2020-2021学年高考总复习数学(文理)全真模拟试题及答案解析五

最新数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则A U B ＝ ▲ ． 【答案】R2．某公司生产三种型号A ，B ，C 的轿车，产量分别为1200辆，6000辆，2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取 ▲ 辆． 【答案】63．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0 1)，，则实数p 的值为 ▲ ．【答案】24．已知集合{}0 A ππππ2π3π5π=π6432346，，，，，，，，．现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的 余弦值为正数的概率为 ▲ ． 【答案】495．如图，是一个算法的程序框图，当输出的y 值为2时，若将输入的x 的所有可能值按从小到大的顺序排列得到一个数列{}n a ，则该数列的通项公式为n a = ▲ ． 【答案】34n a n =-6．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 的基因遗传是等可能的（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲ ． 【答案】347．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b ，则⋅=a b ▲ ．BAC D 1B1A(第9题） E F【答案】258．已知x y ，为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ▲ ． 【答案】189．如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四 棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ． 【答案】1210．设定义在区间[] -11，的函数()sin()f x x ϕ=π+（其中0ϕ<<π）是偶函数，则函数()f x 的单调 减区间为 ▲ ． 【答案】(0 1)，【解析】依题意，ϕπ=2，则()cos f x x =π的减区间为(0 1)，．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22()(21)2x a y a -++-=(11)a -≤≤，直线l ：y x b =+()b ∈R ．若动圆C 总在直线l 的下方且它们至多有1个交点，则实数b 的最小值是 ▲ ．【答案】2【解析】依题意，圆心( 12)C a a -，(11)a -≤≤的轨迹为线段12y x =-(11)x -≤≤， 当且仅当1a =-=时，实数b 的最小，此时2b =．12．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ ．【答案】【解析】设()(1)(1)(2)f x a x x x =+--，其中0a >，令 ()0f x '<x <<该函数的单调减区间为；13．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．【答案】72【解析】以AB 的中点M 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()30A -，，()30B ，， 设()C x y ，，则O ()33yx ，，因为OA ⊥OB ，所以0AO BO ⋅=u u u r u u u r，从而()()()2330333yx x +⋅-+=，化简得，2281x y +=，所以222(3)(3)972AC BC x x y x y ⋅=+-+=+-=u u u r u u u r．14．设k b ，均为非零常数，给出如下三个条件：①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列； ②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列，其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是 ▲ ．（填上所有满足要求的条件的序号） 【答案】①②③【解析】①易得()()()211n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅+⋅+，即2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++， 因为211n n n x x x -+=，且0kb ≠，所以112n n n x x x -+=+，即证； ②由①知2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++，因为112n n n x x x -+=+，所以211n n n x x x -+=，即证； ③易得()()()112n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅++⋅+，且0k ≠，故112n n n x x x -+=+，又211n n n x x x -+=，即证．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=．（1）求tan2β的值；（2）求sin α的值．解：（1）因为22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++，且1cos 3β=-，所以221tan 1231tan2ββ-=-+，解得2tan 22β=，（4分）因为()ππ2β∈，，所以()ππ242β∈，，从而tan 02β>，所以tan2β=（6分）（2）因为()ππ2β∈，，1cos 3β=-，所以sin β=，（8分） 又()π02α∈，，故()π3π22αβ+∈，，从而()cos αβ+==，（10分）所以[]sin sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+()7193=⨯-(13-=．（14分）16．（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点．（1）求三棱锥1C DD E -的体积； （2）求证：11D E A D ⊥．【解】（1）由长方体性质可得,1DD ⊥ 平面DEC ，所以1DD 是三棱锥1D DCE -的高, 又点E 是AB 的中点，11AD AA ==，（第16题）AB ＝2，所以DE CE =222DE EC CD +=，90DEC ∠=o ，三棱锥1D DCE -的体积1111323V DD DE CE =⨯⨯=；(7分)（2）连结1AD ,因为11A ADD 是正方形,所以11AD A D ⊥ ，又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A , 所以1AE A D ⊥，又1AD AE A =I ，1AD AE ⊂，平面1AD E ， 所以1A D ⊥平面1AD E ，(12分) 而1D E ⊂平面1AD E , 所以11D E A D ⊥．(14分)17．（本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底 面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算， 制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/2m ，1百元/2m ，设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 4θ∈，，问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并 求出此时圆锥的高度．解：设该仓库的侧面总造价为y ，则[]152π55(1tan )12π542cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦ ()2sin 50π1+cos θθ-=，（6分）由()22sin 1cos 50π0y θθ-'==得1sin 2θ=，()π0 4θ∈，， 所以π6θ=，（10分）列表：π6θ=时，侧面总造价y 最小，此时圆锥所以当的高度m ．（14分）18．（本题满分16分）定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆224x y +=（1）求F 中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与F 中的菱形都相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由； （3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．解：（1）如图，设11( )A x y ，，22( )B x y ，， 1︒当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，其面积为142142⨯⨯⨯=；2︒当菱形ABCD 的对角线不在坐标轴上时，设直线AC 的方程为：y kx =，①则直线BD 的方程为：1y x k=-，又椭圆2214x y +=， ②由①②得，212441x k =+，2212441k y k =+， 从而22221124(1)41k OA x y k +=+=+，同理可得，()()2222222221414(1)4141kk OB x y k k⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦=+==+-+，（3分） 所以菱形ABCD 的面积为2OA OB ⨯⨯====≥165= (当且仅当1k =±时等号成立),综上得，菱形ABCD 的最小面积为165；（6分）（2）存在定圆2245x y +=与F 中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为d ，下证：d ，证明：由(1)知，当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，d =，当菱形ABCD 的对角线不在坐标轴上时，22222OA OB d OA OB ⨯=+222222224(1)4(1)4144(1)4(1)414k k k k k k k k ++⨯++=+++++ 2222224(1)(1)(4)(1)(41)k k k k k +=+++++22224(1)45(1)(55)k k k +==++，即得d =， 综上，存在定圆2245x y +=与F 中的菱形都相切；（12分）（3）设直线AD 的方程为(y tx =，即0tx y --=，则点(0 0)O ，到直线AD 的距离=解得t =所以直线AD 的方程为y x =．