实验三 插值法与拟合实验
一、实验目的
1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较
2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差
二、实验题目
1. 插值效果的比较
实验题目：区间5,510等分，对下列函数分别计算插值节点kx的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(xfy的图形进行比较：
211)(xxf； xxfarctan)(； 441)(xxxf
（1） 做拉格朗日插值；
（2） 做三次样条插值.
2. 拟合多项式实验
实验题目：给定数据点如下表所示：
ix -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
iy -4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55
分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(iiyx和拟合函数的图形.
三、实验原理
本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理.
四、实验内容
1（1）
figure
x=-5:0.2:5;
y=1./(1+x.^2);
plot(x,y,'r');
hold on
%拉格朗日插值
x1=-5:1:5;
y1=1./(1+x1.^2);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
%三次样条插值
dy0=1./(1+25);
dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);
plot(xx,m,'ok')
1（2）
x=-5:0.2:5;
y=atan(x);
plot(x,y,'r');
hold on
%拉格朗日插值
x1=-5:1:5;
y1=atan(x1);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
用拉格朗日插值法拟合数据
步骤
以下是使用拉格朗日插值法拟合数据的基本步骤：
1. 收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点，这些数据点包括自变量和对应的因变量值。
2. 构造拉格朗日多项式：根据已知数据点，构造拉格朗日多项式。拉格朗日多项式是一个关于自变量的多项式，通过已知数据点确定其系数。
3. 插值计算：利用构造的拉格朗日多项式，对未知数据点进行插值计算。根据自变量值，计算出对应的因变量值。
注意事项
在使用拉格朗日插值法拟合数据时，需要注意以下几点：
1. 数据点的选择：已知数据点的选择对拟合结果有重要影响。应选择具备代表性的数据点，并避免过分密集或过于稀疏的分布。
2. 插值误差：拉格朗日插值法是一种插值方法，而非外推方法。因此，在进行插值计算时，应注意插值误差的范围，避免过大的误差。
3. 拟合复杂性：拉格朗日插值法是一种简单直观的拟合方法，适用于一般性的数据拟合。然而，对于复杂的数据拟合问题，可能需要考虑其他更为复杂的插值方法。
总结
拉格朗日插值法是一种常用的数据拟合方法，可以通过已知的数据点推测出未知数据点的值。它基于拉格朗日多项式的概念，并利用多项式的特性进行拟合。在使用拉格朗日插值法时，需要注意数据点的选择、插值误差的范围以及拟合复杂性。
1 安徽财经大学统计与数学模型分析实验中心
《数学软件》实验报告
实验名称：曲线拟合与插值 使用软件： Matlab
实
验
目
的 熟练掌握多项式拟合与插值的计算方法
实
验
内
容（具体题目及程序）
1.某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.
x 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 40.5 41 41.5 42 42.5 43
y 3.4 3 3 2.27 2.1 1.83 1.53 1.7 1.8 1.9 2.35 2.54 2.9
程序如下：
x=37:0.5:43;
y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];
plot(x,y,'*');
p=polyfit(x,y,2)
y1=0.1660*x.^2-13.3866*x+271.6231
plot(x,y,'*',x,y1,'r*-'))
R=sum((polyval(p,x)-y).^2)
2.对 y=cosx的数据进行插值，比较各种插值方法
程序如下：
x=[-2*pi:0.5*pi:2*pi];
y=cos(x);
x1=-2*pi:0.3*pi:2*pi;
y_nearest=interp1(x,y, x1,'nearest');
y_linear= interp1(x,y,x1);
y_spline= interp1(x,y,x1, 'spline' );
y_cubic= interp1(x,y,x1, 'cubic' );
plot(x,y,'o',x1,y_nearest,'-',x1,y_linear, 'r* ', x1,y_spline,'k:',x1,y_cubic,'k -');
·64· 插值与拟合方法
在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据．插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度．
插值问题:要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点．通常插值方法一般用于数据较少的情况．
数据拟合：不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据的整体变化趋势。
共同点：插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法，由于对近似要求的准则不同，因此二者在数学方法上有很大的差异．
插值问题的一般提法：
已知某函数)(xfy（未知）的一组观测（或试验）数据),,2,1)(,(niyxii，要寻求一个函数)(x，使iiyx)(),,2,1(ni，则)()(xfx．
实际中,常常在不知道函数)(xfy的具体表达式的情况下，对于ixx有实验测量值iyy),,2,1,0(ni，寻求另 ·65· 一函数)(x使满足：
)()(iiixfyx),,2,1,0(ni 称此问题为插值问题，并称函数)(x为)(xf的插值函数，nxxxx,,,,210称为插值节点，),,2,1,0()(niyxii称为插值条件，即)()(iiixfyx),,2,1,0(ni，则)()(xfx．
（1） 拉格朗日（Lagrange）插值
设函数)(xfy在1n个相异点nxxxx,,,,210上的函数值为nyyyy,,,,210，要求一个次数不超过n的代数多项式
nnnxaxaxaaxP2210)(
使在节点ix上有),,2,1,0()(niyxPiin成立，称之为n次代数插值问题，)(xPn称为插值多项式．可以证明n次代数插值是唯一的．
