平方根和算术平方根

第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。

平方根、算术平方根与立方根的区别与联系
平方根（包括所有偶次方根）都有一正一负绝对值相等的二个根,如4的平方根可能是+2,也可能是-2.因为（-2）的平方也等于+2.
算术平方根只取正值,不取负值.
正数的立方根（包括所有奇次方根）都是正值.不可能是负值.3√8一定是+2
负数的立方根,都是负值,3√-8,一定是-2
平方根、算术平方根是实数中两个比较重要的概念.因为它们的定义相近,联系紧密,所以初学的同学很容易混淆.为帮助同学们区分这两个概念,现将它们的区别与联系总结如下.
一、区别
1.概念的区别
平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如:32=9,3是9的平方根,(-3)2=9,-3也是9的平方根,即3和-3都是9的平方根.
算术平方根:一般地,如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫做a的算术平方根.例如:32=9,正数3是9的算术平方根.虽然(-3)2=9,但-3不是9的算术平方根.
2.书写方法的区别
平方根:一个非负数a的平方根记做±!a.例如,3的平方根记做±!3.:
算术平方根:一个非负数a的算术平方根记做!a.例如,3的算术平方根记做!3.
3.个数的区别
平方根:一个正数有两个平方根,并且它们互为相反数.例如,25的平方根有两个,一个是5,另一个是-5.:
算术平方根:一个正数的算术平方根只有一个,且这个数是正数.
二、联系
平方根立方根都是乘方运算的逆运算,分别对应的是平方与立方.。

平方根与算术平方根的学习要点平方根是一门非常重要的数学知识，它在日常生活中以及科学技术中都有着广泛的应用。

今天我们就来聊聊平方根，包括它的定义、数学特性以及计算方法。

首先，什么是平方根？平方根是一类幂函数，可以表示平方根的数学记号是“√”，它的定义是指某个数a的p次幂（p≥2）等于一个数M时，a称为M的p次平方根，写作M^1/p 。