（16分）19．（本题满分16分）设a ，b ，c 为实数，函数32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，且在区间[)1 +∞，上单调．（1）求a ，b ，c 应满足的条件； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设001 ()1x f x ≥，≥，且[]00()f f x x =，求证：00()f x x =． 解：（1）因为32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，即32x ax bx c --++=32x ax bx c -++-，变形得，20ax c +=， 所以0a c ==， （2分）此时3()f x x bx =-在区间[)1 +∞，上单调，则2()30f x x b '=-≥在区间[)1 +∞，上恒成立，得3b ≤；（5分） （2）2()3f x x b '=-，且3b ≤，当0b ≤时，2()30f x x b '=-≥，所以函数()f x 的单调增区间为( )-∞+∞，；（7分）当0b >时，2()30f x x b '=->得，函数()f x 的单调减区间为(，单调增区间为( -∞，，)+∞；（10分）（3）设0()f x t =，则1t ≥，0()1f t x =≥， 即有300x bx t -=，且30t bt x -=，两式相减得，()()33000x bx t bt t x ---=-， 即()()2200010x t x x t t b -+++-=，因为1t ≥，01x ≥，3b ≤，所以220011x x t t b ++-+≥， 故0x t =，即00()f x x =．（16分）20．（本题满分16分）若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，212n n n a a a p ++=+，则称数列{}n a 是“T 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和()2n S n n *=∈N ，求证：{}n a 是“T 数列”； （2）设{}n a 是各项均不为0的“T 数列”． ①若0p <，求证：{}n a 不是等差数列；②若0p >，求证：当1a ，2a ，3a 成等差时，{}n a 是等差数列． 解：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，所以21n a n =-，n *∈N ，（3分）则{}n a 是“T 数列”⇔存在非零常数p ，2(21)(21)(23)n n n p +=-++ 显然4p =满足题意，所以{}n a 是“T 数列”；（ 5分） （2）①假设{}n a 是等差数列，设1(1)n a a n d =+-，则由212n n n a a a p ++=+得，()[][]2111(1)(1)a nd a n d a n d p +=+-+++， 解得20p d =≥，这与0p <矛盾，故假设不成立， 从而{}n a 不是等差数列；(10分) ②因为212n n n a a a p ++=+()0p >，①所以()211 2n n n a a a p n -+=+≥， ②①-②得，221211n n n n n n a a a a a a ++-+-=-(2)n ≥， 因为{}n a 的各项均不为0， 所以1121n n n n n n a a a a a a +---++=(2)n ≥， 从而11n n n a a a +-+⎧⎫⎨⎬⎩⎭()2n ≥是常数列，因为1a ，2a ，3a 成等差，所以3122a aa +=，从而112n n na a a +-+=()2n ≥，即112n n n a a a +-+=()2n ≥，即证．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =．A BC D O （第21—A 题） E求证：O ，E ，C ，D 四点共圆． 证明：因为AD AE =，所以()11802AED A ∠=-∠o ，因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180A BCD -∠=∠o ，从而AED DCO ∠=∠， 所以O ，E ，C ，D 四点共圆．（10分）B ．（矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )， 求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．解：依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102 320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，，（4分） 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，（8分） 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（10分）C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ6，，()3 B 0，的直角坐标方程为(32A ，，()3 B 0，， 从而直线l 的普通方程为30x +-=，（4分） 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()22224aa x y -+=(0)a >，（8分） 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，P A B C D（第22题） E 所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)．（10分）D ．（不等式选讲）设正数a ，b ，c 满足3a b c ++≤，求证：11131112a b c +++++≥． 证明：由柯西不等式得，[]()111(1)(1)(1)111a b c a b c +++++⋅+++++2≥23=，（6分） 所以1119931113332a b c a b c ++=+++++++≥≥．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=o ，且PA AB BC == 112AD ==，PA ⊥平面ABCD ． （1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E 满足AEC ∠=90o ？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则(0 0 1)P ，，，(1 0 0)B ，，，(1 1 0)C ，，，(0 2 0)D ，，，从而(1 0 1)PB =-u u u r ，，，(1 1 1)PC =-u u u r ，，，(0 2 1)PD =-u u u r ，，，（2分）设平面PCD 的法向量为( )a b c =，，n ，则⋅n 0PC =u u u r ，且⋅n 0PD =u u u r ，即0a b c +-=，且20b c -=，不妨取2c =，则1b =，1a =，所以平面PCD 的一个法向量为(1 1 2)=，，n ，（4分） 此时cos PB 〈〉=u u u r ，n ，所以PB 与平面PCD 所成角的正弦；（6分） （2）设(01)PE PD λλ=u u u r u u u r ≤≤，则(0 2 1)E λλ-，，，则(1 21 1)CE λλ=---u u u r ，，，(0 2 1)AE λλ=-u u u r ，，， 由AEC ∠=90o得，AE ⋅u u u r 22(21)+(1)0CE λλλ=--=u u u r ， 化简得，25410λλ-+=，该方程无解，所以，棱PD 上不存在一点E 满足AEC ∠=90o ．（10分）23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}）， （{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，所以a 35=；（3分）（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=，（5分） B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，（7分） 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．（10分）。

