初中数学竞赛中最值问题的常用解法

初中数学最值题解法小结在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一. 二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R x =+50030，P x =-1702。

（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）根据题意得 1750=-Px R()()1702500301750--+=x x x整理得x x 27011250-+=解得x 125=，x 245=（不合题意，舍去）（2）由题意知，利润为Px R x x x -=-+-=--+2140500235195022()所以当x =35时，最大利润为1950元。

二. 一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为x 人，则乙种工种的工人为()150-x 人，由题意得： 1502-≥x x 所以050≤≤x设所招聘的工人共需付月工资y 元，则有：y x x x =+-=-+6001000150400150000()（050≤≤x ）因为y 随x 的增大而减小所以当x =50时，y min =130000（元）三. 判别式法例3. 求x x x x 2211-+++的最大值与最小值。

初中数学最值问题解题技巧初中数学最值问题是学习中数学的重要内容，也是考试中经常要求考生解决的问题，解决初中数学最值问题，需要考生熟悉相关的知识点，并具备一定的解题技巧。

一、基本概念初中数学最值问题是指在给定的条件下，求出函数的最大值或最小值。

在初中数学中，常见的函数有一元函数、二元函数、三元函数等，最值问题可以分为一元函数最值问题、二元函数最值问题、三元函数最值问题等。

二、一元函数最值问题1、求函数的极值解：首先，要确定函数的极值，需要求出函数的导数，然后求出函数的极值点。

2、求函数的最大值和最小值解：在函数的域范围内，可以通过求函数的极值点，确定函数的最大值和最小值，或者在域范围内求函数的极大值和极小值。

三、二元函数最值问题1、求函数的极值解：二元函数最值问题，首先要求函数的偏导数，然后求出函数的极值点。

2、求函数的最大值和最小值解：在函数的域范围内，可以通过求函数的极值点，确定函数的最大值和最小值，或者在域范围内求函数的极大值和极小值。

四、三元函数最值问题1、求函数的极值解：三元函数最值问题，要求出函数的偏导数，然后求出函数的极值点。

2、求函数的最大值和最小值解：在函数的域范围内，可以通过求函数的极值点，确定函数的最大值和最小值，或者在域范围内求函数的极大值和极小值。

五、解题技巧1、熟悉最值问题的基本概念，了解一元、二元、三元函数的极值求法。

2、在求解最值问题时，要注意函数的定义域，以确定函数的最大值和最小值。

3、求解最值问题，应充分利用函数的性质，比如函数的单调性、增函数、减函数等。

4、要注意函数的变化，以确定极值点，以及函数在极值点上的变化趋势。

总结以上就是初中数学最值问题的解题技巧，初中数学最值问题是学习数学的重要内容，考生在解决最值问题时，应该多积累知识点，多掌握解题技巧，从而更好的解决最值问题。

浅析初中数学竞赛中的组合最值问题摘要：文章针对初中数学竞赛中的组合最值问题，分析了假设法、构造法、分类讨论法、正难则反方法、极端原理在解题中的应用，目的是更加准确的求解数学竞赛习题。

关键词：初中；数学竞赛；组合最值问题1 假设法假设法即假设题目中其中几个数量相等，或者是针对要求的其中一个未知量假设为已知数量，将复杂问题转变为简单问题之后展开推算，如此便可以获得题目的准确答案[1]。

实际教学过程中，主要将假设法分为条件假设、问题假设、单位假设、情境假设这几种，将其运用于初中数学竞赛的组合最值问题求解中，学生可以通过假设条件或者问题的方式，帮助建设条件，从而快速完成求解，如例1。

例1：有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？解析：设这4袋为a、b、c、d，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，设a、b、c袋糖有20、20、21块糖。

则当a、b、d三袋糖在一起时，为了满足条件，d袋糖不少于21块，验证a、b、c、d这4袋糖依次有20，20，21，21时满足条件，且总和最少。

这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块。

2 构造法初中数学教学期间，应用构造法求解数学组合最值问题，根据定向思维无法顺利求解问题时，可以指导学生按照题目中的已知条件以及结论特点、性质等，从另一个角度出发，发现问题条件与结论的关系，通过题目中的数据以及坐标等信息，构造符合条件与结论要求的数学对象，以此清晰的展示问题中的隐藏关系与性质，从而快速求解问题，实际应用如例2所示。

例2：从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解析：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，另一方面，设a1<a2<an是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），所以33|（aj-ai）.∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，设ai=a1+33di，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，dn= <61，故dn≤60，所以n≤61，综上所述，n的最大值为61.3 分类讨论法教师指导学生求解数学竞赛问题时，经常会遇到多种情况，为了更加准确的获得问题的答案，一般会对不同的情况进行分类，分别求解，最终再综合获得结论[2]。

