静安区实验中学）等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．17．（2020·江苏宿豫期中）如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，MN 过点O ，且MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．则△AMN 的周长为_______．【答案】18【解析】∵在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠ABO ＝∠OBC ，∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC ，∴∠ABO ＝∠MOB ，∴BM ＝OM ，同理CN ＝ON ，∴△AMN 的周长是：AM +NM +AN ＝AM +OM +ON +AN ＝AM +BM +CN +AN ＝AB +AC ＝10+8＝18．故答案为：18．18．（2020·山东东平期末）如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．【答案】54︒【解析】如图，过点P 分别作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥于点N ，PE AC ⊥于点E ， 设CBP x ∠=，则2ABC x ∠=，36BPC ∠=︒，36DCP BP CBP C x ∠+∴∠=∠=+︒， CP 是ACD ∠的平分线，2272ACD DCP x ∴∠=∠=+︒，272272BAC ACD ABC x x ∴∠=∠-∠=+︒-=︒， BP 是ABC ∠的平分线，PM BD ⊥，PN BA ⊥，PM PN ∴=，同理可得：PM PE =，PN PE ∴=， 在Rt ANP 和Rt AEP △中，PN PE PA PA =⎧⎨=⎩， ()Rt ANP Rt AEP HL ∴≅，PAN PAE ∴∠=∠，即PAN CAP ∠=∠，又180PAN CAP BAC ∠+∠+∠=︒，272180CAP ∴∠+︒=︒，解得54CAP ∠=︒，故答案为：54︒．三．解析题（共6小题）19．（2019·湖北武汉期中）如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P(1) 求∠CPD 的度数(2) 若AE ＝3，CD ＝7，求线段AC 的长.【答案】（1）60；（2）10.【解析】如图，在AC 上截取AF=AE ，连接PF∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，在△APE 和△APF 中AE AF EAP FAP AP AP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠AOE=∠APF ，∵∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，∴∠APC=120°, ∴∠CPD=60°；（2）∵∠APC=120°，∴∠APE=60°，∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF ， 在△CPF 和△CPD 中，FPC DPC CP CPFCP DCP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝, ∴△CPF ≌△CPD （ASA ）∴CF=CD ，∴AC=AF+CF=AE+CD=3+7=10.20．（2020·湖南岳阳期末）如图，在Rt ABC 中，90,C AD ∠=︒平分CAB ∠交BC 于点,D DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点.（1）求B 的度数.（2）若5DE =，求BC 的长.【答案】(1)30°；(2)BC=15【解析】解：(1)∵DE ⊥AB 于点E ，E 为AB 的中点，∴DE 是线段AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠2=∠B ，又AD 平分∠DAB ，∴∠1=∠2，∴∠B=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠B=(180°-90°)÷3=30°，故答案为30°；(2)∵DE ⊥AB ，∠B=30°，∴BD=2DE=10，∵AD 平分∠CAB ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴DC=DE=5，∴BC=CD+BD=15，故答案为15．21．（2020·江苏宿豫期中）已知：如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，AD 与BE 相交于点P ，AD 与BC 相交于点M ，BE 与CD 相交于点N ． 求证：()1APB 60∠=︒；()2CM CN =．【解析】证明：()1ABC 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，DC EC =，ACB DCE 60∠∠==︒，ACB BCD DCE BCD ∠∠∠∠∴+=+，即ACD BCE ∠=∠，在ACD 和BCE 中AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACD ∴≌()BCE SAS ，CAD CBE ∠∠∴=．又AMC BMP ∠∠=，APB ACB 60∠∠∴==︒；()2在ACM 和BCN 中CAD CBE AC BCACB BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACM ∴≌()BCN ASA ，CM CN ∴=．22．（2020·陕西城固期末）如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．【解析】【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP∆和Rt CEP中，BP CP，DP EPRt BDP Rt CEP(HL)，∴=；BD CE（2）解：在Rt ADP∆和Rt AEP中，AP AP，DP EPRt ADP Rt AEP(HL)，AD AE∴=，AC cm=，=，106AB cmAD AE，610AD AD，即610=．解得AD2cm23．（2020·河南南召期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．24．（2020·河北霸州期末）如图1，在四边形ABCD 中，//,AB CD 点F 在CB 的延长线上，180ABF D ︒∠+∠=（1）求证：//AD BC ；（2）将四边形ABCD 沿DE 折叠，点C 与点'C 重合．①如图2，若点'C 落在AD 上，250︒∠=，则C ∠=②如图3，若点'C 落在AD 上方，115,250︒︒∠=∠=，求C ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）①80°；②65︒【解析】()1证明：//AB CD ，180A D ∴∠+∠=︒，180ABF D ∠+∠=︒，A ABF ∴∠=∠，∴AD ∥BC ；()2①解：由折叠的性质得：∠DEC =∠2=50°，C DC E '∠=∠， ∴22100CEC '∠=∠=︒，∵AD ∥BC ，∴180DC E CEC ''∠+∠=︒，∴80DC E '∠=︒，∴80C ∠=︒；故答案为：80°；②解：将四边形ABCD 沿DE 折叠﹐点C 与点'C 重合， 250DEC ∴∠=∠=︒，C DC E '∠=∠//AD BC ，50DEC ADE ∴∠=∠=︒，1155065C DE ADE '∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，1802180506565C C DE ︒∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=''︒， ∴C ∠=65°．。