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同余同余定义：若两个整数a,b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a,b 对于模m 同余。
记作：)mod ( m b a ≡，若b a m b a -≥则有,同余性质：（利用同余的性质可以使大数化小）（1）反身性： )(mod m a a ≡（2）传递性： 若)(mod m b a ≡ )(m o d m c b ≡， 则有)(mod m c a ≡（3）对称性： 若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡（4）可加减性 ：若)(mod m b a ≡ )(mod m c b ≡，则)(mod m d c b a ±≡±（5）可乘性： 若)(mod m b a ≡ )(mod m c b ≡，则)(mod m d b c a ⋅≡⋅ 可乘方性 ：若)(mod m b a ≡，则)(mod m b a n n ≡ (n 为自然数)（6）可约性： 若)(mod m c b c a ⋅≡⋅，则)(mod m b a ≡（7） 若)(mod mc c b c a ⋅≡⋅，则)(mod m b a ≡例一：甲数除以13余7，乙数除以13余9，则其积除以13余多少？（)13(mod 11 乙甲≡⨯）例二：求1272835707⨯被7除的余数是多少？（2）解：)7(mod 299107010351028283570735 ≡≡+⨯+⨯+⨯≡)7(mod 1127 ≡因此 )7(mod 2121272835707≡⨯≡⨯同余问题练习题1．求1957380009被19除的余数是多少？（9）2．求12166777708＊390被11除的余数是多少？（7）3．一个数除以3余2，除以5余1，除以7余1，求适合这个条件的最小的三位数？（176）4．求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数。
（173）2000年的元旦是星期六，2010年的元旦是星期五。
三角形的等积变换基本规律：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）底在同一直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；例一：试说明梯形中以腰为底的两个小三角形面积相等。
选调生行测数量关系：抽屉问题知识点储备作为储备干部培养的公务员之选调生已经陆续出公告，各省考试时间和内容有所不同，以行测、申论、综合知识为主；中公教育选调生课程也是结合考试大纲专业专项设置的。
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一、抽屉原理概述抽屉原理，又叫狄利克雷原理，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果。
许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决。
那么，什么是抽屉原理呢?我们先从一个最简单的例子谈起。
将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢?要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果;要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放。
这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果。
虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果。
如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。
在选调生考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少……，才能保证……”这样的字眼。
我们下面讲述一下抽屉原理的两个重要结论：①抽屉原理1将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。
(也可以理解为至少有2件物品在同一个抽屉)②抽屉原理2将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
(也可以理解为至少有m+1件物品在同一个抽屉)二、直接利用抽屉原理解题(一)利用抽屉原理1【例题1】有20位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1、2、3、…、20，至少要从中选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13的倍数?A.12B.15C.14D.13【答案详解】若想使两个号码的差是13，考虑将满足这个条件的两个数放在一组，这样的号码分别是{1、14}、{2、15}、{3、16}、{4、 17}、{5、18}、{6、19}、{7、20}，共7组。
计数应用（排列组合、概率、抽屉原理、容斥）练习题-公务员考试行测试卷与试题1. 抽屉里有黑色小球13只，红色小球7只，现在要选3个球出来，至少要有2只红球的不同选法共有多少种？A. 308B. 378C. 616D. 458答案：A2. 用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？A. 20B. 30C. 40D. 50答案：B3. 一条马路上有编号为l、2、…、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？A. 10B. 20C. 35D. 84答案：C4. 用0、1、2、3、4、5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：A5. 7个人排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边的情况有几种？A. 3120B. 3720C. 3600D. 7200答案：B6. 7个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？A. 120B. 300C. 600D. 720答案：D7. 将“PROBABILKIY”11个字母排成一列，排列数有多少种？A. 9979200B. 9979201C. 9979202D. 9979203答案：A8. 将“PROBABILlIY”11个字母排成一列，若保持P,R,O次序，则排列数有（）种？A. 90720B. 90721C. 90729D. 90726答案：C9. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。
