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••《角平分线的性质 》专题复习本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将 一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利 用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分 线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平 分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。
一．角的平分线的性质这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题 目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、 【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。
二．性质运用在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能 力。
三．易错点本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】 例 3 题及【基础训练】第 3 题设置了相应的题目。
【知识点击】点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等．如图：AB 是∠CAD 的平分线，则有：CB=BD 。
点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上．如图：如果有 CB=BD ，则有 AB 是∠CAD 的平分线。
点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点， 并且这 个点到三角形三边的距离相等．如图：在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC ，BE 是∠ABC 的角平 A分线，则有 IH=IG=IF 。
HGIE【典例引路】类型之一:求证角平分线的性质定理B D FC例 1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什 么吗？【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办 法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．HIAG E【答案】已知：如图，△ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I ，求证：点 I 在∠ACB 的平分线上．B D FC证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．类型之二:利用角平分线的性质求线段之比例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，GD：GE=（）【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理）∵AG平分∠BAC，GD⊥AC∴GF=GD（角平分线的性质定理）∵EG∥AC，∠BAC=300∴∠FEG=300∴FG：EG=1：2∴GD：GE=1：2【答案】1：2类型之三:利用角平分线的性质求角的度数例△3：在ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20。
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
12.3 角平分线的性质（重难点）【知识点一、角的平分线及其性质】1．尺规作角平分线尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【知识点二、角平分线的判定】1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．定理的几何表述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．∴点P 在∠AOB的平分线上．2．三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．A．4B．【答案】B【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意可得DC=3，再由角平分线的性质可得CD=DH=3，即可得到答案．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∵AC=9，DC=1AC，3∴DC=3，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DH⊥AB，∴CD=DH=3，∴点D到AB的距离等于3，故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练1-1】如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB=5，△ABE的面积为15，则点E到直线AC的距离为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】设点E到直线AB的距离为ℎ，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AB，垂足分别为M，N，∵E为∠BAC平分线AP上一点，∴EM=EN，∵AB=5，△ABE的面积为15，AB×EN=15，∴12=6，∴EN=305∴EM=6，即点E到直线AC的距离为6．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离之概念．其关键要理解角平分线上一点到角两边距离相等．【变式训练1-2】如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD=2，则点P到OB的距离是（）A．1B．2C．4D．都不对【答案】B【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，即点P到边OB的距离为2．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练1-3】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线．若AC=9,CD=6，则点D到BC的距离是（）A．2B．4C．3D．6【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质得到DE=AD=3．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵AC=9,CD=6，∴AD=AC―CD=9―6=3，∵BD是△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=3，∴点D到BC的距离是3，故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确掌握性质是解题的关键．考点2：利用角平分线性质求周长例2．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB=10cm，则△DEB的周长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【答案】B【分析】先根据角平分线的性质得出DE=DC，再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADC，推出AC=AE，进而通过等量代换可得BD+DE+EB=AB=10cm．【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，∴AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AE+EB=AB=10cm，故选B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过证明Rt△ADE≌Rt△ADC推导出AC=AE．