三角形的内心与内切圆性质解析

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形的内切圆与外接圆的性质三角形是几何学中最基本也是最重要的一个概念。

在三角形的研究中，内切圆和外接圆是两个常见而又重要的概念。

本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的性质和特点。

一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。

在研究内切圆的性质时，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心和三角形的角平分线的交点的连线，三条线段的交点位于内切圆的圆心上。

2. 内切圆的半径等于三角形的内切圆半径等于三角形三边之和的一半除以半周长。

3. 三角形的内切圆与三角形相切的三条边之间的距离相等。

4. 三角形的内切圆与三角形的三个内角的角平分线相交于一个点。

由上述性质可知，内切圆与三角形密切相关，可以帮助我们研究三角形的性质和特点。

内切圆在三角形的重心、垂心等重要点的研究中起到了重要的作用。

二、外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点相切的圆。

在研究外接圆的性质时，我们可以得出以下结论：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。

2. 外接圆的半径等于三角形三边之积与4倍三角形的面积之比。

3. 三角形的外接圆与三角形三个顶点连线的垂直平分线相交于一个点。

4. 三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边。

由上述性质可知，外接圆也与三角形的重要性质和特点密不可分，特别是在求解三角形的面积、周长、角度等问题时能够发挥重要作用。

总结：内切圆和外接圆分别是与三角形密切关联的两个圆形。

它们在三角形的研究中具有重要的性质和特点。

内切圆与三角形的内角平分线、边界点等位置有密切关系，可以帮助我们推导出三角形的其他性质。

而外接圆则与三角形的边界点、面积、周长等有重要关系，能够帮助我们更好地理解三角形的特点。

了解三角形的内切圆与外接圆的性质，可以帮助我们更深入地研究三角形的性质和特点，对于解决实际问题和进行几何证明有着重要的作用。

通过对内切圆和外接圆的深入理解和研究，我们可以更好地理解和应用三角形的相关知识。

三角形的外接圆与内切圆的性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它有着独特的性质和特征。

其中，三角形的外接圆和内切圆是三角形独特的性质之一，它们在几何学中有着重要的应用和意义。

1. 外接圆外接圆是指可以恰好通过三角形的三个顶点的圆。

对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个外接圆，记作O。

性质一：外接圆的圆心O位于三角形的外角的平分线上。

当我们连接三角形的顶点A、B、C与外接圆的圆心O时，我们可以发现圆心O位于三角形ABC的外角的平分线上。

这是因为如果O不在外角的平分线上，那么至少有一个外角的角平分线无法通过点O，与O所在的直线会有交点。

这与外接圆的定义相矛盾，因此外接圆的圆心O必然位于三角形的外角的平分线上。

性质二：三角形的三条边是外接圆的切线。

对于三角形ABC，三条边AB、BC、CA分别与外接圆相交于点D、E、F。

根据相切的定义，三角形的每条边与外接圆相交，且相交点即为切点。

因此，三角形的三条边是外接圆的切线。

2. 内切圆内切圆是指可以恰好与三角形的三条边相切的圆。

对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个内切圆，记作I。

性质三：内切圆的圆心I是三角形的角平分线交点。

当我们连接三角形的各个顶点A、B、C与内切圆的圆心I时，我们可以发现圆心I是三角形ABC的角平分线的交点。

这是因为内切圆与三角形的三条边相切，且根据切点与切线的性质，切线与圆的圆心相连，必然经过圆心。

因此，内切圆的圆心I必然位于三角形的角平分线的交点处。

性质四：三角形的内角的平分线交点是内切圆的切点对于三角形ABC，三个内角的平分线分别与内切圆相交于点D、E、F。

根据相切的定义，三角形的每个内角的平分线与内切圆相交，且相交点即为切点。

因此，三角形的内角的平分线交点是内切圆的切点。