若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？A. 144B. 192C. 186D. 150答案：C10. 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个？A. 72B. 76C. 78D. 84答案：C11. 甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人，问有多少种不同的选法？【2011年国考】A. 67B. 63C. 53D. 51答案：D12. 有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？【2008浙江】A. 24C. 64D. 72答案：C13. 如图，圆被三条线段分成四个部分。
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案1.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?A.148B.248C.350D.5002.36名女生结伴购物，21人买了长裙，24人买了短裙，24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙，15人买了短裙和超短裙，13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买。
请问，共有几名女生购买了三种裙子?A.1B.5C.8D.93.100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。
那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加?A.22B.21C.24D.234.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?A.15B.16C.14D.185.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。
如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是()。
A.A等和B等共6幅B.B等和C等共7幅C.A等最多有5幅D.A等比C等少5幅6.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定7.从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?A.23B.24C.25D.268.10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场?A.3B.4C.6D.59.某学校1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定每人至少去一处，至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同?A.35B.186C.247D.10.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定参考答案及解析1.【答案】A。
公务员考试：抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”一．抽屉原理最常见的形式原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
原理1 2都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例１：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一色的球？抽屉原理的解法：首先找元素的总量（此题35）其次找抽屉的个数：白、黄、红、蓝、绿5个最后，考虑最差的情况。
每种抽屉先m-1个球。
最后的得数再加上1，即为所求一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。
问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的元素总量13*4抽屉4个m=4抽屉数*（m-1）=1212+1=13从一副完整的扑克牌中．至少抽出（）张牌．才能保证至少 6 张牌的花色相同?元素总量=54抽屉=6（大小王各为一个抽屉）M=64*5+1+1+1=23袋子中有红、橙、黄、绿四种颜色的小球若干个，每个人从中任取1个或2个。
行测抽屉原理在行政能力测验（行测）中，抽屉原理是一种常见的问题解题方法。
抽屉原理是指：如果有m个物体要放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉里至少放了⌈m/n⌉个物体，其中⌈⌉表示向上取整。
这个原理大多用于解决排列组合、概率统计等与分布相关的问题。
在行测中，抽屉原理经常被考察，因此掌握抽屉原理对于应对行测算术和逻辑推理题是非常重要的。
抽屉原理的应用可以帮助我们更好地理解一些与分布和排列组合有关的问题。
举个例子，假设有10枚硬币，其中有一个是假币，而且与其他硬币的重量不同。
现在要用一台天平找出这枚假币。
假设只能使用天平三次，那么我们可以将硬币按照以下方式分配：第一次，将硬币均匀分成3组，每组放入天平进行称重。
此时，会有两种可能的结果：如果天平平衡，说明假币在未称重的剩余硬币中，我们进行如下操作：将剩下的硬币分成3组，这样我们就可以使用第二次；如果天平不平衡，假设左端比右端重，那么说明假币在左端的硬币组中。
在这组硬币中，可以继续使用相同的方法进行下一轮的称重；第二次，将天平不平衡的那组硬币分成3组，同样放入天平进行称重。
如果天平平衡，则意味着剩余硬币中有假币，可以进行第三次操作；如果天平不平衡，假设左端比右端重，说明假币在左端的硬币组中。
在这组硬币中，继续使用相同的方法进行第三次用天平称重；第三次，将天平不平衡的那组硬币分成2组进行称重。
如果天平平衡，则剩下的一个硬币就是假币；如果天平不平衡，假设左端比右端重，那表明左端的硬币为假币；在这个问题中，我们有10枚硬币，可以放在3个抽屉中，其中的“抽屉”可以看作是天平称重的每一次。