【变式训练2-1】．如图，△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．6【答案】B【分析】由△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°；∴AC⊥CD；∵AD平分∠BAC，DE⊥AB；∴DE=CD，∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质．注意角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练2-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，若BD平分∠ABC交AC 于点D，过D作DE⊥AB于点E，则△ADE的周长为（ ）cm．A．8B．10C．12D．14【答案】C【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=CD，从而可证△BDE≌△BDC(HL)，即得出BE=BC=6cm，最后可求△ADE的周长为AC+AE=12cm．【详解】∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD．又∵BD=BD，∴△BDE≌△BDC(HL)，∴BE=BC=6cm，∴AE=AB―BE=10―6=4cm，∴C△ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=8+4=12cm．故选C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质．证明C△ADE=AC+AE是解题关键．【变式训练2-3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE=2，BC=6，则△BDE的周长为（ ）A．6B．8C．10D．14【答案】B【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=DC，进而可以求出△BDE的周长；【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC，∴C△BDE=BE+DE+BD=BE+BC=2+6=8，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理；熟练运用该定理实现线段的转化是解题的关键．考点3：利用角平分线性质求面积例3．在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（）A．3B．5C．9D．12【答案】C【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得EF=DE=3，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵CE 平分∠ACB ，ED ⊥AC ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =3，∴S △BCE =12BC ⋅EF =12×6×3=9，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等．【变式训练3-1】如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，已知，BC =8，DE =2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】作EF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到EF =DE =2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，作EF ⊥BC 于F ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =2，∴△BCE 的面积=12×BC ×EF =12×8×2=8，故选C ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练3-2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，DM =DN ，若△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，则△ADE 的面积是（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25【答案】B 【分析】如图所示（见详解），过点D 作DF ⊥AB 于F ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，可证Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，同理可证Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，列方程30―x =16+x 即可求解．【详解】解：如图所示，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，∴DE =DF ，在Rt △DFM,Rt △DEN 中，DM =DN DF =DE ，∴Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，∴S △DFM =S △DEN ，在Rt △ADF,Rt △ADE 中，∠FAD =∠EAD ∠AFD =∠AED =90°AD =AD(公共边)，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，∴S △AFD =S △AED =S △ADN +S △DEN =S △ADN +S△AFM ，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，∴30―x =16+x ，解方程得，x =7，∴S △AFM =S △AEN =7，∴S△ADE=S△ADN+S△AEN=16+7=23，故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式训练3-3】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=10，BD平分∠ABC，则△BCD的面积是（）A．10B．12C．16D．20【答案】D【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到DE=DA=4，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=DA=4，×10×4=20．∴△BCD的面积=12故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及求三角形面积角，理解并掌握角平分线的性质是解题关键．考点4：判定结论是否正确例4．如图，ΔAOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE=PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB=90°―∠O，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE =PG =PF ，可判断（1）（2）正确；由∠APB =12∠EPF ，∠EPF +∠O =180°，得到∠APB =90°―12∠O ，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE ⊥OC ，PF ⊥OD ，PG ⊥AB ，∴PE =PG =PF ；故（1）正确；∴点P 在∠COD 的平分线上；故（2）正确；∵∠APB =∠APG +∠BPG =12∠EPF ，又∠EPF +∠O =180°，∴∠APB =12×(180°―∠O)=90°―12∠O ；故（3）错误；∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．【变式训练4-1】如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的∠EAC 、∠ABC 、∠ACF ，以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC =90°―∠ABD ；④BD 分∠ADC ；⑤3∠BDC =∠BAC 。