最新高三第三次模拟考试数学（文）试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分｡答题前,考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.第Ⅰ卷一､选择题:共12小题,每小题5分,共60分｡在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项｡1.已知全集为R,集合22{|1(1)},{|320}A x y og x B x x x ==-=-+≤,则R A C B =IA.{|2}x x >B.{|12}x x ≤≤C.{|2}x x ≥D.{|12}x x x <>或2.已知i 是虚数单位,若21iz i -=-,则z 所表示的复平面上的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.双曲线221133x y -=的渐近线与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则r= A.4 B.3 C.2 3 4.已知直线1:1l ax y +=和直线2:91l x ay +=,则“a+3=0”是“1l ∥2l ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.设2,2()1(7),2t t x x f x og x x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩,则2)4f =，则(3)f = A.2 B.4 C.6 D.86.已知数列{n a }为等差数列,前n 项和为n S ,若7896a a a π++=,则15cos S 的值为A.－1 B.123D.3 7.右图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 A.4 B.5238.已知集合260(,)00x y x y x y x y +-≤⎧⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y)则点P(x,y)的坐标满足不等式224x y +≤的概率为A.3π3 B.12π C.24πD.332π 9.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,准线为犾,,l P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若3FP FQ =u u u r u u u r,则QF =A.83 B.43C.2D.1 10.设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数,对,x y R ∀∈,都有().()()f x f y f x y =+,若数列{n a }满足*11,(),3n a a f n n N ==∈,且其前n 项和n S 对任意的正整数n 都有n S ≤M 成立,则M 的最小值是 A.14B.13C.12D.111.命题:[,],2sin(2)0646Ex x m πππP ∈-+-=,命题2:(0,),210q Ex x mx ∈+∞-+<,若()q P ∧⌝为真命题,则实数犿的取值范围为A.[-2,1]B.[-1,1]C.[-1,1)D.(0,2]12.定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a--,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是A.11(,)32B.(3,32)C. (12,1) D. (13,1) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答.二､本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡上.13.若非零向量().()0,3,a b a b a b -+=+=r r r r r r 则,a b r r的夹角为 .14.设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与轴x 相交于点A,与y 轴相交于点B,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,o 为坐标原点,则mn 的最大值为.15.A ､B ､C 三点在同一球面上,∠BAC=135°,BC=4,且球心O 到平面ABC 的距离为1,则此球O 的体积为 .16.已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1,(1))A f 处的切线与直线 320x y ++=垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是 .三､解答题:本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案做在答题卡上.17.(本小题满分12分)已知函数()cos .sin()6f x x x π=-(1)求()f x 的单调减区间;(2)在ΔABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 1(),24f C a =-=,且ΔABC 的面积为23求边长C 的值.18.(本小题满分12分)高三年级为放松紧张情绪更好地迎接高考,故进行足球射门比赛,现甲､乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行射门比赛,每人射10次,射中的次数统计如下表:(1)从统计数据看,甲､乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)在本次比赛中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的射中次数.求甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率.19.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥AD 且AB=AD=12CD=1,现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿AD 将正方形翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直(1)求证:平面BDE ⊥平面BEC; (2)求三D-BEF 的体积V.20.(本小题满分12分)设F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点,点3(1,)2p 在椭圆E上,直线0:34100l x y --=与以原点为圆心､以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 的直线l 与椭圆相交于A,B 两点,过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()1,()xf x ax nxg x e =+=. (1)当0a ≤时,求()f x 的单调区间;(2)若不等式()g x x m <+有解,求实数m 的取值范围; (3)证明:当a=0时,()()2f x g x ->.选考题:请考生在第22､23题中任选一题作答｡若多做,则按所做的第一题计分｡(本小题10分)22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系xOy 中,直线l的方程为22(2x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以原点O 为极点,Ox 轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系,曲线犆的方程为ρ=4cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设点A(2+2cos α,2sin α),,2)22B -,求|AB|的最小值.(其中α､t 为参数)23.(10分)选修4-5:不等式选讲:已知函数()|1||1|f x x x =-++. (1)求不等式()3f x ≥的解集;(2)若关于x 的不等式22()2f x a x x >-+在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 AADCA DDBBC BC二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13. 3π14．6115. 36π16.15三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上. 17.解：21()cos (sin cos sin cos )cos 26624f x x x x x x ππ=-=-11cos(2)234x π=++ (4)分（1）由222()3k x k k z ππππ≤+≤+∈得()f x 的单调减区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ……6分 （2）111()cos(2),cos(2)1,.234433f C C C C πππ=++=-∴+=-∴= (8)分1sin 8,2,4,2ABC S ab C ab a b ∆===∴==∴=Q Q …………………10分 由余弦定理得2222cos 12,c a b ab C c =+-=∴= …………………12分 18.解：（1）两个班数据的平均值都为7， ………1分（2）甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω= {1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a ab b b b bc c c c cd d d d de e e e e由25个基本事件组成，这25个是等可能的 ………8分将“甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成， ………10分所以甲班同学射中次数高于乙班同学射中次数的概率为102255=.………12分19.解: (1) 证明：在ABC ∆中，有2,2===BD BC CD 得 BD CB ⊥ ………2分又由平面ADEF ⊥平面ABCD ，且ED AD ⊥ 有 ABCD ED 平面⊥，得 ED CB ⊥ ………4分 ED BD ⋂Θ, 则BDE BC 平面⊥ , BEC BC 平面⊂Θ故BEC BDE 平面平面⊥. ………6分(2) 由平面ADEF ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥,得ADEF AB 平面⊥ 则6112131=⨯⨯===--DEF B BEF D V V V . ………12分20．