三角形的外接圆与内切圆的性质在几何学中具有深远的应用价值。

通过研究和运用这些性质，我们可以推导出各种三角形的特征和关系，解决一些几何问题，并在实际生活中进行测量和建模。

三角形的外接与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形紧密相关的概念之一就是外接与内切圆。

本文将详细探讨三角形的外接与内切圆的性质、特点以及相关定理。

外接圆的定义和性质对于任意一个三角形，可以找到一个唯一的圆，使得该三角形的三个顶点都在这个圆上，这个圆就被称为该三角形的外接圆。

外接圆的圆心被称为外心，外接圆的半径被称为外接圆半径。

外接圆的性质有以下几点：1. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点之间的距离相等，即外接圆的圆心到三个顶点的距离相等。

2. 三角形的三条边与外接圆的切点构成的切线三线共点，且相交于外心。

3. 外接圆的直径等于三角形的最长边，即外接圆的直径长度等于三角形的最大边长。

内切圆的定义和性质与外接圆类似，对于任意一个三角形，可以找到一个唯一的圆，使得这个圆与三角形的三条边都相切，这个圆就被称为该三角形的内切圆。

内切圆的圆心被称为内心，内切圆的半径被称为内切圆半径。

内切圆的性质有以下几点：1. 内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等，即内切圆的圆心到三边的距离相等。

2. 三角形的三条边上的角平分线与内切圆的切点共线，且相交于内心。

3. 内切圆的半径等于三角形的周长与半周长之差的比值，即内切圆半径等于三角形的半周长。

外接圆和内切圆的关系三角形的外接圆和内切圆具有一些有趣的关系：1. 外接圆的圆心、内切圆的圆心和三角形的重心三点共线。

2. 外接圆半径的长度是内切圆半径长度的2倍。

应用和定理有关三角形的外接与内切圆的定理有很多。

其中一些重要的定理包括：1. 欧拉定理：对于任意三角形，三个特殊点——外心、内心和重心——共线。

2. 欧拉定理的特例是费马点定理：对于任意三角形，使得从这个点到三个顶点的距离和最小的点，一定是三角形的内心。

3. 皮可定理：对于任意三角形，内心到三个顶点的距离的和等于内切圆的半周长。

结论三角形的外接与内切圆在几何学中占据着重要的地位。

通过研究三角形的外接与内切圆的性质和定理，我们可以深入理解三角形的特点，进一步拓展几何学的知识。

三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算我们先来回顾一下三角形的内切圆的性质：1. 内切圆的圆心与三角形的重心、垂心、外心、内心共线，且这条线段称为Euler线。

2.内切圆的半径与三角形的面积、周长有关。

根据这两个性质，我们可以利用三角形的边长来求内切圆的半径。

下面以常见的三角形类型为例进行介绍。

一、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。

由于等边三角形的内切圆的圆心就是三角形的重心、垂心、外心、内心的交点，所以内切圆的半径等于三角形任意一条边的一半。

也就是说，对于等边三角形来说，内切圆的半径r等于边长a的一半，即r=a/2二、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

对于等腰三角形，我们可以利用勾股定理和等腰三角形的性质来求内切圆的半径。

以等腰三角形ABC为例，AB=AC=a，BC=b。

假设D为底边BC的中点，E为内切圆与BC的切点。

根据勾股定理，有AD=sqrt(AB^2-BD^2)=sqrt(a^2-b^2/4)。

由于DE和BD是一条线段，所以DE=BD。

又因为DE垂直于BC，所以DE也是高。

进一步利用三角形的面积公式S=1/2 bh，其中b为底边长，h为高，可得S=1/2 * a * DE。

将之前得到的DE 带入计算，可以得到S=1/2 * a * BD = 1/2 * a * r，其中r为内切圆半径。

综上所述，对于等腰三角形，内切圆的半径r等于sqrt(a^2-b^2/4)/2，其中a为腰长，b为底边长。

三、一般三角形对于一般的任意三角形ABC，我们可以利用海伦公式和三角形面积公式来求内切圆的半径。

首先，我们可以利用海伦公式来计算三角形的面积S，海伦公式为S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中a、b、c为三角形的边长，p=(a+b+c)/2为半周长。