2022-2023学年八年级上数学：角平分线的性质一．选择题（共5小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为（）A．5B．10C．20D．122．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE ＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD ＝3：4，则点D到AC的距离为（）cm．A．3B．4C．D．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC 的长是（）A．2B．3C．4D．55．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（）A．4B．8C．3D．6二．填空题（共5小题）6．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为m2．7．在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且到两条坐标轴的距离相等时，点A的坐标为．8．数学课上，老师要求同学们用一副三角板作一个钝角，并且作出它的角平分线．雯雯设计的作法如下：（1）先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；（2）在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，作出射线OC；（3）去掉三角板后得到的图形（如图3）为所求作．老师说雯雯的作法符合要求，是正确的．请你回答：（1）雯雯作的∠AOB的度数是；（2）射线OC是∠AOB的角平分线的依据是．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB ＝5，则CD的长为．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为．三．解答题（共5小题）11．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD＝BE；（2）已知CD＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AC+CD．13．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．15．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．2022-2023学年八年级上数学：角平分线的性质参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AB＝5，CP＝2，则△APB的面积为（）A．5B．10C．20D．12【分析】过P作PE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到PE＝PC，即可求出点P到边AB的距离；然后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，过P作PE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴PC⊥AC．∵AP是角平分线，CP＝2，∴PE＝PC＝2．∵AB＝5，∴S△APB＝AB•PE＝＝5．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【分析】利用等角的余角相等得到∠ABD＝∠DAC，则可对①进行判断；同理可得∠BAD ＝∠C，根据三角形外角的性质得到∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，则∠AFE＝∠AEF，于是可对②进行判断；由AG平分∠DAC得到∠F AO＝∠EAO，根据三角形内角和定理得到∠AFO+∠F AO＝90°，即AO⊥EF，则可对③进行判断；证明F点为△ABG三条高的交点，则GF⊥AB，然后利用CA⊥BA得到FG∥AC，于是可对④进行判断．【解答】解：∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠ABD＝∠DAC，所以①正确；∵∠ABD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，∴∠AFE＝∠AEF，所以②正确；∵AG平分∠DAC，∵∠F AO＝∠EAO，∵∠AFE+∠AFE+∠F AE＝180°，∴∠AFO+∠F AO＝90°，∴AO⊥EF，所以③正确；∵BO⊥AG，AD⊥BG，∴F点为△ABG三条高的交点，∴GF⊥AB，而CA⊥BA，∴FG∥AC，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD ＝3：4，则点D到AC的距离为（）cm．A．3B．4C．D．【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．【解答】解：∵BC＝8cm，BD：CD＝3：4，∴BD＝（cm），∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，∴D到AC的距离等于BD，∴D点到线段AC的距离为cm，故选：D．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC 的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面积为9，∴△ADC的面积为9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（）A．4B．8C．3D．6【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×18•DE＝27，解得：DE＝3，∴CD＝3．故选：C．【点评】该题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用问题，解题的关键是作辅助线．二．填空题（共5小题）6．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为240m2．【分析】过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE＝DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．【解答】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，∵DE＝DF＝＝16（m），∴△ACD的面积＝AC•DF＝×30×16＝240（m2），故答案为：240．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE＝DF是解决问题的关键．7．在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且到两条坐标轴的距离相等时，点A的坐标为（1，﹣1）．【分析】根据“当点A在第四象限，且到两条坐标轴的距离相等”可得x＝﹣y，即﹣3y ﹣y＝4，解得y的值，将其代入3x﹣y＝4即可．【解答】解：∵点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，点A在第四象限，且到两条坐标轴的距离相等，∴x＝﹣y，∴﹣3y﹣y＝4，解得：y＝﹣1，代入3x﹣y＝4中，得x＝1，∴A（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题考查了一次函数图象与二元一次方程，熟练掌握一次函数图象与二元一次方程的有关知识是解题的关键．8．数学课上，老师要求同学们用一副三角板作一个钝角，并且作出它的角平分线．雯雯设计的作法如下：（1）先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；（2）在∠AOB处，再按照图2的方式摆放一副三角板，作出射线OC；（3）去掉三角板后得到的图形（如图3）为所求作．老师说雯雯的作法符合要求，是正确的．