（本小题满分12 分）解: (1)由题意知22229141a a b a b⎧==⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪⎪+=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=……………………4分 (2):结论:存在直线l ,使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……5分理由如下: (方法一)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为(y k x =- 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=由题意知0∆>,设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434k k x x x x k k -+==++ ……7分由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--= 由0∆>知12k ≠-,设()333,,1,2Q x y P ⎛⎫⎪⎝⎭Q ,则22332281241231,13434k k k k x x k k ---+==++g ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则PB 与AQ 的中点重合. 132122x x x ++=,即()()22123121231,41x x x x x x x x -=-∴+-=- 2222222841241233413434344k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫---∴-=-⇒= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭g 所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分理由如下: (方法二)由题可知直线l 、PQ 的斜率存在.设直线l 的方程为(1)y k x =-,直线PQ 的方程为3(1)2y k x =-+由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()()22223484120k x k x k +-+-=则AB ==, ……7分 由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得()()()22223481241230k x k k x k k +--+--=则PQ ==, ……9分 若四边形PABQ 的对角线互相平分,则四边形PABQ 为平行四边形,AB PQ ∴=2213144k k k k ∴+=++⇒=所以直线l 的方程为3430x y --=时, 四边形PABQ 的对角线互相平分. …12分(另(2):若直接由对称性得出直线l 的方程为3430x y --=而没有说明唯一性的给5分) 21．（本小题满分12 分）．解（1） ()f x 的定义域是(0,)+∞，1'(),(0)f x a x x =+>01当0a =时，'()0f x >，所以在(0,)+∞单调递增；02当0a <时，由'()0f x =，解得1x a=-．则当1(0,)x a ∈-时． '()0f x >，所以()f x 单调递增．当1(,)x a∈-+∞时，'()0f x <，所以()f x 单调递减．综上所述：当0a =时，()f x 增区间是(0,)+∞；当0a <时，()f x 增区间是1(0,)a -，减区间是1(,)a-+∞． …………4分（2）由题意：x e x m <+有解，因此只需x m e x >-有解即可，设()xh x e x =-，'()1x h x e =-，因为(0,)x ∈+∞时1x e >，所以'()0h x >,故()h x 在[0,)+∞上递增;又(,0)x ∈-∞时1xe <，所以'()0h x <．故()h x 在(),0-∞上递减，所以()(0)1h x h ≥=故1m >． …………8分 （3）(方法一)当0a =时，()ln f x x =，()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，)x -，)+∞时，'()0k x <，()k x 单调递减． (12)（3）(方法二)当0a =时，()ln f x x =，()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，()()ln ln x x f x g x x e e x -=-=-，令()ln x F X e x =-，，所以'()F x 单调递增且当()00,x x ∈时'()0,()F x F x <递减; 当()0,x x ∈+∞时'()0,()F x F x >当递增; (12)22、(10分) 选修4—4：坐标系与参数方程解：(1) 由方程,2.2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为0225=--+y x …2分由θρcos 4=得曲线C 的直角坐标方程为4)2(22=+-y x ……4分(2) 由A )sin 2,cos 22(αα+,B )222,2225(t t -+知点A 的轨迹是曲线C ，点B 轨迹是直线l . ……8分所以3222252min =---=AB ……10分23、(10分)选修4-5：不等式选讲 解：（1）原不等式等价于 ⎩⎨⎧≥--<321x x 或⎩⎨⎧≥≤≤-3211x 或⎩⎨⎧≥>321x x 解得：23-≤x 或23≥x ，∴不等式的解集为23|{-≤x x 或}23≥x . ………………5分（2）令x x x x x g 2|1||1|)(2-+++-=，则g (x )＝2224(1)22(11)(1)x x x x x x x x ⎧-<-⎪-+-≤≤⎨⎪>⎩当x ∈(－∞，1]时，g (x )单调递减， 当x ∈[1，＋∞)时，g (x )单调递增，所以当x ＝1时，g (x )的最小值为1． ………8分因为不等式x x a x f 2)(22+->在R 上恒成立 ∴12<a ，解得11<<-a ，∴实数a 的取值范围是11<<-a . ……………10分。

届高三模拟考试 数 学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{|14}A x x =<<，2{|230}B x x x =--≤，则R A B =Ið（ ）（A ）(1,2) （B ）(1,3) （C ）(3,4) （D ）(1,4) （2）如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z 等于（ ） （A ）32 （B ）22 （C ）3 （D ）2（3）已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，31)(x x f =，则在区间)0,2(-上，下列函数中与)(x f 的单调性相同的是( )（A ）12+-=x y （B ）1+=x y （C ）x e y = （D ）⎩⎨⎧<+≥-=0,10,123x x x x y（4）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）（A ）关于直线8x π=对称 （B ）关于点(,0)8π对称（C ）关于直线4x π=对称 （D ）关于点(,0)4π对称（5）下列四个结论：①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“01,2≥--∈∀x x R x ”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0a <时，幂函数y x α=在区间(0,)+∞上单调递减. 其中正确的是（ ）（A ）①④ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④（6）如右图，圆C 内切于扇形AOB ,3AOB π∠=,若向扇形AOB 内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ）（A ）450 （B ）400 （C ）200 （D ）100（7）已知等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，那么当{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）（A ）7 （B ）8 （C ） 9 （D ）10OABCg（8）某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）（A ）12（B）16 （C ）18 （D ）24（9）执行如图所示的程序框图， 则输出的结果是（ ） （A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）19(第8题)（第9题）（10）已知,x y 满足2020(0)0kx y x y k y -+≥⎧⎪+-≥<⎨⎪≥⎩，若目标函数z y x =-的最小值是4-，则k 的值为（ ）（A ）13- （B ）3- （C ）12- （D ）2-（11）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，开始0,1S n ==输出n结束3?S <-21log 2n S S n +=++否是1n n =+n 3侧视图542正视图俯视图则双曲线的离心率为（ ） （A ）152+（B ）15+（C ）122+ （D ）12+（12）已知函数21,0()21,0x x x x f x e x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点， 则实数k 的取值范围是（ ）（A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）[2,)+∞ （D ）[1,2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017-学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至10页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么)()()(BPAPBAP+=Y ·柱体的体积公式ShV=·锥体的体积公式ShV31=其中S表示柱（锥）体·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=的底面面积 h 表示柱（锥）体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集Z x U ∈={|}51≤≤x ，1{=A ，2，}3，1{=B C U ，}2，则=B A I（A ）1{，}2（B ）1{，}3 （C ）}3{（D ）1{，2，}3（2）4)12(xx -的展开式中的常数项为（A ）6 （B ）24（C ）24-（D ）6-（3）已知命题p ：“存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02≥x”，则下列说法正确的是（A ）p 是假命题；p ⌝：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2<x ” （B ）p 是真命题；p ⌝：“不存在1[0∈x ，)∞+，使得1)3(log 02<x”（C ）p 是真命题；p ⌝：“任意1[∈x ，)∞+，都有1)3(log 2<x ” （D ）p 是假命题；p ⌝：“任意-∞∈(x ，)1，都有1)3(log 2<x ”（4）已知定义在R 上的偶函数)(x f 在0[∈x ，)∞+上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（A ）31(，)32（B ）31(-，)32 （C ）31(，)34（D ）31(-，)34（5）已知双曲线1C ：1163222=-p y x 0(>a ，)0>b 的左焦点在抛物线2C ：)0(22>=p px y 的准线上，则双曲线1C 的离心率为（A ）34（B ）3（C ）332（D ）4（6）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为（A ）232+ （B ）13+（C ）232-（D ）13-（7）若“1>x ”是“不等式x a x ->2成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（A ）3>a（B ）3<a （C ）4>a（D ）4<a（8）如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形''''D C B A 的边''B A 和''D A 上移动，则C A B A ''⋅的最大值是（A ）4 （B ）21+（C ）π（D ）2数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。

最新局考数学模拟卷.填空题（每小题4分。

共56分）1.函数2. ，则x y3. 不等式lo g 24.5.6. 0的解集为方程| lg x | x 3在极坐标系中，直线3 m 一,——，则x 2 20实数解的个数(2cos sin7.若多面体的各个顶点都在同一球面上.（结果用反三角函数表示））2与直线cos 1的夹角大小为，则称这个多面体内接于球.如图，设长方体ABCD AB1GD1内接于球。

，且AB BC 2 , AA 2虹则A、两点之间的球面距离为8.已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知1、5、1 、…，，一，—、y这四个数据的x5 59、设x a1(x 4)a2(x2)4a3(x 4)3a4(xa〔，a2,L ,a6均为实数, ,则a〔a2a3 a4 a5a6a11a12a1310.在三行三列的方阵a21a22a23中有9个数aa31a32a33平均数为3 ,则x y最小值为数，则三个数中任两个不同行不同列的概率是2)2 a5(xij(i 1,2,3; j4) a6,其中1,2,3）,从中任取三个.（结果用分数表示）11 .在空间四边形ABCD中，点E,F分别是AC,BD 的中点AB=CD=6 , AB与CD 所成的角为60度，贝U EF的长为12.定义点P对应到点Q的对应法贝U ：m、f : P(m,n) Q( V n,------------ ),23(m 0,n 0),则按定义的对应法则f ,当点P 在线段AB 上从点A(4,0)开始运动到点B(0,4)时，可得到P 的对应点Q 的相应轨迹，记为曲线E ,则曲线E 上 的点与线段AB 上的点之间的最小距离为13.已知函数f (x) v'3 | cos — x | (x 0),图象的最高点2则 lim 一Sn —n n 1 ( 2)14 .把a n 4n 1中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列则烷013二.选择题(每小题 5分，共20分)各数中也为定值的是(B. S15若 |f(X 1) f(X 2)| | f( ) f(三.解答题.已知函数 f (x) sin — cos — 、.33 3从左到右依次记为R, P 3, P 5,，函数y f(x)图象与x 轴的交点从左到右依次记为P 2,P 4,P 6,，设& RP 2 P 2P 3 (P 2P 3 P 3P 4)2 (P 3P 4 P 4P 5)3 (P 4P 5 P 5P 6)4(P n P n 1 P n1P n2)L15 .等差数列(a n ｝的前n 项和为S n ,当a 〔，d 变化时，若a ? a 8a,是一个定值, 那么下列知集合A (z bi z bi z 2 0,b R,z C)B (zz 1,zAI B,则b 的取值范围是(A. 1,1B. 1,1 C . 1,0 0,1 D. 1,0 0,117.已知为三角形的一个内角，且sincos1…2 .一,则万程X sin 2y 2 cos =1 表示A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦在点 y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线18 .已知y f (x)是定义域为R 的单调函数，且x 〔 x 2,1,X 2 x 2 为1(A)(B)(C) 0(D)19.(本题满分12分，每小题各 6分)2x cos —(1)将f(x)写成Asin( x ) h ( A 0 )的形式，并求其图像对称中心的横坐标;(2)若函数f (x)的定义域为D (0,亍，求函数f(x)的值域.20.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA 平面ABC , AC AB , AP BC 2, CBA 30 , D , E分别是BC , AP的中点.(1)求异面直线AC与ED所成的角的大小；(2)求PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积.21 .(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知函数f (x) 3x k(k为常数)，A( 2k,2)是函数y f 1(x)图像上的点.(1)求实数k的值及函数y f 1(x)的解析式；(2)将y f 1(x)的图像按向量a (3,0)平移得到函数y=g(x)的图像.若2f1(x 后3) g(x) 1对任意的x 0恒成立，试求实数m的取值范围.22 .(本题满分16分，第1小题5分，第2小题5+6分)已知两点A( 1,0)、B(1,0)，点P(x,y)是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标- - uuur uuur保持不变、纵坐标扩大到J2倍后得到点Q(x,j2y)满足AQ BQ 1.1求动点P 所在曲线C 的轨迹方程;①求点H , G 的坐标;明理由.n 1a n x ，则称数 A 可以表示成x 进制形式，简记为:A x~ (81)(82)(83).....(a n 〔)(a n )。

2019学年第二学期高三年级高考模拟文理科数学试卷（试卷满分150分考试时间120分钟）考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.（文）已知全集，集合，则集合的补集.（理）计算：_.2. （文）指数方程的解是 . （理）设复数满足（为虚数单位），则.3. （文）已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .（理）若原点和点在直线的两侧，则的取值范围是．4．函数的递增区间为 .5．算法流程图如图所示，则输出的值是 .6. 抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是．7. （文）设函数，则不等式的解集为 .（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .8.关于 的函数的最大值记为，则的解析式为 .9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于．（理）如图，正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 .10. （文）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0, -4)、B(0, -2) 两点，则圆C的方程为 .（理）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则.12. （文）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .（理）若以过点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)(i为虚数单位)为实数的概率为 .（理）已知数列满足，，则数列的前项和的最大值为 .14. 设关于的实系数不等式对任意恒成立，则.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（文）的展开式中的系数为（）A. 1B. 4C. 6D.12（理）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．16. （文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A 的弧度数为（）A. B.C.D.（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．B．C．D．17. 若函数为奇函数，且g(x)= f(x)＋2，已知f(1) =1，则g (－1)的值为（）A．－1 B．1 C．－2 D．218. （文）已知实数满足则的最大值为（）A. 17B. 15C. 9D. 5（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4 B．4.5 C．4.75 D．5 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（文）（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）题同理科第19题。