例如，数字8的平方根就是2，因为2^2=8，因此8的平方根是2。

其次，复平方根和算术平方根的区别。

按照参数的不同可以将平方根分为两种：\复平方根和算术平方根。

复平方根的参数中可以有复数，而算术平方根的参数只能有实数。

另外，算术平方根一定是正的，也就是说复数的平方根中，存在两个实部相同的复数，其中一个的实部正负分别为±平方根的值。

再次，平方根的特性。

平方根是可交换律的，即可以交换根号内外的数。

平方根也具有乘法结合律，即可以将平方根取出，并推广到根号内任意多个因子上。

此外，平方根是分配律的，可以将平方根化简为连续的根号，即凡是可以分配的，就可以把根号内的数乘法分开。

最后，如何计算平方根。

计算平方根常见的方法有：（1）法则相乘法。

即用待开根号的数除以另一个数，等于另一个数，则除数即为待开根号数的平方根。

例如225的平方根=15：15x15=225；（2）求解法。

有一种叫求解法的求根号的方法，将原式展开成一个二次方程，一般可求出两个解，其中一个就是我们要求的根号。

例如√225=15，把它展开成一个二次方程，你就会得到两个解，一个是+15，另一个是-15。

（3）原式法。

即直接用开根号的方法求其平方根。

将待求的数分解为几个质数之乘积，开根号时除以质数，把根号内的质数变成几个单项式的相乘。

以上就是关于复平方根和算术平方根的学习要点，希望能够帮助大家对平方根有更深入的认识，有更全面的掌握，从而更好地应用在日常生活以及科学技术中。

平方根与算术平方根的区别平方根与算术平方根的趣味大比拼哎呀，说到数字里的那些“英雄好汉”，大家肯定都听说过平方根和算术平方根这两个家伙。

但是啊，它们到底谁更厉害呢？别急，咱们就来聊聊这个让人头疼的问题。

首先得说，这两个小家伙都是数学界的硬骨头，不过他们的风格可大不相同。

想象一下，如果你有一块巧克力蛋糕，你想知道它有多大，你会怎么量呢？是直接用尺子量一量，还是找个朋友帮忙看看？这就有点像平方根和算术平方根的较量了。

平方根就像是那个偷偷摸摸的朋友，它喜欢在背后出主意。

你给它一个数字，比如说25，它就会告诉你，这个数字的平方是多少，然后你再把这个平方数再开方，就是答案啦。

比如说，25的平方是625，那么25的平方根就是15，因为15乘以自己等于625。

但是啊，算术平方根就像是个急性子的朋友，它喜欢直接告诉你答案。

你给的数字是什么，它就给你直接回答多少。

比如说，25的算术平方根就是5。

这是因为5乘以5等于25，所以25的算术平方根就是5。

现在咱们来做个小游戏，看看谁能更快地找到答案。

比如说，我们想知道一个数的平方根，比如说49。

你知道怎么计算吗？是不是先算49的平方，然后再求平方根？如果是这样，那你可能会得到一个数字，比如说7。

但是，如果我们直接用计算器或者查表，你会发现，49的平方根是7。

这就是平方根和算术平方根的区别。

虽然它们看起来差不多，但它们的计算方法和应用场景可是大不相同。

有时候，你需要耐心一些，慢慢计算；有时候，直接查表或者用计算器就能解决问题。

无论是平方根还是算术平方根，它们都是数学中不可或缺的工具。

它们各有千秋，在不同的情境下都能发挥出自己的优势。

所以啊，别小看任何一个数字，说不定下一个数学高手就是你呢！。

9.6平方根基础知识点1.平方根和算术平方根的概念2.正确理解√a，-√a，±√a3.无限不循环小数利用平方根与算术平方根的概念1.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a, x2.√16的平方根是利用平方根的定义解简单方程1.若x的平方根/算术平方根是它本身，则x2.√1-x = 2 的解为利用算术平方根的双重非负性解题1.√(a-2) + (b+5)²= 02.√(2a+6) + |b-√2|= 0 ，解关于x的方程(a+2)x+ b²= a-1利用平方法估计算术平方根的范围1.估计20的算术平方根大小2.已知x为整数，且满足-√2≦x≦√3，则x练习：1.一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数相邻的下一个自然数为2.√(-3)²3.√a²= 34.若m (m大于等于0) ,n满足3√m + 5|n|= 7, x=2√m -3|n|, 试求x的取值范围5.√(5x+2y-9) 与|2x-6y-7|互为相反数，则x+1/y =6.3√(a-b) + 4√c=16且x=4√(a-b) -3√c, 试求x的取值范围7.√(2-x)+√(x-2)-y=6, 试求y的x次方的平方根立方根基础知识点1.立方根概念2.平方根与立方根的比较先变形被开方式再直接运算解三次方程估值法比较数的大小实数基础知识点1.无理数的概念及其常见类型（Π类，开方开不尽的数、有规律但又无限不循环的数）2.正确区分无理数和有理数3.实数及其数轴上点的对应关系4.实数的运算法则和运算性质。

平方根与算术平方根的区别与联系作者：***来源：《初中生世界·八年级》2020年第12期平方根和算术平方根是“实数”这一章中重要的两个概念，它们概念相近，很容易混淆。

特别是在遇到平方根和算术平方根的符号表达时，同学们会出现一些错误。

下面，我们就来整理一下二者的区别与联系，并通过对两道中考题的解析，加深同学们对这两个概念的理解。

一、区别1.定义不同。

平方根：如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根;算术平方根：正数a有两个平方根±√a，我们把正数a的正的平方根√a叫做a的算术平方根。

2.表示方法不同。

正数a的平方根表示为±√a;正数a的算术平方根表示为√a。

3.个数不同。

正数a的平方根有2个，且互为相反數;正数a的算术平方根只有1个。

二、联系算术平方根是平方根中那个非负的，即算术平方根包含在平方根中;求算术平方根和平方根时，进行的都是开方运算。

【解析】√9/4表示9/4的算术平方根，故答案选A。

例2 （2020.江苏泰州）9的平方根是。

【解析】根据平方根的定义可知结果为±3。

变式±√9=____。

【解析】±√9就是例2的符号表示，它表示9的平方根，结果为+3。

同学们，对比这两个概念以后，你能分清了吗？下面，让我们—起来挑战一下吧。

小试牛刀1，（-2）2的平方根是（）。

A.2B.-2C.+2D.√92.√4的算术平方根是____。

3.已知某数的两个平方根分别是a+3与2a-15，求这个数。

（作者单位：江苏省连云港市新海实验中学苍梧校区）。

平方根与算术平方根的应用xx年xx月xx日•平方根与算术平方根的基础知识•平方根的应用•算术平方根的应用•平方根与算术平方根在科学计算中的应用目•平方根与算术平方根在生活中的应用•总结与展望录01平方根与算术平方根的基础知识平方根的定义与性质平方根的定义：对于任何一个非负数x，它的平方根记作√x，即若a²=x，则a为x的平方根。