然后，我们可以利用面积公式S=1/2*a*r，其中a为三角形的半周长，r为内切圆的半径。

将两个公式结合起来，可以得到r=S/(1/2*a)=2S/a。

三角形的外切圆与内切圆性质三角形是数学中最基本的几何图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。

其中，外切圆和内切圆是三角形中的两个重要概念，它们与三角形的关系十分密切。

在本文中，我将为大家详细介绍三角形的外切圆与内切圆的性质，并给出一些实际的例子和应用。

一、外切圆的性质外切圆是指一个圆恰好与三角形的三条边相切于三个不同点。

我们先来看一下外切圆的一些基本性质。

1. 外切圆的圆心位于三角形的外接圆心三角形的外接圆是通过三角形三个顶点确定的圆，而外切圆的圆心恰好位于外接圆的圆心上。

这是因为外切圆与三角形的三边相切，所以它的圆心必然位于三角形的外接圆心处。

2. 外切圆的半径等于外接圆的半径外切圆与三角形的三边相切，所以它的半径等于外接圆的半径。

这个性质在解决一些与外切圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。

3. 外切圆的切点是三角形三边的垂直平分线的交点外切圆与三角形的三边相切于三个不同点，这三个点分别位于三角形三边的垂直平分线上。

垂直平分线是指与三角形的三边垂直且平分三角形边的线段，它们的交点就是外切圆与三角形三边相切的点。

二、内切圆的性质内切圆是指一个圆恰好与三角形的三条边相切于三个不同点。

接下来，我们来看一下内切圆的一些基本性质。

1. 内切圆的圆心位于三角形的内心三角形的内心是通过三角形三边的三条角平分线的交点确定的，而内切圆的圆心恰好位于内心处。

这是因为内切圆与三角形的三边相切，所以它的圆心必然位于三角形的内心处。

2. 内切圆的半径等于三角形的内接圆的半径内切圆与三角形的三边相切，所以它的半径等于三角形的内接圆的半径。

内接圆是通过三角形的三个角的三条角平分线的交点确定的圆。

3. 内切圆的切点是三角形三边的角平分线的交点内切圆与三角形的三边相切于三个不同点，这三个点分别位于三角形三边的角平分线上。

角平分线是指与三角形的三个角相交且平分角的线段，它们的交点就是内切圆与三角形三边相切的点。

三、外切圆与内切圆的应用外切圆与内切圆在实际问题中有着广泛的应用。

三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。

本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。

一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。

换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。

外接圆也被称为三角形的园外接圆。

2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。

3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。

二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。

内切圆也被称为三角形的园内切圆。

2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。

3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。

综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。

通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。

因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。

三角形的心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;外心:三中垂线的交点;旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.1三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．2三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