请你回答：（1）雯雯作的∠AOB的度数是150°；（2）射线OC是∠AOB的角平分线的依据是∠BOC＝∠AOB．【分析】（1）利用三角板中的特殊角可计算出∠AOB的度数；（2）利用三角板中的特殊角可计算出∠BOC的度数，从而可得∠BOC＝∠AOB，所以射线OC是∠AOB的平分线．【解答】解：（1）∠AOB＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）∠BOC＝30°+45°＝75°，所以∠BOC＝∠AOB．故答案为：∠BOC＝∠AOB．【点评】本题考查了基本作图，角平分线的定义和性质，正确理解题意是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，已知AC＝3，BC＝4，AB ＝5，则CD的长为．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵S△ACB＝S△ABD+S△BCD，∴×3×4＝×4×CD+×5×DE，解得：CD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为5．【分析】根据角平分线的性质得出DC＝DE＝3，再代入BD＝BC﹣DC求出即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE＝3，∴DC＝DE＝3，∵BC＝8，∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．三．解答题（共5小题）11．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE＝OF即可解答；（3）根据角平分的定义求出∠OCP＝90°即可解答．【解答】（1）解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC；（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，∴OC⊥CP．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：CD＝BE；（2）已知CD＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AC+CD．【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B＝45°，再由DE⊥AB 可知△BDE是等腰直角三角形，故DE＝BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，再根据勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论；（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE＝AC，再由CD＝BE可得出结论．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BE．∵AD是△ABC的角平分线，∴CD＝DE，∴CD＝BE；（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，∴DE＝BE＝CD＝2，∴BD＝＝＝2，∴AC＝BC＝CD+BD＝2+2；（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE＝AC．∵由（1）知CD＝BE，∴AB＝AE+BE＝AC+CD．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长．【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，S△ABC＝×16•DE+×12•DF＝70，所以，14DE＝70，解得DE＝5．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．15．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质可得DM＝DN，线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，所以Rt△BMD≌Rt△CND（HL），则BM＝CN．【解答】解：BM＝CN．理由：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BMD与Rt△CND中∵∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM＝CN．【点评】此题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．。
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1、如图，△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。
思路点拨:点到直线的距离是经过该点做直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。
解析：过D作DE⊥AB于E。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD∵BC=24，CD:DB=3:5∴CD=24×=9＝DE即点D到AB的距离是9。
总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。
举一反三：【变式】如图，∠ACB=90°,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE=CF【答案】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF∴DE=DC在△ADE和△FCD中∴△ADE△FCD(ASA)∴AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。
解析：∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）∴∠CDF=∠BEF=90°∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)BF=CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF=EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。
如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。
举一反三：【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。
(2) 若D，E不是垂足，是否有着同样的结论？并证明你的结论。
【答案】（1）∵AB=AC,AD=AE∴BE=CD∵DB⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEO=∠CDO=90°在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO∵EO⊥AB,DO⊥AC∴点O在∠A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO在△ABD和△ACE中∴△ABD△ACE∴∠B=∠C∵AB=AC,AD=AE∴EB=CD在△BEO和△CDO中∴△BEO△CDO∴EO=DO在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴∠EAO=∠DAO∴O点在∠A的角平分线上类型三、角平分线的综合应用3、已知：BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE求证：∠BAD=∠DAC+∠C思路点拨:证明一个角等于另外两个角的和的问题，一般有两种途径：1.将两个角转化为一个角，再证等角。
