当前位置：文档之家 › 数学常用的方法与思想

数学常用的方法与思想

  • 格式：docx
  • 大小：95.50 KB
  • 文档页数：4

数学中常用的方法与思想

一． 换元法

注意：换元之后立刻写出新元范围

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

习题：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。

4.方程1313xx＝3的解是_______________。

5.不等式log2(2x－1) ·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。

6. 已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。

7. 不等式x>ax＋32的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

8.函数y＝2x＋x1的值域是________________。

9.椭圆x216＋y24＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP·kOQ＝－14 ， （1）求证：|OP|2＋|OQ|2等于定值； （2）求线段PQ中点M的轨迹方程。

二．待定系数法

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

① 利用对应系数相等列方程；

② 由恒等的概念用数值代入法列方程；

③ 利用定义本身的属性列方程；

④ 利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

习题：

1. 二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

2. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

3. 与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。

4. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。

三．分离参数法

1.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。

2. 已知 3421lg)(axfxx 若x∈(-∞,1］时，f(x)有意义，求a的范围.

3. 若关于x的方程xmx210在区间02，上有实数解，求实数m的取值范围。

4. 已知当x22，时，不等式11302mxmxm恒成立，求实数m的取值范围。

四．分类讨论 原则：先列纲，后计算

分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.

习题：

1. 已知函数有最大值2，求实数的取值范围

2. 已知函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）求在区间上的最小值.

五．数形结合

1. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。

A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5

C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5

2. 如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。

3. 已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。

4. 若loga2

A. 0b>1 D. b>a>1

5. 已知5x＋12y＝60，则xy22的最小值是_____。

6. 方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

7. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。 8. 若方程x2－3ax＋2a2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。

六．特殊化

1.不等式组2222log11xx 的解集为（ ）

0,3 3,2 3,4 2,4ABCD

2. 如果128,,,aaa为各项都大于0的等差数列，公差0d，则（ ）

1845184518451845

AaaaaBaaaaCaaaaDaaaa

3. 过抛物线2(0)yaxa的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则11pq等于（ ）

112 4 2a4aAaBCaD

·

合集下载

小学数学中常见的数学思想方法有哪些

小学数学中常见的数学思想方法有哪些

小学数学中常见的数学思想方法有哪些

1.归纳法：通过观察一般情况，从而推断出普遍规律。例如，通过寻找一些数列的规律，利用归纳法可以推出数列的通项公式。

2.逆向思维：通过逆向思考问题，从结果出发逆推回起始状态。逆向思维常用于解决逻辑推理和问题求解。例如，将一个求和问题转化为找到使得等式成立的数。

3.分解与组合：将一个大问题分解为若干个较小的子问题，然后通过解决子问题得到解决整个问题的方法。这种思想方法常用于解决复杂的问题，可以降低问题的难度。

4.比较与类比：通过比较或类比不同的情况或对象，找到相似之处或变化的规律，从而解决问题。例如，可以通过类比找到两个数的最大公约数和两个数的最大公倍数之间的关系。

5.推理与证明：通过逻辑推理和数学证明解决问题。推理与证明是数学思维中最基本和最重要的方法之一、通过推理和证明，可以建立数学定理和推理规则，从而解决更复杂的问题。

6.抽象与泛化：将问题抽象为一般性质或模式，从而简化问题，找到问题的本质。抽象与泛化是数学思想中的核心思维方法之一，通过抽象和泛化，可以建立数学概念和定理。

7.反证法：通过反证得到正证结论。反证法常用于证明一些结论的唯一性或否定性。通过假设结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结果，从而得到结论的成立性。 8.猜想与验证：通过猜想和验证的方法解决问题。猜想与验证是一种探索性的方法，通过发现规律和验证猜想的正确性，找到问题的解决方法。

9.近似与估算：通过近似和估算的方法解决问题。近似与估算是数学思维中的实用方法之一，可以在缺乏精确计算方法时得到近似的结果。

以上是小学数学中常见的数学思想方法，请注意，数学思想方法的具体应用还受到问题性质、题型以及学生认识和思维水平的影响，因此，教学中还应根据具体情况灵活运用。

常用数学思想方法浅析

常用数学思想方法浅析

常用数学思想方法浅析

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中，因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。

数学思想是对数学规律的理解性认识和本质体现，只有深刻地理解和掌握它，把它溶化于我们思想的血脉中，我们的解题才会充满思想、充满智慧。数学思想——数学解题的锐利武器。

一、函数与方法的思想方法

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。

（2）方程的思想

例1 若抛物线y=-x2+mx-1和两端点为A（0,3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围。

解：线段AB的方程是y=-x+3(0fx￡3)

代入y=-x2+mx-1

得x2-（m+1）x+4=0(0fxf3)

原命题等价于在f(x)=x2-(m+1)x+4 在[0，3]上有两个不等实根

故有

解得30时，01

（2）证明：f(x)在R上是单调递减。

（3）若f(x)≦m2-2am+1对所有x∈[0,+∞],a∈[-1,1]时恒成立，求实数m的取值范围。

解析:(1)f(m+n)=f(m)gf(n)中取

m>0,n=0有

f(m)=f(m)gf(0),∵x>0时，01即x1

(2)设x10

00

∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)

=f(x1)[f(x2-x1)]-1<0

∴f(x)在R上单调递减。

（3）略

点评：抽象函数中，恰当的对条件给出的恒等式进行赋值，是解题的常用方法。（1）中通过将m、n赋值x、–x，从而将f(x)用f(-x)表达；（2）主要将f(x2)等价转化为f[(x1-x2)+x1]是常用手法；（3）是“恒成立“问题，于是只要考察f(x)的最大值，问题即明朗化了。（作者单位系山东省临沂市第三中学）

中小学——数学解题技巧——数学小学数学常用的16种思想方法

中小学——数学解题技巧——数学小学数学常用的16种思想方法

中小学——数学解题技巧

第 1 页 共 3 页 数学|小学数学常用的16种思想方法

数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些 “拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法

用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

5、类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。

6、转化思想方法

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 中小学——数学解题技巧

十大数学思想方法

十大数学思想方法

十大数学思想方法

数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面请欣赏店铺为大家带来的十大数学思想方法，希望对大家有所帮助~

1、配方法：

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判别式△=b2—4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法：

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。