通过抽屉原理，我们可以在不超过3次的情况下找到假币。
2020江西省考行测推理：以彼之矛，攻己之盾在行测逻辑判断的必然性推理考查当中，命题的矛盾关系是可以占据一足之地的。
那到底什么是“矛盾”呢?我们又该怎样利用“矛盾”解题呢?今天中公教育就带大家一起来详细了解一下。
“矛盾”在我们的逻辑判断当中指的是两个命题之间永远一真一假。
所以根据它的这种特性，我们一般可以通过“矛盾法”来解决直言命题当中的“真假话”的问题。
比如下面这一道题：【例题1】甲、乙、丙、丁四人对四个抽屉中的物品进行预测。
甲：有些抽屉中没有书本;乙：所有抽屉中都有书本;丙：第二个抽屉中没有钢笔;丁：第三个抽屉中有信件。
如果四人的断定中只有一项为真，那么以下哪项一定为真?A.第二个抽屉中有钢笔B.第三个抽屉中有信件C.四个抽屉中都有书本D.四个抽屉中都没有书本答案：A。
中公解析：根据甲、乙、丙、丁四人所说的话，我们可以知道甲的“有些非书本”和乙的“所有是书本”之间的表述是互相矛盾的。
而根据矛盾命题必为一真一假的特性，说明甲和乙之间一定有一句真话、一句假话。
题目又告诉我们，四句话当中只有一句是真话，所以丙和丁说的话必定是假话。
丙的话为假则说明第二个抽屉中是有钢笔的，A项正确;丁的话为假则说明第三个抽屉中是没有信件的，排除B项。
而题目并没有告诉我们每个抽屉是不是只放了一种物品，所以甲和乙的话谁真谁假是不能确定的，C项和D项就可以排除。
所以正确答案应该是A。
这道题就是矛盾在我们直言命题考查过程中的应用。
其实除了直言命题，复言命题当中也可以利用矛盾的思维去帮大家快速解题。
比如：【例题2】正是因为有了充足的奶制品作为食物来源，生活在呼伦贝尔大草原的牧民才能摄入足够的钙质。
很明显，这种足够钙质的摄入，对呼伦贝尔大草原的牧民拥有健壮的体魄是必不可少的。
以下哪项情况如果存在，最能削弱上述断定?( )A.有的呼伦贝尔大草原的牧民从食物中能摄入足够的钙质，并且有健壮的体魄B.有的呼伦贝尔大草原的牧民不具有健壮的体魄，但从食物中摄入的钙质并不少C.有的呼伦贝尔大草原的牧民有健壮的体魄，但没有充足的奶制品作为食物来源D.有的呼伦贝尔大草原的牧民没有健壮的体魄，但有充足的奶制品作为食物来源答案：C。
行测逻辑判断习题练习答案及解析一1、张老师将文房四宝装在一个有四层抽屉的柜子里，让学生猜笔、墨、纸、砚分别在哪一层。
按照笔、墨、纸、砚的顺序，小李猜测四宝依次装在第一、二、三、四层，小王猜测四宝依次装在第一、第三、第四和第二层，小赵猜测四宝依次装在第四、第三、第一和第二层，而小杨猜测四宝依次装在第四、第二、第三和第一层。
张老师说，小赵一个都没有猜对，小李和小王各猜对了一个，而小杨猜对了两个。
由此可以推测（）。
A.第一层抽屉里装的是墨B.第二层抽屉里装的是纸C.第三层抽屉里装的不是笔D.第四层抽屉里装的不是砚2、6个连续编号为1—6号的杯子，倒立着排成一排，每个杯子下面都藏着一个不同颜色的球，6个球的颜色分别为绿、洋红、橙、紫、红和黄色。
球必须按照下列条件藏进杯子里面：①紫色球必须藏在比橙色球号数小的杯子里面。
②红色球和洋红色球必须分别藏在2个连续号码的杯子里。
③绿色球必须藏在5号杯子里面。
问：如果洋红球在1号杯里，那么肯定相邻的颜色球是（）。
A.绿和橙B.绿和黄C.紫和黄D.红和黄3、在夏夜星空的某一区域，有7颗明亮的星星：A星、B星、C星、D星、E星、F星、G 星，它们由北至南排列成一条直线，同时发现：（1）C星与E星相邻；（2）B星和F星相邻；（3）F星与C星相邻；（4）G星与位于最南侧的那颗星相邻。
据此，7颗星由北至南的顺序可以是（）。
A.D星、B星、C星、A星、E星、F星、G星B.A星、F星、B星、C星、E星、G星、D星C.D星、B星、F星、E星、C星、G星、A星D.A星、E星、C星、F星、B星、G星、D星4、某村有老赵、老钱、老孙、老李四个养鸡专业户，已知老赵、老钱两户养鸡的总数量与老孙、老李两户养鸡的总数量相等，老赵、老李两户养鸡的总数量比老钱、老孙两户养鸡的总数量多，而老钱养鸡的数量比老赵、老孙两户养鸡的总数量还要多。
由此可知，四个养鸡专业户养鸡数量由多到少的顺序是（）。
A.老赵、老钱、老孙、老李B.老孙、老钱、老赵、老李C.老李、老钱、老赵、老孙D.老钱、老李、老赵、老孙5、（1）强调家具应舒适、实用（2）对居住面积提出了新的要求（3）室内陈设应具有美学观点（4）住所的位置是关键所在（5）不满一般的室内装修A.1—2—3—4—5B.1—3—5—2—4C.3—2—1—4—5D.4—2—5—1—3答案及解析1.答案：D解析：第一步：找突破口第二步：将题干信息列表表示并对比分析由题意可知小赵说的都是错的，于是突破口便是与小赵猜测一样的都是错的，即如表（1）所示，那么小王猜的第一层是笔和第四层是纸必有一真一假。
行测数学运算“真题妙解”之抽屉问题从1、2、3、…、12中，至少要选( )个数，才可以保证其中一定包括两个数的差是7?A. 7B. 10C. 9D. 8【答案】D在这12个数中，差是7的数有以下5对：(12，5)、(11，4)、(10，3)、(9，2)、(8，1)。
另有两个数6、7肯定不能与其他数形成差为7的情况。
由此构造7个抽屉，只要有2个数取自一个抽屉，那么他们的差就等于7。
从这7个抽屉中能够取8个数，则必然有2个数取自同一个抽屉。
所以选择D选项。
抽屉原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系重要考点，也是相当一部分考生头痛的问题，华图柏老师通过历年公务员考试真题介绍了抽屉原理的应用。
一、抽屉问题原理抽屉原理最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱运用于解决数学问题的，所以又称为“迪里赫莱原理”，也被称为“鸽巢原理”。
鸽巢原理的基本形式可以表述为：定理1：如果把N+1只鸽子分成N个笼子，那么不管怎么分，都存在一个笼子，其中至少有两只鸽子。
证明：如果不存在一个笼子有两只鸽子，则每个笼子最多只有一只鸽子，从而我们可以得出，N个笼子最多有N只鸽子，与题意中的N+1个鸽子矛盾。
所以命题成立，故至少有一个笼子至少有两个鸽子。
鸽巢原理看起来很容易理解，不过有时使用鸽巢原理会得到一些有趣的结论：比如：北京至少有两个人头发数一样多。
证明：常人的头发数在15万左右，可以假定没有人有超过100万根头发，但北京人口大于100万。
如果我们让每一个人的头发数呈现这样的规律：第一个人的头发数为1，第二个人的头发数为2，以此类推，第100万个人的头发数为100万根;由此我们可以得到第100万零1个人的头发数必然为1-100万之中的一个。