三角形内切圆的性质及应用来看这样一道几何题.题1如图1所示，ABC △的内切圆⊙I 与三边分别切于点F E D 、、，直线DICI BI 、、分别与EF 交于点K N M 、、，直线BN 与CM 交于点P ，直线AK 与BC 交于点G ，过点I 且垂直于PG 的直线与过点P 垂直于PB 的直线交于点Q .证明：直线BI 平分PQ .【分析】此题表面上复杂，但经过一番抽丝剥茧，最终可以归纳成数个结论的嵌套，实质上难度不大.但是，这些结论在解题中却有着广泛的应用，更是可以成为某些问题的突破口.下面依次分析.我们看到，本题图形复杂，一些点的位置难以看清.接下来将重新描述它们的位置，以期起到简化问题的效果.结论1点I 为BCP △的垂心.证明首先，我们知道四边形BINF 内接于圆，这是导角容易得到的.因此，°90=∠=∠BNI BFI .同理，°90=∠IMC ，故点I 为垂心，证毕.结论2点G 为边BC 中点.证明延长DK 交内切圆于S ，过点S 作其切线与三角形两边相交.我们考虑圆外切四边形BCXY .根据牛顿定理，点K 为CY BX 、的交点.而又BC XY //，可知G 为边BC 中点，这一点不难通过比例线段得到.证毕.于是，我们可以将点A 和内切圆删除，这并不影响原题的结论.这样一来，原题的图形也就得到了极大的简化.之后的步骤并不复杂.对于正式的证明本文从略，由于它并不是重点.题1的价值在于它引出了结论1和结论2，尤其是前者，在解题中应用广泛.一般来说，对于涉及内切圆两切点连线的问题，结论1就提供了很好的思路.作出题1中的BCP △作为辅助线，并寻找相似三角线和四点共圆等往往能奏效.性质1的等价形式有时也被使用.推论在图1中，延长CM 交AB 于点R ，则MR CM =.下面给出了一些具体的例子以体现上述结论的应用.例1如图2，在ABC △中，AC AB >，内切圆⊙I 于边AB CA BC 、、分别相切于点F E D 、、，M 是边BC 的中点，BC AH ⊥于点H ，BAC ∠的平分线AI 分别于直线DF DE 、交于点L K 、.证明：K H L M 、、、四点共圆.【分析】根据推论，自然联想到延长CH 与对边相交.这样一来就不难处理了.证明我们不难知道CL NL =，因此，有BN ML //.这样一来可知ABC LMC ∠=∠.另一方面，由于CD CE =，再结合AK 平分BAC ∠，可知LMC ABC AKE ∠=∠=∠.这样就证明了原题.例2如图3，M 为BC 中点，AM 与EF 交于点N .两条角平分线分别与EF 交于点Y X 、.证明：NXNYAC AB =.【分析】根据提供的思路，我们仍然作出图中所示的辅助线.利用垂心的性质，可发现一组角平分线，恰能将所求比例的左边转化到一个三角形的两边.进而，只需证明其与原三B A EC G F DK M N QI P XY S 图1L B E CA F D KM N I H 图2图3角形相似即可.证明通过两组四点共圆，可分别证明IYD IBD ∠=∠；XYC XBC ∠=∠.因此，ABC XYD ∠=∠.由此可知ABC DYX △△∽.故DXDY AC AB =.另一方面，根据垂心的基本性质，又不难有YDN XDN ∠=∠.因此，NXNYDX DY =.原题得证.例3如图4，设⊙I 与ABC △两边相切，过I 作BC 的垂线，交⊙I 于F .EF DF 、分别交BC 于点G H 、.又分别连接AH AG 、得到点N M 、.证明：BC MN //.【分析】这图形本身作为内切圆的推广，自然可以使用内切圆的性质加以证明.这之前，首先要做的工作是使⊙I 成为内切圆.为了达成我们的目的，作出如图所示的辅助线.这样一来，上述结论便有了用武之地.另一方面，我们已经知道BC MN //的充要条件是AF 为FMN △的中线，这由塞瓦定理不难说明.因此，只需构造一条与BC 平行的直线.APQ△的中位线是一个很好的选择.这之后的处理虽稍有技巧性，也并不难想到.证明过F 作BC PQ //.