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2018届高三三校联考 数学（文科）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必先将自己的班级、姓名、准考证号、座号用5.0mm 黑色签字笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡与答题纸上．3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题直接答在答题纸相应区域，不能答在试卷上；试题不交，请妥善保存，只交答题卡与答题纸． 参考公式：用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式xb y a xn xy x n yx x xy y x xb ni ini ii ni ini i i∧∧====∧-=--=---=∑∑∑∑,)())((1221121．球的表面积公式24R S π=，其中R 是球的半径．如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+；如果事件B A ,对立，那么)(1)(A P B P -=．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．已知集合},{},,3{b a B a A ==，若}2{=B A I ，则=B A Y（ ） A}3,2{B}4,3{C}3,2,2{D}4,3,2{2．已知复数i 21-=a z ，i 22+=z （i 为虚数单位），若21z z 为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A 4-B 1-C 1D 43．执行如图所示的程序框图，若输入的M 的值为55，则输出的i 的值为（ ） A 3B 4C 5D 64．设∈b a ,R ，则“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．已知具有线性相关关系的两个变量y x ,之间的一组数据如下：且回归直线方程为6.2+=x b y ，根据模型预报当6=x 时，y 的预测值为（ ）A 76.5B 8.6C 3.8D 46.86．函数2cos )(x xx f π=的图象大致是（）A BCD7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=2,)31(,2),2()(x x x f x f x，则)5log 1(3+-f 的值为（ ）A151B 35C 15D328．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）侧视图俯视图•Aπ34 Bπ332C π4D π169．已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，)('x f 为其导函数，若对于任意实数x ，都有)()('x f x f >，其中e 为自然对数的底数，则（）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C)2016()2015(e f f =D)2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定10．对于两个平面向量b a ,，定义它们的一种运算：θsin ||||b a b a ⋅=⊗（其中θ为向量,的夹角），则关于这种运算的以下结论中，不恒成立的是（ ） A⊗=⊗B 若0=⊗b a ，则b a //C ⊗+⊗=⊗+)(D 若),(),,(2211y x y x ==，则||1221y x y x -=⊗第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数21)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为________．12．若直线)0,0(2>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心，则ab 的最大值为________． 13．设△ABC 的内角CB A ,,的对边分别为cb a ,,，若BA C a sin 2sin 3,41cos ,4=-==，则=c ________．14．某企业生产甲、乙两种产品均需用B A ,两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．15．抛物线)0(2:21>=p x p y C 的焦点与双曲线13:22=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ．若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p ________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（本小题满分12分）某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组)30,20[，第2组）40,30[，第3组）50,40[，第4组)60,50[，第5组]70,60[，得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．17．（本小题满分12分）已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>-+⋅=ωωωωx x x x f 的两条相邻对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，若函数k x g y -=)(在区间]32,6[ππ-上存在零点，求实数k 的取值范围．.0.0.0.018．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1111C A B A =，点E D ,分别是1111,B A C B 的中点，11===BD AB AA ，ο601=∠AB A ．（Ⅰ）求证：//1AC 平面BD A 1； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面111C B A ．19．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，32,01=>a a n ，且4321,1,3a a a -成等差数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n b 满足1)1(log 13=-⋅+n n S b ，求满足方程100950413221=++++n n b b b b b b Λ的正整数n 的值．20．（本小题满分13分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax x x a x f ．（Ⅰ）当0=a 时，求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，它的四个顶点构成的四边形的面积为34．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直1C1B1ACBA DE线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点，直线2l 与直线4 x 交于N 点． （i ）求证：线段PQ 的中点在直线ON 上；（ii ）求||||FN PQ 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分标准说明：1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准标准酌情赋分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．【答案】D ． 【解析】由}2{=B A I得B A ∈∈2,2，所以2,2==b a ，所以}2,4{},2,3{==B A ，所以}4,3,2{=B A Y ．故选D ．【考点】元素与集合关系、集合运算． 2．【答案】C ． 【解析】由题意可得，i 54522i 2i 221+--=+-=a a a z z ，因为21z z 为纯虚数，所以054,0522≠+-=-a a ，所以1=a ．故选C ．【考点】复数的概念、复数的代数运算．3．【答案】D ．【解析】执行程序框图，第一次2,551102=<=+⨯=i N ，第二次3,554212=<=+⨯=i N ，第三次4,5511342=<=+⨯=i N ，第四次5,55264112=<=+⨯=i N ，第五次6,55575262=>=+⨯=i N ，所以输出的i 的值为6．故选D ．【考点】程序框图输出结果． 4．【答案】B ．【解析】由题意可得，“0)(2<-a b a ”等价于“0,02><-a b a 或0,02<>-a b a ”，即“0,0≠<-a b a ” ，所以“b a <”是“0)(2<-a b a ” 的必要不充分条件．故选B ．【考点】充要条件、不等式性质． 5．【答案】C ． 【解析】由题意可得，2)43210(51=++++⨯=x ，5.4)7.68.45.43.42.2(51=++++⨯=y ，因为回归直线一定过样本点的中心),(y x ，所以6.225.4+⨯=∧b ，解得95.0=∧b ．