专题07 角平分线的性质（满分：100分 时间：90分钟）班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________一、单选题(共12小题，每小题4分，共计48分)1．（2020·兰州市期末）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，PB OM ⊥，垂足分别为A 、B ，若3PA =，则PB =( )A ．2B ．3C ．1.5D ．2.5【答案】B【详解】 ∵OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，PB OM ⊥，∴P A=PB ，∵3PA =，∴PB=3，故选：B ．2．（2020·防城港市期中）如图，直线AC ∥BD ，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，那么∠BAO 与∠ABO 之间的大小关系一定为（ ）A ．互余B ．相等C ．互补D ．不等【答案】A【解析】 试题解析：∵AC ∥BD ，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，∴∠CAB=2∠OAB ，∠ABD=2∠ABO ，∴∠OAB+∠ABO=90°，∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，故选A.3．（2020·商洛市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB 于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【详解】解：证明：∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠DFG，∵FG平分∠DEF，∴∠EFG＝∠DFG，∴∠EFG＝∠EGF，∵∠BEF＝70°，∴∠AGF＝∠EFG＝12（180°﹣70°）＝55°，故选：C．4．（2020·济南市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（）A．17 B．18 C．20 D．25【答案】C【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴ED=CD ，在Rt △ADE 和△RtADC 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴AC=AE ，∴△BDE 的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20．故选：C ．5．（2020·铁岭市期末）如图，已知∠AOB ，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ，再分别以C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线OF ，点P 为OF 上一点，PE ⊥OB ，垂足为点E ，若PE ＝5，则点P 到OA 的距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．5【答案】A【详解】 过点P 作PT ⊥OA 于T ．由作图可知，OF 平分∠AOB ，∵PT ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PT ＝PE ＝5，故选：A ．6．（2020·株洲市期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点.【答案】C【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选：C．7．（2020·云浮市期末）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP【答案】D【详解】∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵OP=OP，∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.∴A、B、C正确，D错误，故选D8．（2020·枣庄市期中）如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC=6cm，则DE+BD等于（）A ．5cmB ．4cmC ．6cmD ．7cm【答案】C【详解】 ∵∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∴DE+BD=CD+BD=BC ，∵AC=BC ，∴DE+BD=AC=6cm ．故选：C ．9．（2020·济宁市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C【详解】 ∵O 是△ABC 三条角平分线的交点，AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，∴△△△：：=::20:30:402:3:4ABO OBC CAO S S S AB BC AC ==．故答案选C ．10．（2020·酒泉市期末）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【详解】 解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，112884422AC ∴=⨯⨯+⨯⨯， ∴AC ＝6．故选C ．11．（2020·泰安市期末）如图，△ABC 是等边三角形，AQ =PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS .下列结论：①点P 在∠A 的角平分线上；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上，故①正确； 由①可知，PB =PC ，∠B =∠C ，PS =PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠PQC =2∠P AC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D ．12．（2020·毕节市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，以适当长为半径画弧交AB 、BC 于P 、Q 两点，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线BN 交AC 于点D ．若AB ＝10，AC ＝8，则CD 的长是（ ）A ．2B ．2.4C ．3D ．4【答案】C【详解】 解：如图所示，作DE ⊥AB 于E ，∵10890AB AC C ∠︒＝，＝，＝ ，∴6BC ＝ ，由基本尺规作图可知，BD 是△ABC 的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴可设DE DC x ＝＝ ，∴1122ABD SAB DE AD BC =⨯⨯=⨯⨯， 即11108622x x ⨯⨯=⨯⨯（﹣）， 解得3x = ，即3CD = ，故选C ．二、填空题(共5小题，每小题5分，共计20分)13．（2020·赣州市期末）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是_____．【答案】3【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE ＝DF ，由图可知，S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，12×4×2+12×AC×2＝7， 解得：AC ＝3．故答案为：3．14．（2020·株洲市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD=8，则点P 到BC 的距离是_________．【答案】4【详解】如图，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ 即为所求，//AB CD ，AD AB ⊥，AD CD ∴⊥，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，,PQ AP PQ DP ∴==，8AD AP DP =+=，28PQ ∴=，解得4PQ =，即点P 到BC 的距离是4，故答案为：4．15．（2020·眉山市期末）如图所示，已知△ABC 的面积是36，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=4，则△ABC 的周长是_____．