延长QI PI 、与直线DF EF 、分别交于点R L 、.不难证明LR 是APQ △中位线.这一点，只须分别延长AL AR 、与PQ 相交，结合推论即可得知.因此，四边形ARFL 为平行四边形.故LR 被AF 平分.结合BC RL //，可知HG 被AF 平分.因此，HG MN //.原题得证.例4如图5，在锐角ABC △中，AC AB >，I 是其内心，D 是I 在边BC 上的射影.BC 边上的高AH 和CI BI 、分别交于点Q P 、.设O 为IPQ △的外心，延长AO 交BC 于点L .AIL △的外接圆与BC 交于两点L N 、.证明：CNBNCD BD =.【分析】原题结论即证明一组调和点列.根据调和点列的定义，自然联想到构造完全四边形.而结论1中的含垂心的三角形就是一个不错的选择.仔细分析图形，可以挖掘到两个关键的性质：一是一组相似三角形，二是OI AI ⊥.这之后处理的思路便自然了.证明显然OI AI ⊥.因此，AI 为⊙O 切线.取PQ 中点T .则T O I A 、、、四点共圆.图4B A EC DL G FMN P Q RIH CMN IX YK M O PQRIT HS L N图5KAACF BBD ED由此，再结合四边形AILN 内接于圆，可知ITO INL IAL ∠=∠=∠.过C B 、分别作BI CI 、的垂线，垂足为S R 、.不难证明ABC DYX △△∽，故KMC ITP ∠=∠.但又有°90=∠+∠ITP ITO ，因此°90=∠+∠KMC INL ，KM IN ⊥.因此，I 为KMN △的垂心.这里要说明一个经典结论：在圆内接四边形中，圆心、对角线交点、两对边所在直线交点计4点，构成一垂心组.这里略去证明而仅承认它的正确性.这表明，点N 位于直线RS 上.因此，点对C B 、被N D 、调和分割，也即CNBNCD BD =.证毕.例5如图6，点I 为ABC △的内心，-A 旁切圆分别切AB BC 、边于点F D 、，过A 且垂直于BC 的直线交FD 于V .证明：⊙()BI 与⊙()AFV 相切.【分析】一般来说，处理两圆相切问题的基本思路是：先在定圆上找出切点，挖掘切点的性质，并作出切线，再证明此直线和三角形外接圆相切.这里两点值得注意：一是切点既然已经在两个圆上，那么它很可能是某个完全四边形的密克尔点；二则是最后一步的处理手法常是利用弦切角定理.根据这一基本思路，再结合之前提供的结论，可以解决本题.证明重新定义V 为PQ 与DF 的交点.分别对完全四边形FBAVDH 与AHVPQC 应用梅涅劳斯定理，有1=VA HVDH BD FB AF ；1=PCHPVH AV QA CQ .而注意到CE BD =；CP CQ =，代入上式中，可知IPDI IQ F I PH DH AQ AF a a ===，这里使用了a AFI AQI △△∽这一结论.也即有PHIPDH D I a =.又由D I ID a //，得知BC AH ⊥.因此，根据同一原理，开头提出的定义与原题目中定义相一致.过B 作AI BT ⊥交⊙()BI 于点T ，并延长之交AC 于点M ，则熟知DE 过点T .因此，VT DT ⊥，V H T D 、、、四点共圆，另一方面，又有H I B A 、、、四点共圆，因此T 为完全四边形FBAVDH 的密克尔点，于是T 也在⊙()AFV 上.过T 作⊙()BI 的切线TL ，则只须证TL 也与⊙()AFV 相切即可，而这又与下式等价：BAC TAF LTB ∠21=∠=∠.....A M P QI TH L aI B C D F E 图6但)ABC BAC TIB LTB ∠+∠21=∠=∠，只须证ABC BTF ∠21=∠即可.由F D T B 、、、四点共圆，我们有ABC IBC BDF BTF ∠21=∠=∠=∠.证毕.在解题中，发现并灵活应用一些结论对解题是有很大帮助的.但有必要说明，并不是一切与内切圆有关的问题都适用此方法，应根据问题的实际情况加以判别.。