当6=x 时，y 的预测值为3.86.2695.0=+⨯．故选D ．【考点】线性回归直线方程、预测值． 6．【答案】B ．【解析】由题意可得，)(cos )()(cos )(22x f x xx x x f ==--=-ππ，所以)(x f 为偶函数，)(x f 的图象关于y 轴对称，可排除答案A 、C ；当1=x 时，01cos )1(<-==πf ，可排除D ．故选B ．【考点】函数的图象与性质． 7．【答案】A ． 【解析】由题意可得，135log 5log 1033<=+-<，所以315log 25log 1233<=++-<，所以151)3()31()15(log )25log 1()5log 1(115log 15log 33333====++-=+--f f f ．故选A ．【考点】函数值、指对运算． 8．【答案】D ．【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为1的圆锥．设其外接球的半径为R ，则222)3()1(=--R R ，解得2=R ，所以该几何体外接球的表面积为πππ1624422=⨯==R S ．故选D ．【考点】三视图、组合体体积． 9．【答案】A ． 【解析】构造函数∈=x x f x F x ,e )()(R ，)(x F 的导函数x x x x x f x f x f x f x F e )()()e ()e )((e )()('2'''-=-=．因为)()('x f x f >，0e >x ，所以0)('<x F ，)(x F 在R 上是减函数，所以20162015e )2016()2016(e )2015()2015(f F f F =>=，所以)2016()2015(e f f >．故选A ．【考点】抽象函数单调性、比较大小． 10．【答案】C ．【解析】因为θsin ||||b a b a ⋅=⊗，所以3R1-R1⊗=⋅=⋅=⊗θθsin ||||sin ||||，选项A 恒成立．当,≠，0sin ||||=⋅=⊗θ时，0sin =θ，所以0=θ或πθ=，所以//；当=或0=b 时，b a //恒成立，选项B 恒成立．θsin ||||⋅=⊗θ2cos 1||||-⋅=2||||⋅===212212212122222121)()())((y x y x y y x x y x y x -=+-++=||1221y x y x -=，选项D 恒成立．当⊥⊥=+===,,,1||||||时，20)(=⊗+⊗≠=⊗+c b c a c b a ，选项C 不恒成立．故选C ．【考点】新定义、数量积．编者注：本题中,,在印刷体中用黑体．．来表示。

普通高中联考 理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x 2≤x}，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z 满足()i i z 311+=+，则Z 的共轭复数对应的点位于 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（ ） A ．65 B ．70C ．130D ．2604．给出下列四个结论，其中正确的是 ( )A ．若11a b>，则a<b B ．“a=3"是“直线l 1：2310a x y +-=与直线l 2:320x y -+=垂直”的充要条件C ．在区间[0，1]上随机取一个数x ，sin2x π的值介于0到12之间的概率是13D ．对于命题P ：x ∃∈R 使得21x x ++<0，则P ⌝：x ∀∈R 均有21x x ++>05.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．π65 D ．6π6．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=u u u r u u u ru u u r，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+=（ ） A.4B.83C.113D.2568. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）232俯视图正视图A. -20B. 52 C. -192 D. -16010．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，三棱锥O —ABC 的体积为54，则球O 的表面积是（ ）A ．64πB ．16πC ．323π D ．544π11．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（ ） A ．（1，2） B ．（－∞，1） C ．（1，+∞） D ．（－1，1）12.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为( ) A.21B. 32C. 1 D. 34 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．23．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=04．函数f（x）=的图象大致为（）A．B． C．D．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.56．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是______．12．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为______．13．已知变量x，y满足，则的最大值为______．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为______．15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T 两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】化简N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，从而确定M⊊N；从而求得．【解答】解：∵N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，而M={x|0＜x＜2}，∴M⊊N；∴∁R N⊆∁R M，故选D．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的虚部．【解答】解：复数z满足z•（1﹣i）=2，可得z===1+i．z2=（1+i）2=2i．则z2的虚部是：2．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．4．函数f（x）=的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，利用x=0时的函数值判断选项即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，并且x=0时，f（0）=1，故选：C．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.5【考点】线性回归方程．【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．6．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】这是一个几何概型问题，关于x的方程+nx+m=0有实根根据判别式大于等于零，可以得到m和n之间的关系，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：方程+nx+m=0有实根⇔△≥0⇔n2﹣m2≥0，集合A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，面积SΩ=2×3=6；设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为A={（m，n）|0＜m ＜2，0＜n＜3，m，n∈R，n2﹣m2≥0}，其面积S A=4，所以P（A）=．故选：C．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，双曲线的渐近线方程为y=±x，将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，可得x2±x+=0，由直线和抛物线相切的条件，可得△=﹣4××=0，即有a2=4b2，解得a=2，b=1，可得双曲线的方程为﹣y2=1．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选B．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）【考点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）=的图象，从而化方程[f （x）]2﹣af（x）+2=0为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0，恰有四个不同的实根，转化为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，故，解得，＜a＜3，故选：B．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600 ．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出合格人数．【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6合格的人数=0.6×1000=600故答案为：60012．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为﹣．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故答案为：﹣．13．