于是我们就可以证明出北京至少有两个人的头发数是一样多的。
定理2：如果有N个笼子，KN+1只鸽子，那么不管怎么分，至少有一个笼子里有K+1只鸽子。
举例：盒子里有10只黑袜子、12只蓝袜子，你需要拿一对同色的出来。
浓度问题一、考情分析浓度问题对多数考生来说相对简单，也是公务员考试中的常考题型。
只要掌握了浓度问题的公式，弄清楚溶质与溶剂的变化，正确答题还是相对容易的。
但是要想快速解题，就需要多加练习，熟练运用解决浓度问题的各种方法，即方程法、特值法以及十字交叉法的应用。
二、基本概念和公式什么是浓度问题呢？化学定量分析常涉及溶液的配制和溶液浓度的计算，在实际生活中我们也经常遇到溶液配比的问题，由此产生的许多问题归为浓度问题。
浓度问题里面涉及到溶液、溶剂、溶质这三种东西。
这些是什么呢？溶液就是把某种固体或者液体放入水里面，两者混在一起的产物。
溶质就是放进去的那种固体或者液体，溶剂就是水。
举个例子，把盐放到水里，得到盐水，这个盐水就是溶液，盐就是溶质，水是溶剂。
浓度是什么呢？浓度就是溶质占到整个溶液的百分比，比如说，同样的一杯水，盐放得多，它占盐水的百分比就要更大一点，那么得到的盐水也就更咸一点，我们称之为盐水的浓度更大一些。
我们以盐水为例子，这四者之间的关系是这样的：盐的质量+水的质量=盐水的质量浓度=盐的质量÷盐水的质量盐的质量=盐水的质量×浓度盐水的质量=盐的质量÷浓度把不同浓度的溶液混合到一起会怎样呢？大家注意一下，我们要讲一个浓度问题最重要的结论了：混合溶液特性一种高浓度的溶液A和一种低浓度的同种溶液C混合后得到溶液B，那么溶液B的浓度肯定介于溶液A和溶液C的浓度之间。
三、解题方法（一）方程法方程法适用于大部分浓度问题，具有思维过程简单的特点。
考场容易紧张，因此以不变应万变的方程法需要优先而扎实地掌握。
一般来说，方程法有两个要素，第一是设未知数，要求易于求解；第二是找等量关系列出方程。
浓度问题中往往以浓度作为未知变量，这样等量关系易于表达，但也伴有浓度数值大部分是小数不好计算的弊病，还需要考生在实际做题中细加体会。
例题1：一杯含盐15%的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐多少克？A.12.5B.10C.5.5D.5【答案详解】设应加盐x克，则（200×15%+x）÷（200+x）＝20%，解得x＝12.5。
抽屉原理最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称"迪里赫莱原理",也有称"鸽巢原理"的.这个原理可以简单地叙述为"把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果".这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用.抽屉原理的基本形式定理1,如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素.证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素,此与共有n+1个元素矛盾,故命题成立.在定理1的叙述中,可以把"元素"改为"物件",把"集合"改成"抽屉",抽屉原理正是由此得名.同样,可以把"元素"改成"鸽子",把"分成n个集合"改成"飞进n个鸽笼中"."鸽笼原理"由此得名.解答抽屉原理的关键：假设有3个苹果放入2个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2个苹果，她的一般模型可以表述为：第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
抽屉原理一把4只苹果放到3个抽屉里去，共有4种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
更进一步，我们能够得出这样的结论：把n＋1只苹果放到n个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。
这个结论，通常被称为抽屉原理。
利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。
不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。
抽屉原理二这里我们讲抽屉原理的另一种情况。
先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。
道理很简单。
如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。
剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。
这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
说明这一原理是不难的。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
这说明一开始的假定不能成立。
所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。
从最不利原则也可以说明抽屉原理2。
为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m ＋1）件物品。
这就说明了抽屉原理2。
不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。
即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。
我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。
用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n 个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。
这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。
这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。
抽屉原理还有另外的常用形式：抽屉原理2：把m 个元素任意放入个集合里，则一定有一个集合里至少有k 个元素，其中：n n m ()<抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