三角形的外接圆与内心的性质比较三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形紧密相关的概念之一就是外接圆与内心。

外接圆是指可以完全包围三角形的圆，而内心则是指三角形内部切于三条边的圆心。

在研究三角形的性质时，对外接圆与内心的比较是十分有意义的。

本文将分别从几何性质和应用角度对三角形的外接圆与内心进行比较，并探讨其特点与重要性。

一、外接圆的性质外接圆是将三角形的三个顶点放在同一个圆上的圆。

它有以下几个重要性质：1. 外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半。

换句话说，外接圆的半径等于三角形边长的一半。

2. 外接圆的圆心位于三角形的外角的角平分线上。

这意味着，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。

3. 外接圆的圆心是三角形外角的垂直平分线的交点。

这意味着，外接圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。

4. 外接圆的直径等于三角形的斜边。

换句话说，外接圆的直径等于三角形的最长边。

以上性质使得外接圆在解决三角形相关问题时具有重要的作用，例如在计算三角形的面积、角度等方面，可以利用外接圆的性质来简化计算过程。

二、内心的性质内心是三角形内部的一个点，其特点是与三角形的三条边相切。

它有以下几个重要性质：1. 内心到三角形的三个顶点的距离相等。

换句话说，内心到三角形的三条边的距离相等。

2. 内心是三角形内角的角平分线的交点。

这意味着，内心所在的角平分线将内角分成两个相等的角。

3. 内心到三角形的三边的距离的和等于三角形的半周长。

换句话说，内心到三角形三边的距离的和等于半周长。

通过内心的性质，我们可以在解决三角形相关问题时利用其角平分线的特点，简化计算过程，并得到更加简洁的结论。

三、外接圆与内心的比较外接圆与内心都是与三角形紧密相关的概念，它们之间存在一些重要的比较和联系：1. 外接圆与内心的圆心位置不同。

外接圆的圆心位于三角形的外角的角平分线上，而内心则位于三角形的内角的角平分线上。

2. 外接圆与内心的半径不同。

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

三角形的外心与内接圆的应用解析三角形是几何学中最基本且重要的研究对象之一。

在三角形的研究中，外心与内接圆是两个与三角形密切相关的概念。

本文将从不同的角度探讨外心与内接圆在几何学中的应用。

1. 三角形的外心三角形的外心是指能够构成三角形三个顶点的圆心，记为O。

外心具有一些特殊性质，其中最为重要的是外心到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。

外心应用之一：外心确定的圆由于外心到三角形三个顶点的距离相等，因此外心可以确定一个唯一的圆。

这个圆被称为外接圆，其圆心为外心O，半径为外心到三个顶点的距离。

外接圆具有许多重要的应用，比如在三角形的面积计算中起到重要的作用。

根据欧拉公式，三角形的面积可以通过外接圆的半径r和边长a、b、c来计算，公式为：面积=abc / 4r。

2. 三角形的内接圆三角形的内接圆是指与三角形的三条边都相切的圆，记为I。

内接圆具有一些特殊性质，其中最为重要的是内接圆的圆心与三角形三边的中垂线的交点重合，即内接圆的圆心为三角形的垂心。

内接圆应用之一：内接圆确定的圆内接圆可以确定一个唯一的圆，称为内切圆。

内切圆的圆心为内接圆的圆心I，半径为内接圆与三角形任意一条边的切点之间的距离。

内切圆在三角形的研究中有诸多应用，比如在三角形的面积计算中也起到重要的作用。

根据内切圆的半径r和三角形的半周长s，可以使用海伦公式计算三角形的面积，公式为：面积=sr。

3. 外心与内接圆的联系外心和内接圆在三角形的研究中既有相似之处，也有差异之处。

它们之间的联系主要体现在以下几个方面：- 外心与内接圆的圆心都在三角形的内部。

- 外心到三角形三个顶点的距离相等，而内接圆的圆心到三角形三边的距离相等。

- 外接圆的半径等于内切圆的半径的两倍。

外心和内接圆在不同几何问题中有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的计算和构造问题中，它们的属性和性质是解题的关键。

通过合理利用外心和内接圆的性质，我们可以更好地理解和研究三角形的几何性质。