已知变量x，y满足，则的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣2，2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得，即A（2，3），故PA的斜率k==．故答案为：．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为 e ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．【解答】解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，又∵lnx，，lny成等比数列，∴=lnxlny由基本不等式可得lnx+lny≥2=1，当且仅当lnx=lny，即x=y=时取等号，故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，故xy的最小值为：e故答案为：e15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）∈[0，]；∵g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），当x2∈[0，1]时，∴acos∈[0，a]∴g（x）∈[5﹣2a，5﹣a]∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a＞，或5﹣a＜0，得a＜或a＞5∴a的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由两班样本总数都为8人，平均数相等，列出方程能求出x．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，利用列举法能求出甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵两班样本总数都为8人，平均数相等，∴=，解得x=85．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，设事件A为“两班各任选一名同学座谈，两名同学分数在80～90”之间，则基本事件空间为：Ω={（88，87），（88，82），（88，81），（88，79），（88，77），（88，76），（85，87），（85，82），（85，81），（85，79），（85，77），（85，76），（84，87），（84，82），（84，81），（84，79），（84，77），（84，76），（81，87），（81，82），（81，81），（81，79），（81，77），（81，76），（79，87），（79，82），（79，81），（79，79），（79，77），（79，76），（72，87），（72，82），（72，81），（72，79），（72，77），（72，76）}，共有36个基本事件，事件A包含的基本事件有：（88，87），（88，82），（88，81），（85，87），（85，82），（85，81），（84，87），（84，82），（84，81），（81，87），（81，82），（81，81），共12个基本事件，∴甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率P（A）=．17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S △ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═sin2x﹣，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；（2）f（C+）=﹣，求得C=，由三角形的面积公式求得ab=4，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=sin2x+cos2x ﹣（2cos2x﹣1）﹣，=sin2x﹣，f（x）的最小正周期π，x∈[，]，2x∈[，]，f（x）的值域[﹣，﹣]；（2）f（x）=sin2x﹣，f（C+）=sin2（C+）﹣=﹣，∴sin（2C+）=，cos2C=，角C为锐角，C=，S=，S △ABC=，ab=4，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2或b=2，a=2，18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1与a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1作差，进而计算可知=（n ∈N），利用累乘法计算可知数列{a n}的通项公式；（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知b n=2（﹣），进而利用并项相消法可知T n=，从而问题转化为数列{T n}的最大值，计算即得结论．【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1（n∈N），∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1，两式相减得：a n=a n+1﹣a n，即=，又∵==满足上式，∴=（n∈N），∴当n≥2时，a n=••…••a1 =••…•2•1=n，又∵a1=1满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n===2（﹣），∴T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，∵随着n的增大而增大，∴不等式T n＜对所有n∈N都成立⇔求数列{T n}的最大值，又∵=2，∴≥2，即m≥20，故满足题意的最小正整数m=20．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG ∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（Ⅲ）解：……20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】先求函数f（x）的定义域，利用函数f（x）=在x=e 处的切线经过点（1，e）．求出a的值．（Ⅰ）计算并判断f′（x）＞0或f′（x）＜0，可得f（x）的单调区间，即可求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）原命题等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点，由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，可得最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h （e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，从而可求实数t的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f′（x）=，∴f′（e）=ae，∴f（x）在x=e处的切线方程为y﹣ae2=ae（x﹣e），即y=eax，∵函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e），∴a=1．（Ⅰ）由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（，+∞），由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（0，1）（1，），∴f（x）在[，]上单调递减，在[，e]上单调递增，∵f（）=2e，f（）=4，f（e）=e2，e2，∴函数f（x）在[，e]上的最大值为e2，最小值为2e；（Ⅱ）函数g（x）=tf（x）﹣x在[，1）∪（1，e2]上有两个零点，等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点．由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，所以当x=e时y=h（x）有极大值，即最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h（e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，所以实数t的取值范围为[，）．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），设椭圆E 的方程为+=1，求出C（1，2），D（1，﹣2），由抛物线、椭圆都关于x轴对称，能求出椭圆方程．（Ⅱ）设AB：y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，∴由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），∴设椭圆E的方程为+=1，解方程组，得C（1，2），D（1，﹣2），∵抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴==2，|F 2S|=，∴S（1，），∴+=1，解得b2=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜，，，∵|AB|＜，∴（1+k2）[]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴，∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴，y=[k（x1+x2）﹣4k]=，∵点P在椭圆上，∴+2=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，∴，∴﹣2＜t＜﹣或，∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．2016年10月4日美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。