•非负性：对于任何实数x，它的平方根有2个，记作±√x。

平方根的性质•对于正数a，它的算术平方根记作√a，即√a≥0。

算术平方根的定义与性质算术平方根的定义：对于任何一个正数x，它的算术平方根记作√x。

•正数a的算术平方根记作√a，即√a>0。

算术平方根的性质•对于非负数x，它的算术平方根记作√x，即若√x²=x，则√x≥0。

平方根与算术平方根的异同•相同点•都是用来求解x的方程的方法。

•对于正数a，它们的结果相同，即√a=a。

•不同点•定义范围不同：平方根定义在实数范围内，而算术平方根定义在正数范围内。

•结果的符号不同：平方根有正负两个值，而算术平方根只有一个正值。

•处理方式不同：求解方程ax²=b时通过平方根来求解，求解方程ax=b时通过算术平方根来求解。

02平方根的应用利用平方根的性质对一元二次方程进行求解，例如将方程$ax^2+bx+c=0$ 转化为 $x^2=(b^2-4ac)/4a$，再利用平方根求得方程的根。

代数方程的求解利用平方根进行等式的变换，例如将 $x^2-9=0$ 转化为$(x+3)(x-3)=0$，从而简化计算。

等式变换利用平方根进行等式变换计算面积和体积利用平方根可以计算矩形、正方形和圆形等形状的面积，以及圆柱体、圆锥和球体等形状的体积。

测量和计算利用平方根可以测量和计算一些实际生活中的问题，例如通过测量房间的面积来计算需要多少平方米的壁纸。

利用平方根解决实际问题统计学在统计学中，平方根常被用于计算标准差等指标。

平方根与算术平方根的区别平方根与算术平方根是初中数学中的两个十分重要的概念，但这两个概念非常容易混淆．初学时，常出现类似“16的平方根是4”、“9=±3”或“16的平方根是±4”的错误．为了避免类似的错误发生，下面将这两个概念之间的联系与区别予以解读，希望对同学们有所帮助．一、从两者的定义上来区分如果一个数．的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．．．．换句话说，若a x =2，则x 叫做a 的平方根．例如52=25，()25-=25，所以5与－5都是25的平方根，即25的平方根是±5．算术平方根：一般地，一个正数．．a 的正．的平方根，叫做a 的算术平方根．．．．．．例如正数36的算术平方根是6，即36=6．二、从运算的结果上来区分不同点：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根却有且只有一个，是一个正数．相同点：0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根，也没有算术平方根．由此可见，平方根包括了算术平方根．例如，4的平方根是±2，4的算术平方根是2．三、从表示方法上来区分非负数a 有两个平方根，记作±a ；而非负数a 的算术平方根记作a ．例如，±4表示4的平方根，即±4=±2；4表示4的算术平方根，即4=2．四、从读法上区分不同非负数a 的平方根“±a ”读作“正负根号a ”，非负数a 的算术平方根“a ”读作“根号a ”．五、从作用的不同上来区分解题中，遇到开平方，就必须涉及到平方根和算术平方根．例如，已知2x =169，求x 的值，由题设可知，即是求169的平方根等于多少？由此求出x=±169=±13；又如已知一个正方形池塘的面积是169，求其边长x．因为正方形的边长不能为负数，所以，这里所求的是169的算术平方根，即x=169=13．由此可见，对于2x=a（a≥0），若x不赋予任何实际意义的话，则x取平方根；若x≥0，则x取算术平方根．六、从两个概念的综合应用上来区分如求81的平方根，此题包含了两层意思：（1）81表示81的算术平方根，即81=9；（2）求81的平方根，实际上就是求81的算术平方根9的平方根，即±9=±3．因此，“81的平方根是±3”才是正确的．。