【答案】18【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE =OF =OD =4，∵S △ABC =()2222OE AB OF AC OD BC OE AB AC BC ⋅⋅⋅++=⋅++=2·△ABC 的周长， ∴△ABC 的周长=36÷2=18， 故答案为18.16．（2020·成都市期末）如图，在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠交AB 于D ，DE//BC ，交AC 于E ，若60ACB ︒∠=，则EDC ∠＝____．【答案】30°【详解】∵CD平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠∠DCB＝12∠ACB＝30°，∵DE//BC，∴∠EDC＝∠DCB＝30°，故填30°．17．（2020·南京市期末）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线交于点G，分别与CB、CA边交于点D、E，GF⊥AB，垂足为点F，若AC=6，CD=2，则GF=______【答案】3 2【详解】解：过G作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，连接CG，∵GF⊥AB，∠CAB与∠CBA的平分线交于点G，∴GM=GM=GF，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴S△ACD=12AC•CD=12AC•GM+12CD•GN，∴6×2=6•GM+2×GN，∴GM=32，∴GF=32，故答案为3 2三、解答题(共4小题，每小题8分，共计32分)18．（2020·南京市期中）如图，已知∠ABC+∠C＝180°，BD平分∠ABC，AE与BD相交于点F，∠EFD＝∠D，求证：AE∥BC．【答案】见解析．【详解】证明：∵∠ABC+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠D，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠D＝∠DBC，∵∠EFD＝∠D，∴∠DBC＝∠EFD，∴AE∥BC．19．（2020涟源市期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE.【答案】（1）∠2=145°；（2）BC∥AD，证明见解析；（3）见解析【详解】（1）∵AE ∥CF ，∴∠BDC=∠1=35°，又∵∠2+∠BDC=180°，∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；（2）BC ∥AD ．理由：∵AE ∥CF ，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C ，∴∠C+∠ADC=180°，∴BC ∥AD ．（3）∵AE ∥CF ，∴∠BDF=∠DBE ．∵BC ∥AD ，∴∠ADB=∠DBC ．∵AD 平分∠BDF ，∴∠ADB=12∠BDF ，∴∠DBC=12∠EBD ． ∴BC 平分∠DBE ．20．（2018·乌鲁木齐市期末）如图，O 为直线AB 上一点，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒.（1）若50AOC ∠=︒，求COE ∠和∠BOE 的度数；（2）猜想：OE 是否平分BOC ∠？请直接写出你猜想的结论.【答案】（1）∠COE =65°，∠BOE =65°；（2）OE 平分∠BOC ，理由见解析．【详解】（1）∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD =∠AOD =11502522AOC ∠=⨯︒=︒． ∵∠DOE =90°，∴∠COE =∠DOE －∠COD =90°－25°=65°，∴∠BOE =180°－∠AOD －∠DOE =180°－25°－90°=65°；（2）结论：OE 平分∠BOC ．理由如下：设2AOC α∠=．∵OD 平分AOC ∠，2AOC α∠=，∴12AOD COD AOC α∠=∠=∠=． 又∵90DOE ∠=︒，∴90COE DOE COD α∠=∠-∠=︒-．又∵1801809090BOE DOE AOD αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒-，∴COE BOE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠．21．（2017·郑州市期中）如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90º，BD 是Rt ABC 的一条角一平分线，点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形，（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长【答案】（1）证明见解析；（2）2.【详解】解：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M∵正方形OECF∴OE ＝EC ＝CF ＝OF ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F∵BD 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E∴OM ＝OE ＝OF∵OM ⊥AB 于M ， OE ⊥BC 于E∴∠AMO ＝90°，∠AFO ＝90°∵OM OF AO AO =⎧⎨=⎩∴Rt △AMO ≌Rt △AFO∴∠MA0＝∠FAO∴点O 在∠BAC 的平分线上(2)∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12∴AB ＝13∴BE ＝BM ，AM ＝AF又BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，而CE ＝CF ＝OE∴BE ＝12－OE ，AF ＝5－OE∴BM＋AM＝AB即BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13 解得OE＝2。
第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6 cm，则△DEB 的周长是A．6 cm B．4 cm C．10 cm D．以上都不对【答案】A2．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OP【答案】D【解析】根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE≌Rt△POD，则OD=OE，∠DPO=∠EPO．故选D．学*科网3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【解析】如图，作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3．故选C．学*科网4．用尺规作图法已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的直线EF∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7 cm，AC=5 cm，BC=6 cm，则△AEF的周长为__________cm．【答案】126．如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________．【答案】4【解析】如图，过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．学*科网三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠DAE的度数．【解析】（1）如图，AE为所作．（2）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=30°．学*科网8．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．。
专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。