抽屉原理又叫重叠原则，抽屉原则有如下几种情形。
抽屉原则①：把n+1件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。
抽屉原则②：把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有[m/n]件东西。
抽屉原则③：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。
利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”基础班1.证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
2.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。
（A）46（B）24（C）23（D）13.一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
（A）3（B）4（C）5（D）64.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
（A）4（B）5（C）6（D）75.在边长为2厘米的正方形中至少放入几个点，可以保证其中必定有三个点，使得以它们为顶点的三角形的面积不大于0.5平方厘米。
1.解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。
根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
2.解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
3.解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。
对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
4.解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。
5.解析：将大正方形分成四个以1厘米为边长的小正方形。
要使得存在一个三角形的面积不超过0.5平方厘米，只要保证存在三个点在小正方形的内部或小正方形的边上，因此，根据抽屉原理，至少需要个点。
例1.已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1).证明:至少有两个点之间的距离不大于分析:5个点的分布是任意的.如果要证明"在边长为1的等边三角形内(包括边界)有5个点,那么这5个点中一定有距离不大于的两点",则顺次连接三角形三边中点,即三角形的三条中位线,可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形,则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界),其距离便不大于.以上结论要由定理"三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长"来保证,下面我们就来证明这个定理.如图2,设BC是△ABC的最大边,P,M是△ABC内(包括边界)任意两点,连接PM,过P分别作AB,BC边的平行线,过M作AC 边的平行线,设各平行线交点为P,Q,N,那么∠PQN=∠C,∠QNP=∠A因为BC≥AB,所以∠A≥∠C,则∠QNP≥∠PQN,而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN(三角形的外角大于不相邻的内角),所以PQ≥PM.显然BC≥PQ,故BC≥PM.由此我们可以推知,边长为的等边三角形内(包括边界)两点间的距离不大于.说明:(1)这里是用等分三角形的方法来构造"抽屉".类似地,还可以利用等分线段,等分正方形的方法来构造"抽屉".例如"任取n+1个正数ai,满足0n,由抽屉原则,结论就是必然的了.给n以具体值,就可以构造出不同的题目.例2中的n取值是50,还可以编制相反的题目,如:"从前30个自然数中最少要(不看这些数而以任意方式地)取出几个数,才能保证取出的数中能找到两个数,其中较大的数是较小的数的倍数"(2)如下两个问题的结论都是否定的(n均为正整数)想一想,为什么①从2,3,4,…,2n+1中任取n+1个数,是否必有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍②从1,2,3,…,2n+1中任取n+1个数,是否必有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍你能举出反例,证明上述两个问题的结论都是否定的吗(3)如果将(2)中两个问题中任取的n+1个数增加1个,都改成任取n+2个数,则它们的结论是肯定的还是否定的你能判断证明吗例3.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.证明:把前25个自然数分成下面6组:1;①2,3;②4,5,6;③7,8,9,10;④11,12,13,14,15,16;⑤17,18,19,20,21,22,23,⑥因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.说明:(1)本题可以改变叙述如下:在前25个自然数中任意取出7个数,求证其中存在两个数,它们相互的比值在内.显然,必须找出一种能把前25个自然数分成6(7-1=6)个集合的方法,不过分类时有一个限制条件:同一集合中任两个数的比值在内,故同一集合中元素的数值差不得过大.这样,我们可以用如上一种特殊的分类法:递推分类法:从1开始,显然1只能单独作为1个集合{1};否则不满足限制条件.能与2同属于一个集合的数只有3,于是{2,3}为一集合.1．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。
问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？A．12B．13C．15D．16【解析】根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。
2．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？A．7B．10C．9D．8【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。