初中数学最值问题归纳总结初中数学中，最值问题是一个重要的考点，也是学生们经常遇到的难题之一。

在解决最值问题时，可以通过归纳总结一些常见的解题方法，以便在实际应用中更好地应对这类问题。

首先，在解决最大值问题时，可以采用以下几种方法。

一种常见的方法是利用函数的性质进行求解。

例如，当函数是单调递增的时候，最大值通常出现在定义域的最大值处；当函数是单调递减的时候，最大值通常出现在定义域的最小值处。

此外，还可以通过将函数进行分析，找出函数在不同区间内的变化趋势，从而确定最大值所在的位置。

其次，在解决最小值问题时，也可以采用类似的方法。

同样可以利用函数的性质进行求解，如利用函数的单调性、奇偶性以及周期性等。

此外，还可以通过将函数进行化简，找出函数表达式中的最小值，或者通过计算函数的导数，找出函数在定义域内的极值点，从而确定最小值所在的位置。

另外，对于一些特殊形式的最值问题，我们也可以采取特殊的解题方法。

例如，在一些几何问题中，求解最大面积或最小周长的问题，可以利用几何图形的性质，通过建立相关的方程或不等式进行求解。

此外，对于一些实际问题，可以通过建立数学模型，将问题转化为数学问题，再通过求解数学问题得到最终的答案。

在解决最值问题时，还要注意一些常见的误区。

首先，要注意函数定义域的限制。

有些函数可能在某些特定的定义域内取得最大值或最小值，而在其他定义域内可能没有这样的值。

其次，要注意考虑到所有可能的情况。

有些最值问题可能会给出一些限制条件，要保证解满足这些限制条件才是有效的解。

总之，初中数学中的最值问题是一个需要灵活运用数学知识和思维方法的问题。

通过归纳总结一些常见的解题方法，可以帮助学生更好地理解和应用这类问题，提高解题的准确性和效率。

同时，也要注意避免一些常见的误区，保证解的有效性。

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略The manuscript was revised on the evening of 2021数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。

如不等式法（包含非负数性质a ≥0，2a ≥0， a ≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。

近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。

例1：已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜n x ，1x +2x +， 3x +……+n x =2005，则n x 的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x +2x +3x +……+n x =2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x 的数值或范围。

然后再求n x 的最大与最小数值。

解：由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005，由高斯求和公式可得()200521=+n n ，解得63≈n ，但当63=n 时()()2016326321636321=⨯=+=+n n 当62=n 时()()1953633121626221=⨯=+=+n n ，∵1953≤2005≤2016，且n 是整数，∴n ≠62或63，我们又观察到平均值()⨯=++++n n n x x x x 1321140152005⨯=，且5和401都是质数，显然n 不可能是401，∴n 只可能是5，故有1x +2x +3x +……+5x =2005又∵平均数51（1x +2x +3x +……+5x ）=200551⨯=401，且1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数和1x ＜2x ＜3x ＜……＜5x ，即4013=x ∴当3991=x ，4035=x 时，恰有2005403402401400399=++++，于是n x 的最大值是403，最小值399。

初中最值问题的常用解法哎呀，亲爱的同学们，你们知道吗？初中数学里的最值问题可真是让人又爱又恨呀！就拿一个简单的例子来说吧，假如你要在一个矩形花园里围出一个最大面积的三角形，你会怎么做？这就像是在一堆糖果里挑出最大最甜的那颗一样，得好好琢磨琢磨。

先来说说配方法吧。

比如说有个式子x² + 6x + 8 ，要找出它的最值。

我们就可以把它变成(x + 3)² - 1 。

这就好比给这个式子穿上了一件新衣服，一下子就变得好看又好懂啦！你看，当x = -3 时，它就有最小值-1 。

这难道不神奇吗？再讲讲判别式法。

如果有一个二次函数y = ax² + bx + c ，要让y 有最值，那就得看看它的判别式Δ = b² - 4ac 。

这就好像是给这个函数做了一次“体检”，通过“体检报告”就能知道它的最值情况啦！还有啊，均值不等式法也很厉害哟！比如说，有两个正数a 和b ，它们的算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。

这就好像是两个小伙伴在比赛，总有一个更厉害的规则在限制着他们，从而能找到最值。

还有一个特别实用的方法，就是几何法。

就像在一个三角形里，两边之和一定大于第三边，通过这个规则就能找到某些线段长度的最值啦。

有一次，我和同桌为了一道最值问题争得面红耳赤。

我说用配方法，他非说用判别式法，最后我们一起请教了老师，老师耐心地给我们讲解，这才发现两种方法都能做出来，只是适用的情况不同。

同学们，你们说，这些方法是不是很有趣？其实呀，解决最值问题就像是一场刺激的冒险，每一种方法都是我们手中的武器，只要我们灵活运用，就能在数学的世界里披荆斩棘，找到那些隐藏的宝藏——最值！所以，让我们勇敢地面对这些最值问题，用我们的智慧和勇气去战胜它们吧！。